Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đồng dư thức trong giải Toán Lớp 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đồng dư thức trong giải Toán Lớp 7

1. Chuyên đề BDHSG THCS 2016 Chuyên đề ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC TRONG GIẢI TOÁN LỚP 7 Phần 1: Đặt vấn đề I.LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Toán học là một bộ môn khoa học rất trừu tượng, được suy luận một cách lôgic và là nền tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác. Số học là một phần không thể thiếu và nó chiếm một vai trò khá quan trọng trong bộ môn này. Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên là một nội dung khá quan trọng trong phần số học. Hơn nữa, đây cũng là mảng rất khó khăn cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học. Xuất phát từ vấn đề đó, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, trao đổi và học hỏi ở bạn bè, đồng chí đồng nghiệp và đã tìm ra chìa khoá để giải quyết vấn đề này. Đó là lý thuyết đồng dư. Năm học 2012-2013, tôi được sự phân công của các đồng chí trong tổ và đã làm chuyên đề trường, vấn đề này được nhiều đồng nghiệp quan tâm và chia sẽ. Vì vậy tôi đã chọn “Ứng dụng đồng dư thức trong giải Toán lớp 7 ” làm sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi với bạn bè đồng nghiệp nhiều hơn về lĩnh vực này. 1. Cơ sở lí luận. “ Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục là quốc sách hàng đầu” chủ trương đó đã thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và Nhà nước ta; khẳng định tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nước; bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH. Nghành giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao gồm: đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy và học, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện. Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, môn Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Xưa nay, đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học toán đối với học sinh là một điều hết sức khó khăn. Hơn thế nữa, chúng ta đang ra sức để xóa bỏ tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp. Tất cả những lý do trên xuất phát từ những nguyên nhân khách quan và chủ quan như: học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn.v.v 1
2. Chuyên đề BDHSG THCS 2016 Học toán đồng nghĩa với giải toán. Trong học tập muốn làm được bài tập ngoài việc có một phương pháp suy luận đúng đắn đòi hỏi học sinh phải có vốn kiến thức sẵn có tiếp thu từ các công thức, các quy tắc, định nghĩa, khái niệm, đinh lý Đặc biệt trong giai đoạn phát triển của khoa học công nghệ hiện nay, trình độ tri thức của con người phát triển rõ rệt. Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của mọi người dân, bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của nhân dân. Vì thế trong dạy học người giáo viên cần phát triển ở học sinh “ những năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề ở từng góc độ khác nhau. Tìm tòi những cái cũ trong cái mới”. Để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn đề mới. Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trên vành số nguyên. Là một nội dung được suy luận một cách lôgic, chặt chẽ. Trên cơ sở lý thuyết đồng dư được hai nhà bác là Ơle và Fécma đã đưa ra 2 định lý rất nổi tiếng và cố tính ứng dụng rất cao. 2. Cơ sở thực tiễn Lý thuyết đồng dư sẽ cho ta phương pháp đồng dư, đó là một động tác có tính chất kỹ thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyết vấn đề chia hết trong vành số nguyên. Trong chương trình toán THCS có nhiều dạng bài tập liên quan đến lý thuyết đồng dư, xong tôi chỉ đưa vào đây một số bài tập điển hình và các dạng toán ở lớp 7. 3. Thực trạng . Nắm chắc và vận dụng thành thạo các phương pháp trong giải toán là vấn đề cần chú trọng, đặc biệt là đối với học sinh trường THCS Yên Lạc – có chất lượng đào tạo cao – thì càng phải chú trọng để đảm bảo và nâng cao chất lượng học sinh. Hơn nữa để giúp các em HSG tự tin và đạt thành tích cao trong các kì thi HSG. Bằng việc xây dựng các chuyên đề toán có nội dung phù hợp và thiết thực tôi tin tưởng các em học sinh sẽ say mê học toán và tìm ra cách học, nắm chắc các phương pháp giải toán thông qua từng dạng bài tập. Qua giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi 7, tôi thấy chuyên đề này rất thiết thực, các em đã có thể giải được một số dạng toán khó, vận dụng linh hoạt các phương pháp để giải một số dạng toán liên quan đến lý thuyết đồng dư đưa được các dạng toán đó về dạng quen thuộc và đơn giản hơn. 4. Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm được các phương pháp để giải bài toán, rèn kĩ năng giải Toán loại này và nhằm phát triển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh. - Cho học sinh thấy được vai trò và tầm quan trọng của các phương pháp giải liên quan đến lý thuyết đồng dư trong Toán học, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo của người nghiên cứu khoa học. 2
3. Chuyên đề BDHSG THCS 2016 5. Phạm vi, kế hoạch và đối tượng nghiên cứu. 5.1 Phạm vi nghiên cứu. Trong môn toán có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp đồng dư thức. Tuy nhiên trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số ứng dụng sau. - Tìm số dư trong phép chia số nguyên - Chứng minh sự chia hết - Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa - Giải phương trình nghiệm nguyên. 5.2 Kế hoạc nghiên cứu. - Thời gian thực hiện chuyên đề 4 buổi tương ứng với 16 tiết dạy 5.3 Đối tượng nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu là học sinh khá giỏi lớp 7 trường THCS Yên Lạc. 6. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, sách nâng cao và phát triển Toán 6,7 , sách nâng cao và các chuyên đề đại số 7 , tài liệu tham khảo có liên quan - Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh. - Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra. Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh. B. NỘI DUNG I- ĐỒNG DƯ THỨC 1. Định nghĩa và các điều kiện: a. Định nghĩa: Cho m N *; a,b Z. Nếu a và b khi chia cho m có cùng số dư ta nói: a và b đồng dư theo môđun m. Kí hiệu: a  b (mod m) Hệ thức: a  b (mod m) gọi là đồng dư thức. Ví dụ: 19  3 (mod 8); -25  3 (mod 4) b. Các điều kiện tương đương: 1- a  b (mod m) 2- (a - b) m 3- t Z sao cho: a = b + m.t. 2. Các tính chất a. Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp Z có nghĩa là: 1- a  a (mod m) 2- a  b (mod m) => b  a (mod m) 3- a  b (mod m); b  c (mod m) => a  c (mod m) b. Ta có thế cộng từng vế một với nhau theo cùng một môđun. Cụ thể: n n k k ai  bi (mod m) i = 1,n => ( 1) ai  ( 1) bi (mod m) k N i 1 i 1 3
4. Chuyên đề BDHSG THCS 2016 c. Ta có thế nhân từng vế với nhau nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun. Cụ thể: ai  bi (mod m);i = 1,n n n =>  a i   b 1 (mod m); i 1 i i 3. Các hệ quả a. a  b (mod m) => a c  b c (mod m) b. a + c  b (mod m) => a  b - c (mod m) c. a  b (mod m) => a + k.m  b (mod m) d. a  b (mod m) => a.c  b.c (mod m) e. a  b (mod m) => an  bn (mod m) n N n n-1 f. Cho f(x) = an x + an-1 x + . . . +a1x + a0 ai Z . Nếu   (mod m) thì ta cũng có f( )  f(  ) (mod m) Đặc biệt: f( )  0 (mod m) thì ta cũng có: f( + k.m)  0 (mod m) k Z g. Ta có thể chia cả hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung của chúng nguyên tố với môđun. Cụ thể là: a.c  b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 => a  b (mod m) h. Ta có thể nhân cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với cùng một số nguyên dương. Cụ thể là: a  b (mod m) => a.c  b.c (mod m.c) c N * i. Ta có thể chia cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với cùng một ước dương của chúng. Cụ thể là: a  b (mod m); 0 a/c  b/c (mod m/c) k. Nếu 2 số a và b đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng đồng dư với nhau theo môđun là bội chung nhỏ nhất của môđun ấy. Cụ thể là: a  b (mod mi), i = 1,n => a  b (mod m). Trong đó: m = BCNN(m1, m2 mn) l. Nếu a và b đồng dư với nhau theo môđun m thì chúng cũng đồng dư với nhau theo môđun là ước dương của m. Cụ thể là: a  b (mod m); 0 a  b (mod ∂ ) m. Nếu: a  b (mod m) thì: ƯCLN( a; m) = ƯCLN( b; m). II- ĐỊNH LÝ ƠLE VÀ ĐỊNH LÝ FÉCMA 1. Định lý Ơle a. Hàm số Ơle- µ(m) Cho hàm số µ(m) được xác định như sau: 4
5. Chuyên đề BDHSG THCS 2016 - m = 1 ta có: µ(m) = 1 - m > 1 thì µ(m)là các số tự nhiên không vượt quá m – 1 và nguyên tố với m b. Công thức tính µ(m) b.1 m = pα ( p là số nguyên tố, α là số tự nhiên khác 0) 1 Ta có: µ(m) = µ(pα) = pα (1 ) p 1 2 3 n b.2 m = p1 p2 p3 pn (pi là các số nguyên tố, α1 là số tự nhiên khác 0 ). Ta 1 1 1 1 có: µ(m) = m (1 )(1 )(1 ) (1 ) p1 p2 p3 pn c. Định lý Ơle Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với m. Khi ấy ta có: aµ(m)  1 (mod m) 2. Định lý Fécma - Định lý Fécma 1 Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho m. Khi ấy ta có: p - 1 a  1 (mod p) - Định lý Fécma 2 Cho p là một số nguyên tố, a là một số nguyên dương bất kỳ. Khi ấy ta có: p - 1 a  a (mod p) 5
6. Chuyên đề BDHSG THCS 2016 III - MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1. Tìm số dư trong phép chia Ví dụ1: Tìm số dư trong phép chia: 29455 – 3 chia cho 9 Giải: Ta có: 2945  2 (mod 9) => 29455 – 3  25 – 3 (mod 9) Mà 25 – 3  2 (mod 9) Vậy số dư của 29455 – 3 chia cho 9 là 2 Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia 109345 chia cho 14 Giải: Ta có: 109  -3 (mod 14) => 109345  (-3)345 (mod 14) Ta lại có: ( -3; 14 ) = 1 1 1 Hơn nữa: µ(14) = 14.(1 )(1 ) 6 2 7 Nên: (-3)6  1 (mod 14) (theo định lý Ơle) => (-3)345  (-3)3 (mod 14) Mặt khác: (-3)3 = -27  1 (mod 14) Vậy số dư trong phép chia 109345 chia cho 14 là 1 Ví dụ 3:Tìm số dư trong phép chia: (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 Giải: Ta có: 1998  0 (mod 111) => 1997  -1 (mod 111) và 1999  1 (mod 111) Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000  2 (mod 111) (19971998 + 19981999 +19992000 )10  210 (mod 111) Mặt khác ta có: 210 = 1024  25 (mod 111) Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư là 25 Bài tập : Tìm số dư của phép chia Bài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20042004 cho 11 Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số được gọi là chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn kể từ trái sang phải chia hết cho 11. Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ? Ta có (5 + 1) - (0 + 6) = 0. Vì 0  11 = > 5016  11 Giải : Ta có 2002  11 => 2004 - 2  11 => 2004 ≡ 2 (mod 11) => 20042004 ≡ 22004 (mod 11) , mà 210 ≡ 1 (mod 11) (vì 1024 - 1  11) => 20042004 = 24.22000 = 24.(210)200 ≡ 24 ≡ 5 (mod 11) Vậy 20042004 chia 11 dư 5. Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7 Giải : Ta có : 1944 ≡ -2 (mod 7) => 19442005 ≡ (-2)2005 (mod 7) 6