SKKN Áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực

Nội dung text: SKKN Áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực

1. Trường THPT Gia Viễn C Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài. Trong chương trình môn Toán lớp 10 nói riêng và trong bộ môn Toán nói chung thì Định lí Vi-ét, tam thức bậc hai chiếm một phần quan trọng. Các bài toán phải sử dụng định lý Vi-ét, các bài toán về tam thức bậc hai chiếm khối lượng lớn và cũng rất hay có trong các câu hỏi của các đề thi. Đặc biệt trong các bài toán về tam thức bậc hai thì không thể không nói đến bài toán “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”. Trong câu I của các đề thi đại học ta cũng hay gặp câu hỏi như: “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng” để giải quyết bài toán này ta thường đưa về dạng bài toán: “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”. Công cụ để giải quyết bài toán này trước kia thường sử dụng là “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai”. Nhưng trong chương trình cải cách sách giáo khoa đã bỏ định lí này. Trong quá trình dạy học môn đại số lớp 10, giải tích lớp 12 về vấn đề này, tôi thấy học sinh thường lúng túng khi giải và nhiều khi trình bầy dài dòng, dẫn đến dễ bị mắc sai lầm. Vậy, làm thế nào để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập? Chính vì những lý do trên mà tôi đã quyết định chọn đề tài “Áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực ”, với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em khắc phục những trở ngại nói trên. Từ đó đem lại cho các em kết quả cao hơn trong học tập, giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán. II. Mục đích nghiên cứu. Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đưa ra phương pháp sử dụng định lí Vi- ét để giải bài toán: “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”, cũng như một số bài toán: “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng”, Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán. Từ đó đem đến cho học sinh sự say mê và yêu thích hơn trong học toán, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn trong học tập III. Đối tượng nghiên cứu. Người thực hiện: Hà Mạnh Cường 1
2. Trường THPT Gia Viễn C Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu về định lí Vi-ét, nghiệm của tam thức bậc hai so với một số α, tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng, bài toán về cực trị của hàm số phải sử dụng định lí Vi-ét. IV. Phạm vi nghiên cứu. - Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh. - Áp dụng cho học sinh khối 10, 12. Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp. V. Phương pháp nghiên cứu. Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu. 1. Định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm b x x 1 2 a x1, x2 thì c x x 1 2 a u v s Và ngược lại, nếu hai số u và v có thì u và v là hai nghiệm của uv p phương trình X 2 sX p 0 . 2. Quy tắc về dấu. * Với hai số thực a và b, ta có quy tắc về dấu: a 0 a b 0 a 0 a b 0 a 0 ; ; ab 0. b 0 ab 0 b 0 ab 0 b 0 * Với α là số bất kì, ta có: x1 0 2 +, x1 x2 x1 x2 0 x1x2 x1 x2 0 ; x2 0 2 x1 0 x1 x2 0 x1x2 x1 x2 0 +, x1 x2 ; x 0 x x 0 2 1 2 x1 x2 2 2 x1 0 x1 x2 0 x1x2 x1 x2 0 +, x1 x2 . x 0 x x 0 2 1 2 x1 x2 2 3. Định lí về tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm bậc nhất: Hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng K : a) Nếu f x 0,x K thì hàm số y f x đồng biến trên K (bằng không tại một số hữu hạn điểm); b) Nếu f x 0,x K thì hàm số y f x nghịch biến trên K (bằng không tại một số hữu hạn điểm). Người thực hiện: Hà Mạnh Cường 2
3. Trường THPT Gia Viễn C Sáng kiến kinh nghiệm 4. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại x0 thì f x0 0 . 5. Cách giải bất phương trình bậc hai. II. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu. Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 10, khi dạy về phần tam thức bậc hai, mà cụ thể là bài toán “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc giải bài toán này bằng cách giải trực tiếp bất phương trình, vì bất phương trình này thường là bất phương trình vô tỷ, việc giải BPT vô tỷ học sinh thường rất rễ mắc sai lầm, nhiều khi cách giải này còn dài dòng và phức tạp. Để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này và từ đó giúp các em có thể tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải bài toán loại này. Từ đó đem lại cho các em kết quả cao hơn trong học tập. Chính vì thế tôi đã chọn đề tài này. III. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu. 1. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc khoảng (a; b). Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 2mx 4m 3 0 (1) a) Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2; b) Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2). Lời giải : a) Có m2 4m 3. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 x1 x2 , theo Vi-ét ta có: x1 x2 2m (2) x1x2 4m 3 Phương trình (1) có hai nghiệm lớn hơn 2 Người thực hiện: Hà Mạnh Cường 3
4. Trường THPT Gia Viễn C Sáng kiến kinh nghiệm m 1 2 0 m 4m 3 0 m 3 x1 2 x1 2 0 x1 2 x2 2 0 x 2 x 2 0 x 2 x 2 0 2 2 1 2 m 1 m 1 m 3 m 3 m 1 x1 x2 4 2m 4 m 3 m 3 x x 2 x x 4 0 4m 3 2 2m 4 0 1 2 1 2 m 2 Vậy, với m > 3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2. b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2) m 1 2 m 4m 3 0 m 3 0 x1 x2 0 2m 0 0 x1 2 x x 0 4m 3 0 0 x 2 1 2 2 x1 2 0 x 2 x 2 0 1 2 x2 2 0 x 2 x 2 0 1 2 m 1 m 1 m 1 m 3 m 3 m 3 m 0 m 0 m 0 3 3 3 3 m 1 m m m 4 4 4 4 x1 x2 2 x1 x2 4 0 4m 3 2 2m 4 0 m 2 x1 x2 4 2m 4 3 Vậy với m 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2). 4 2. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình bậc hai có nghiệm thuộc khoảng ( đoạn ) cho trước”. Ví dụ 2 : Tìm m để bất phương trình: x2 2 m 1 x m2 2m 0 (2) nghiệm đúng với x 0;1 Người thực hiện: Hà Mạnh Cường 4
5. Trường THPT Gia Viễn C Sáng kiến kinh nghiệm Lời giải : Bất phương trình (2) có tập nghiệm là x1; x2  , với x1, x2 là hai nghiệm của tam thức f x x2 2 m 1 x m2 2m . (vì tam thức luôn có hai nghiệm là m và m+2) x1 x2 2 m 1 Theo Vi – ét ta có: 2 x1.x2 m 2m Do đó, để bất phương trình (2) nghiệm đúng với x 0;1 2 x1x2 0 x1x2 0 m 2m 0 x1 0 1 x2 2 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 m 2m 2 m 1 1 0 2 m 0 1 m 0 1 m 1 Vậy, với 1 m 0 thì bất phương trình nghiệm đúng x 0;1 Ví dụ 3 : Cho bất phương trình: m 2 x2 2 4 3m x 10m 11 0 (1). Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với x <- 4. Lời giải : +, Với m – 2 = 0 m = 2, ta được: 9 4x 9 0 x BPT không nghiệm đúng với x <- 4. 4 +, Với m ≠ 2 , để bất phương trình nghiệm đúng với x <- 4, ta có các trường hợp sau: m 2 m 2 0 - Nếu 2 m 1 m 1(*) BPT nghiệm đúng với m 7m 6 0 m 6 x R. Do đó BPT (1) nghiệm đúng với x <- 4. m 2 0 m 2 - Nếu 2 1 m 2(1) thì tam thức có hai m 7m 6 0 1 m 6 nghiệm giả sử là x1, x2 x1 x2 . Để BPT (1) nghiệm đúng với x <- 4 thì: Người thực hiện: Hà Mạnh Cường 5
6. Trường THPT Gia Viễn C Sáng kiến kinh nghiệm x1 4 x1 4 x2 4 0 x1x2 4 x1 x2 16 0 x2 4 x1 4 x2 4 0 x1 x2 8 3 m 2 10m 11 8 4 3m 50m 75 16 0 0 m 2 m 2 m 2 m 2 2 4 3m 12 7m 12 8 0 m m 2 m 2 7 m 2 3 m 2 2 m 2 3 Từ (1) và (2) ta có: 1 m ( ). 2 3 Từ (*) và ( ), ta có giá trị m cần tìm là: m . 2 3. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn) cho trước”. Ví dụ 4 : Tìm điều kiện của m để hàm số y x3 3x2 (m 1)x 4 nghịch biến trong khoảng (-1; 1). Lời giải : TXĐ: D = R. Có: y 3x2 6x m 1 x x 2 1 2 Giả sử y’ có hai nghiệm là x1, x2 x1 x2 , theo Vi –ét ta có: m 1 . x x 1 2 3 Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) y 0 trên khoảng (-1; 1) Người thực hiện: Hà Mạnh Cường 6
7. Trường THPT Gia Viễn C Sáng kiến kinh nghiệm 3x2 6x m 1 0, x 1;1 6 3m 0 m 2 m 2 x1 1 x2 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 x 1 x x x x x 1 0 1 2 x1 1 x2 1 0 1 2 1 2 m 2 m 2 m 1 2 1 0 m 2 m 10 3 m 10 m 1 2 1 0 3 Vậy giá trị m cần tìm là: m 10 . Ví dụ 5 : Tìm m để hàm Số y x3 (m 1)x2 (2m2 3m 2)x 2m(2m 1) đồng biến với  x 2. Lời giải: TXĐ: D = R; Có y 3x2 2 m 1 x 2m2 3m 2 ; Có 7m2 7m 7 0, m ¡ . Do đó để hàm số đồng biến với x ≥2 3x2 2 m 1 x 2m2 3m 2 0, x 2 x1 2 x1 2 0 x1 2 x2 2 0 x2 2 x2 2 0 x1 2 x2 2 0 2m2 3m 2 4 m 1 4 0 x1x2 2 x1 x2 4 0 3 3 x1 x2 4 0 2 m 1 4 0 3 3 2m2 m 6 0 2 m 3 2 2 m m 1 6 2 m 5 3 Vậy giá trị của m cần tìm là: 2 m . 2 4. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị trên khoảng (đoạn) cho trước”. 1 Ví dụ 6 : Cho hàm số y x3 m 2 x2 5m 4 x m2 1. Tìm m để hàm số 3 có CĐ, CT tại x1, x2 thỏa mãn: a) x1 1 x2 ; b) 2 x1 x2 . Người thực hiện: Hà Mạnh Cường 7