Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán Lớp 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán Lớp 7

1. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 A. đặt vấn đề Trong quá trình giảng dạy ở trường cũng như cùng trao đổi với các đồng nghiệp tôi thấy rằng các bài toán dùng kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức để giải là một phần được học sinh và mọi người quan tâm cả về phương pháp học , giảng dạy, cũng như nội dung kiến thức, trong đó việc phân loại bài tập và phương pháp suy luận tìm tòi lời giải đối với từng dạng, đã được đề xuất đem ra trao đổi ở tổ chuyên môn, rồi được áp dụng vào các tiết giảng ở các lớp đại trà và các lớp bồi dưỡng HSG đã đạt kết quả tốt. Các bài toán về Tỉ lệ thức là một mảng toán rất rộng nên đề tài không có ý định đề cập tới tất cả các dạng ở các khối lớp mà chỉ hạn chế mức độ toán 7 để sử dụng trong giảng dạy và bồi d- ưỡng học sinh khá, giỏi lớp 7, các bài toán thường gặp trong thi Violympic. Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 kể cả học sinh khá giỏi từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau. để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập và tỉ lệ thức học sinh còn khó khăn và lúng túng nhiều. Từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình thường đến những bài toán khó. chính vì thế nên tôi đã đisâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số cách “ Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 “ để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giải các bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 1
2. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 B. Nội dung: I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa về tỷ lệ thức: Tỷ lệ thức là một đẳng thức của hai tỷ số a c hoặc a : b = c : d. b d Trong đó các số: a,b,c,d được gọi là các số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b và c gọi là trung tỷ. 2. Tính chất của tỷ lệ thức. + Tính chất 1: trong mội tỷ lệ thức, tích 2 trung tỷ thì bằng 2 ngoại tỷ. a c Nếu thì a.d = b.c b d + Tính chất 2: Nếu tích của 2 thừa số khác 0 bằng 1 tích của 2 thừa số khác 0 thì ta có thể lập được 4 tỷ lệ thức: Nếu có: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) thì có: a c b d a b c d ; ; và b d a c c d a b 3. Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau: a c a c a c a, = (b ≠ d ) b d b d b d a c m a c m a c m b, = (Các mẫu số khác 0). b d n b d n b d n 4. Tổng quát cho dãy tỉ số bằng nhau: a a a a 1 2 3 n b1 b2 b3 bn (n 2; n Z) a a a a a a a 1 1 2 n 1 2 n b1 b1 b2 bn b1 b2 bn GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 2
3. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 a c e ma nb he b d f mb nd hf Nếu nói: Các sỗ x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c ta có thể viết như sau: x y z hoặc x: y: z = a: b: c a b c 5. Các kiến thức có liên quan. a, tính chất cơ bản của phân số: Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số a a.m mới bằng phân số đã cho. ( b ≠ 0, m ≠ 0). b b.m Nếu ta chia cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số a a : m mới bằng phân số đã cho. ( b ≠ 0, n ≠ 0). b b : m b, Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800: A + B + C = 1800 c, Quãng đường đi được của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết quãng đường đó: S = v.t II. các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước, từ các số cho trước. Phương pháp giải : + Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước : áp dụng tính chất 2 Nếu có: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) thì có: a c b d a b c d ; ; và b d a c c d a b a c + Lập tất cả tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước từ tỉ lệ thức b d Ta có thể lập được 3 tỉ lệ thức khác nữa bằng cách a b - giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ các trung tỉ : c d GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 3
4. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 c d - giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ các ngoại tỉ : a b b d - đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau : a c Ví dụ áp dụng 1) Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập các tỉ lệ thức: 1 1 2 28:14; 2 : 2 ; 4: 2; : ; 30:100; 2,1: 7; 2 2 3 Giải: 28:14 = 4:2 ; 30 : 100 = 2,1 : 7 2) lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức sau 6.63 = 9.42 6 42 6 9 63 42 63 9 , , , 9 63 42 63 9 6 42 6 3)Từ các tỉ số sau đây có lập được tỉ lệ thức không? 3 2 a) 3,5: 5,25 và 14:21: b) 39 :52 và 2,1: 3,5; 10 5 2 c) 6,51: 15,19 và 3: 7; d) -7: 4 và 0,9: (-0,5). 3 Giải: a), c) được 4) Cho tập hợp A= 2;8;32;128;512. Hãy liệt kê mọi tỉ lệ thức có các số hạng là các phần tử của tập hợp A. Giải: từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức: 2 8 8 8 • 2 x 32 = 8 x 8 từ hệ thức này có các tỷ lệ thức : và . 8 32 2 32 8 32 32 128 • 8 x 128 = 32 x 32. Suy ra các tỉ lệ thức sau: và . 32 128 8 32 32 128 128 512 • 32 x 512 = 128 x 128 ta có hệ thức sau: và . 128 512 32 128 2 32 32 512 • 2 x 512 = 32 x 32 ta có các tỉ lệ thức sau: và . 32 512 2 32 • 2 x 128 = 8 x 32 ta có các tỉ lệ thức sau: 8 128 2 32 32 128 2 8 ; ; và . 2 32 8 128 2 8 32 128 • 8 x 512 = 32 x 128 ta có các tỉ lệ thức sau: 8 128 512 32 512 32 8 ; và . 32 512 32 8 128 512 128 • 2 x 512 = 8 x 128 ta có các tỉ lệ thức sau: 2 128 8 512 2 8 128 512 ; ; và . 8 512 2 128 128 512 2 8 GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 4
5. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 Như vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập được 20 tỷ lệ thức khác nhau. Dạng 2: Tìm các số chưa biết khi biết các số còn lại trong tỷ lệ thức, khi biết tổng hoặc hiệu của chúng. a, Cách giải:trong một tỉ lệ thức ta có thể tìm được số hạng còn lại khi biết được 3 số hạng kia : a c bc ad ad bc a ,b ,c ,d b d d c b a * áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. a c a c a c b d b d b d * Vận dụng tính chất cơ bản của phân số. a c am cK a : n b d bm dK b : n * Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K. tìm mối quan hệ của ẩn số qua K. Ví dụ áp dụng: Bài 1 : Tìm x trong các tỉ lệ thức sau x 2 2.27 54 a) x 15 27 3,6 3,6 3,6 Bài 2: Tìm 2 số x, y biết: x y a) và x + y = 28 5 2 b) 7x = 3y và x – y = 16 Giải: x y a) Từ áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: 5 2 GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 5
6. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 x y x y 28 4 Do đó: x = 5.4 = 20 ; y = 2.4 = 8. 5 2 5 2 7 7 3 3 7 4 1 b) Từ 7x = 3y y x x y 8 2 3.2 7.2 x = 6 ; y = 14 . 1 1 Bài 3. Tìm x, y 0 biết: x 3 a) và 2x+ 5y = 10 y 4 2x 1 b) và 2x + 3y = 7 3y 3 c) 21x = 19y và x- y = 4 x y d) và x.y = 84 3 7 Giải: x 3 x y 2x 5y a) => => y 4 3 4 6 20 2x 5y 2x 5y 10 Ta có 6 20 6 20 26 x= 15 ; y = 20 13 13 b), c) giải tương tự. x y x2 xy x2 xy x2 84 d) Do x 0 Nên từ => 10x2 = 3x2 +252 3 7 3 7 3 7 10 => x2 = 36 => x = 6 hoặc x = -6 Dạng3: Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Phương pháp : áp dụng các tính chất của tỉ lệ thức,dãy tỉ số bằng nhau Cách1 - Phân tích ngược để phát hiện biểu thức cần thêm hoặc bớt vào đẳng thức đã cho để suy ra biểu thức cần chứng minh. Cách 2 - Đặt ẩn phụ rồi chỉ ra hai vế của đẳng thức cần phải chứng minh cùng bằng một biểu thức thứ ba. Cách 3 - Lập các tích trung tỉ và các tích ngoại tỉ rồi so sánh chúng kết hợp với đẳng thức suy ra được từ giả thiết. Ví dụ áp dụng a c ví dụ 1 : Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức (a b 0,c d 0) ta có thể suy ra tỉ b d a b c d lệ thức a b c d GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 6
7. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 a c Giải : đặt k = vì a b 0, c d 0 nên a b, c d do đó k 1. Ta có a = bk, b d c = dk a b bk b b(k 1) k 1 (1) a b bk b b(k 1) k 1 c d dk d d(k 1) k 1 (2) c d dk d d(k 1) k 1 a b c d Từ (1) và (2) suy ra a b c d a c Ví dụ2 Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau( giả thiết b d các tỉ lệ thức phải chứng minh đều có nghĩa): a b c d a) ; a b c d 2a 5b 2c 5d b) ; 3a 4b 3c 4d ab (a b)2 c) cd (c d)2 Câu a) Tìm tòi lời giải: a b c d ; ad = bc => 2ad = 2bc => ad – bc = bc – ad b d  ac + ad – bc – bd = ac + bc – ad – bd => (a-b)(c+d) = (c-d)(a+b) a b c d  ; a b c d Cách 2 : Dùng ẩn phụ a c Đặt = k => a = bk ; c = dk => b d a b bk b b(k 1) k 1 (1) a b bk b b(k 1) k 1 c d dk d d(k 1) k 1 (2) a b bk b d(k 1) k 1 Từ (1) và (2) ta có đẳng thức cần phải chứng minh. Câu b) Cách 1 ta có thể so sánh tích các trung tỉ và tích các ngoại tỉ Giải: GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 7
8. SKKN:Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 Xét tích A = (2a + 5b)(3c – 4d) = 6ac – 8ad + 15bc – 20bd B = (3a – 4b)(2c + 5d) = 6ac +15ad – 8bc – 20bd a c Mặt khác theo giả thiết ta lại có: => ad = bc b d 2a 5b 2c 5d Nên B = 6ac + 15bc – 8ad – 20bd = A => ; 3a 4b 3c 4d Cách 2: làm tương tự cách 2 của câu a) Chỉ ra 2 vế của đẳng thức cần chứng minh đều bằng 2k 5 từ đó suy ra điều phải chứng minh. 3k 4 a c ac a2 c2 Ví dụ2: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng b d bd b2 d 2 a c Giải:Cách1: Đặt = k => a = bk; c = dk. Ta có: b d ac bk.dk = k2 (1) bd bd a2 c2 (bk)2 (dk)2 k 2 (b2 d 2 ) k 2 (2) b2 d 2 b2 d 2 b2 d 2 Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh. Cách 2: 2 2 a c a c a c a2 c2 ac Từ: => . , do đó 2 2 (1) b d b d b d b d bd Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a2 c2 a2 c2 (2) b2 d 2 b2 d 2 Từ (1) và (2) Ta suy ra điều phải chứng minh. Cách 3: Xét tích ac(b2 + d2) và bd(a2 + c2), ta có: ac(b2 +d2) = ab2c+ acd2 =ab.bc + ad.cd (1) bd(a2+ c2) = a2bd + bc2d = ab.ad = bc.cd (2) a c Mặt khác ta lại có: => ad = bc b d Kết hợp với (1) và (2) suy ra: ac(b2 +d2) = bd(a2+ c2). Suy ra điều phải chứng minh. Dạng 4: Bài tập vận dụng dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán thực tế Phương pháp : Vận dụng các kiến thức liên quan và áp dụng tính chất nêu trên để giải a, Ví dụ 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với 3, 4, 5. GV : trần quyết thắng trường thcs châu hoá Page 8