SKKN Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) để tìm GTNN, GTLN và chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: SKKN Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) để tìm GTNN, GTLN và chứng minh bất đẳng thức

1. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI SỞ GIÁOĐơn vDị ỤTrưC VÀờng ĐÀO THPT T ẠNgôO Đ QuyỒNGền NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DÁPỰ DĐOÁNỤNG DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ĐỂ TÌMKĨ GTNN,THUẬ GTLNT TÌM VÀ CHĐIỨỂNGM MINHRƠI BẤT TRONG BĐẲẤNGT ĐTHẲỨNGC THỨC CAUCHY Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG. Lĩnh vực nghiên cứu: Người thực hiện: . Quản lýĐ giáoỖ T dẤụcT TH ẮNG Lĩnh vực nghiênPhương c ứphápu: dạy học bộ môn: TOÁN   QuPhươngản lý giáopháp d giáoục d ục   PhươngLĩnh vự phápc khác: dạ y học bộ môn: TOÁN  Phương pháp giáo dục  Có đính kèm: Lĩnh vực khác:   Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Có đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2012-2013 - 1 -
2. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (CAUCHY) ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Bất đẳng thức (BĐT) là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . Đa số học sinh (HS) khi gặp BĐT thường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải như thế nào? Với vai trò là giáo viên dạy Toán 10, tôi muốn HS lớp 10 được tiếp cận một số đề thi cao đẳng, đại học, đề thi học sinh giỏi, bài BĐT hay từ những kiến thức bình thường, dễ hiểu nhất. - Chứng minh BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) của một biểu thức thực ra là một dãy hữu hạn các bước biến đổi, đánh giá thông qua các BĐT mà đảm bảo dấu “=” BĐT luôn đúng tại mọi thời điểm. Các sai lầm và khó khăn HS hay gặp phải là :  Theo thói quen làm BĐT trong chương trình, HS thường không kiểm tra dấu “=” của BĐT có xảy ra hay không? Như thế, HS dễ mắc sai lầm khi áp dụng “vô tư” các BĐT mà không xảy ra dấu “=”.  HS sẽ lúng túng không biết xuất phát từ đâu? Làm cách nào để suy luận ra các BĐT cần dùng trong bài toán. Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cô-si là một kĩ thuật “suy ngược” nhưng rất logic. Từ giá trị của các biến số trong BĐT tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu, suy ra các giá trị của các biến số trong BĐT tại các thời điểm dùng các BĐT để đánh giá, suy ra các BĐT phù hợp sẽ được sử dụng trong bài toán. Hơn nữa, giúp chúng ta có thể kiểm chứng lại cách làm bài toán có đúng không? từ đó hạn chế, khắc phục sai lầm. Tóm lại, kĩ thuật trên cho phép ta dự đoán, tránh sai lầm và định hướng cách giải bài toán. - Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cô-si để chứng minh BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN là một trong các phương pháp đơn giản, dễ hiểu hơn so với đa số các phương pháp khác, phù hợp với HS lớp 10. Cho phép HS giải quyết được nhiều bài toán BĐT mà không cần huy động tới kiến thức về đạo hàm của lớp 12. - 2 -
3. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Một là, qua thực tế dạy học và từ ghi nhận trên chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần BĐT, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng dành cho nó rất ít. Hai là, trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số và hình học ban nâng cao và ban cơ bản đều không có hoặc rất ít bài BĐT yêu cầu dấu “=” xảy ra khi nào? Do đó, thông thường khi làm bài BĐT thì HS không có thói quen thử lại dấu “=” có xảy ra hay không? Đây chính là sai lầm HS thường gặp phải. Do đó, tôi mạnh dạn làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp HS đỡ khó khăn hơn khi gặp một số bài BĐT có dạng trên. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI A) Cơ sở lí thuyết Theo chương trình sách giáo khoa ban nâng cao và cơ bản hiện hành, HS chỉ được học BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm. Do đó, chúng tôi cố gắng biên soạn hệ thống bài tập, kĩ thuật giải dựa trên BĐT Cô-si 2 và 3 số không âm, mục đích cho HS dễ hiểu nhất có thể.  Bất đẳng thức Cô-si 2 số không âm a b ab Cho a, b 0, ta có: 2 . Dấu "=" xảy ra a = b.  Từ BĐT Cô-si 2 số không âm ta có thể dễ dàng chứng minh được các BĐT Hệ quả sau: 1 1 ( ) 4 , 0  a b với a b a b 1 1 4  với a , b 0 a b() a b 1 1 1 1 , 0  4 với a b a b a b Dấu “=” xảy ra a=b  Bất đẳng thức Cô-si 3 số không âm a b c 3 abc Cho a, b, c 0, ta có: 3 . Dấu "=" xảy ra a = b = c.  Từ BĐT Cô-si 3 số không âm ta có thể dễ dàng chứng minh được các BĐT Hệ quả sau: - 3 -
4. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 1 1 1 ( ) 9 , , 0  a b c với a b c a b c 1 1 1 9  với a , b , c 0 a b c a b c 1 1 1 1 1 , , 0  9 với a b c a b c a b c Dấu “=” xảy ra a=b=c Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( , , , ) n :: Cho f x1 x 2 xn là một hàm n biến thực trên D f D ( , , , ) ( , , , ) f x1 x 2 x M  x 1 x 2 x D Max n n f M 0 0 0 0 0 0 D ( , , , ) : ( , , , ) x1 x 2 xn D f x 1 x 2 x n M ( , , , ) ( , , , ) f x1 x 2 x m  x 1 x 2 x D Min n n f m 0 0 0 0 0 0 D ( , , , ) : ( , , , ) x1 x 2 xn D f x 1 x 2 x n M  Nhận xét: Dấu hiệu để dùng BĐT Cô-si và các hệ quả là các biến trong BĐT luôn không âm hoặc dương. Điều này giúp ta nhận định nhanh bài toán có nên dùng BĐT Cô-si hay không. Trung bình cộng của các số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Do đó: +Để tìm GTNN của biểu thức thường ta sẽ biến đổi tổng thành tích. +Để tìm GTLN của biểu thức thường ta sẽ biến đổi tích thành tổng. Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cách giải. Đặc biệt, khi áp dụng nhiều lần bất đẳng thức Cô-si hoặc hệ quả thì các dấu “=” phải đồng thời xảy ra với cùng một điều kiện của biến. BĐT  “gộp” từ tổng 2 hoặc 3 số hạng thành một số hạng duy nhất. BĐT  “tách” từ một số hạng thành 2 hoặc 3 số hạng. B) Ứng dụng dự đoán dấu bằng trong BĐT Cô-si tìm GTLN, GTNN của biểu thức và chứng minh BĐT 1) Các sai lầm học sinh hay gặp phải Đa số khi mới làm BĐT thì HS thường hay gặp phải sai lầm. Đáng nói hơn là HS không biết mình sai như thế nào? Từ đâu?. Sau đây là các ví dụ HS hay gặp phải sai lầm. Đầu tiên là Bài 4.22 trang 105 Sách bài tập đại số 10 ban nâng cao Bài 1. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50 cm. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất - 4 -
5. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Sai lầm HS thường gặp: Gọi x (cm), 0 x 25 là độ dài hình vuông được cắt. 1 Do đó V (80 2)(50 x 2) x x  (80 2)(50 x 2)4 x x 4 Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số 80 2x 0,50 2 x 0,4 x 0 (80 2)x (50 2) x 4 x 130 Ta có: 3 (80 2x )(50 2 x )4 x 3 3 3 3 3 130 1 130 1 130 (80 2x )(50 2 x )4 x V . Vậy MaxV 3 4 3 4 3 Nguyên nhân sai lầm: +Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xảy ra khi nào? 3 1 130 MaxV khi 80 2x 50 2 x 80 50 (Vô lý). Do đó, dấu “=” không xảy ra. 4 3 1 Bài 2. Cho x 2 . Tìm GTNN của A x x Sai lầm HS thường gặp: 1 1 Áp dụng BĐT Cô-si 2 số không âm ta có A x 2 x . 2 . Vậy Min A= 2. x x Nguyên nhân sai lầm: +HS ngộ nhận Bài 2 với hệ quả 1 của BĐT Cô-si cho 2 số không âm trang 73 sách giáo khoa đại số 10 ban cơ bản có phát biểu: 1 Tổng một số dương và nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. a 2,  a>0 . a +Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xảy ra khi nào? Cụ thể 1 Min A= 2 x x 1 (vô lý) vì x 2 . Do đó, dấu “=” không xảy ra. x 1 Bài 3. Cho số thực x 2 . Tìm GTNN của A x x2 Sai lầm HS thường gặp: x x1 x x 1 1 3 Áp dụng BĐT Cô-si 3 số không âm ta có A 33 33 . 2 2x2 2 2 x 2 4 3 4 3 Vậy MinA 3 4 - 5 -
6. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Nguyên nhân sai lầm: Cách giải trên mắc sai lầm do dấu bằng của bất đẳng thức không xảy ra. Bởi vì, dấu x x 1 “=” xảy ra x 3 2 trái với giả thuyết x 2 . 2 2 x2 Bài 4. Lập phương trình đường thẳng đi qua Q(2;3) và cắt các tia ox,oy tại 2 điểm M, N khác điểm O sao cho OM+ON đạt GTNN. Trích từ Bài 10 trang 101 Sách bài tập hình học 10 ban nâng cao hiện hành Sai lầm HS thường gặp: Gỉa sử M(m;0),N(0;n) với m,n>0. x y Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn là : 1. m n 2 3 Do Q 2;3 1 m n 2 3 2 3 2 3 2 3 Áp dụng BĐT Cô-si 2 số , 0 : 2 . 1 2 . mn 24 m n m n m n m n Mặt khác OM ON m n 2 mn 2 24 4 6 . Do đó, Min OM ON 4 6 Nguyên nhân sai lầm: Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” của BĐT xẩy ra khi nào? Cụ thể 2 3 Dấu “=” xẩy ra khi m n m n 0(Vô lý). Do đó dấu “=” không xẩy ra. m n 2) Khắc phục sai lầm, phân tích và định hướng cách giải Kỹ thuật dự đoán dấu bằng để tìm GTLN, GTNN của biểu thức: B1: Dự đoán dấu “=” xầy ra: Dấu hiệu: +Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt được tại vị trí biên. +Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau. +Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng. Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu. - 6 -
7. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai B2: Định hướng cách giải: Từ giá trị của các biến tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu, ta suy ra giá trị của các biến và các BĐT tham gia đánh giá tại các thời điểm dấu “=” xảy ra. Mỗi phép đánh giá phải tuân theo nguyên tắc gía trị của các biến thuộc biều thức tại các thời điểm dấu “=” xảy ra của các BĐT vẫn không thay đổi. Nghĩa là, dấu “=” ở mỗi lần đánh giá đều phải giống như dấu “=” ở dự đoán ban đầu. Mục đích: Lập sơ đồ dấu “=”1 xảy ra gồm các giá trị của các biến tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu, tại mỗi thời điểm đánh giá, từ đó suy ra các BĐT đánh giá. Để hiểu hơn chúng ta hãy áp dụng vào một số bài toán cụ thể sau: 1 Bài 1. Cho số thực x 2 . Tìm GTNN của A x x B1 : Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra: Ta có 2 lưu ý: + Một là, biều thức có điều kiện x 2 1 + Hai là, hàm số f( x ) x hàm số đồng biến trên 2; x Thật vậy x1, x 2 (2; ) : x 1 x 2 2 1 1 x1. x 2 1 fxfxx()()1 2 1 - x 2 xx 1 2 0()() fxfx 1 2 x1 x 2 x 1. x 2 5 Do đó x càng nhỏ thì A càng nhỏ. Dự đoán dấu “=” xảy ra tại x 2 và Min A= . 2 1 B2:Định hướng cách giải: Biểu thức A có chứa tổng x và , để tìm GTNN của A x ta phải dùng BĐT nào mà khi đánh giá các biến x phải triệt tiêu. Do đó, nghĩ ngay đến phép đánh giá tổng thành tích BĐT Cô-si 2 số không âm. 1 +Không thể áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm x và vì dấu “=” không xảy ra x (nguyên tắc dấu “=” không đảm bảo). 1 Sơ đồ dấu “=”: Theo Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, Trần Phương, NXB Tri thức thì 1 được gọi là “Sơ đồ điểm rơi”. Nhưng thuật ngữ “Sơ đồ điểm rơi” không được định nghĩa trong chương trình. Nên chúng tôi tạm gọi là Sơ đồ dấu “=” với mục đich cho HS dễ hiểu. - 7 -