Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình

1. UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MÔN :TOÁN KHỐI LỚP 12 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP TỈNH ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số : . Bằng chữ : Họ và tên Giám khảo số 1 : . chữ ký Họ và tên Giám khảo số 2 : . chữ ký Năm học 2012 - 2013 - 1 -
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG TRƯỜNG :THPT KINH MÔN Số phách TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MÔN :TOÁN TÊN TÁC GIẢ: NGUYỄN ĐỨC ĐIỆP Xác nhận của nhà trường - 2 -
3. UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MÔN :TOÁN KHỐI LỚP 12 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP CƠ SỞ ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số : . Bằng chữ : Họ và tên Giám khảo số 1 : . ký tên Họ và tên Giám khảo số 2 : . ký tên Năm học 2012 - 2013 - 3 -
4. UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MÔN :TOÁN KHỐI LỚP 12 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP NGÀNH ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số : . Bằng chữ : Giám khảo số 1 : . Giám khảo số 2 : . Năm học 2012 - 2013 - 4 -
5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH. Phần 1- MỞ ĐẦU Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán ở bậc trung học phổ thông các bài toán về phương trình, bất phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình của ba khối lớp. Bên cạnh đó là sự phong phú về dạng toán, từ phương trình, bất phương trình vô tỷ ở lớp 10, phương trình lượng giác ở lớp 11 đến phương trình, bất phương trình mũ, logarit ở lớp 12, mà phương pháp để giải quyết các dạng bài toán đó cũng rất phong phú, rất nhiều ý tưởng độc đáo và bất ngờ được phát hiện khi tìm hiểu để giải quyết những bài toán tạo lên sự hấp dẫn của toán học đối với người học cũng như người dạy. Như ta đã biết phương trình, bất phương trình đều được xây dựng trên cơ sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giải không thể thiếu chúng của các dạng toán trên chính là sử dụng đạo hàm trong giải toán. Xuất hiện ở rất nhiều tài liệu, từ chuyên đề hàm số đến các chuyên đề về phương trình đại số và trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp đều có những bài toán được giải bằng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên hệ thống bài tập trong một số chuyên đề đó còn rời rạc, việc khai thác và khắc sâu ý tưởng trong bài giải còn chưa triệt để. Điều đó gây khó khăn cho học sinh trong việc xây dựng cho mình những phương pháp giải hoàn chỉnh đối với các dạng bài toán phương trình, bất phương trình . Xuất phát từ thực tế cần có một hệ thống các bài tập theo những chuyên đề hoàn chỉnh tôi đã tập hợp, bổ sung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng. Vì vậy tôi lựa chọn đề tài: “Ứng dụng đạo hàm trong giải phương - 5 -
6. trình, bất phương trình” làm sáng kiến kinh nghiệm, mong rằng với những tìm hiểu của mình có thể giúp học sinh nhận biết, sử lý bài toán giải phương trình, bất phương trình nhanh chóng và thành thạo hơn . Trong thực tế, chuyên đề đã được tôi sử dụng trong quá trình ôn thi đại học cho học sinh các lớp tôi dạy đạt kết quả khá tốt và học sinh giỏi trong những năm qua cũng đạt kết quả khá cao. Khi triển khai chuyên đề trên tới các đối tượng học sinh, không chỉ học sinh khá giỏi mới làm được mà ngay cả những học sinh trung bình sau khi tiếp nhận kiến thức cũng đã biết sử lý, phân tích bài toán một cách linh hoạt hơn. Học sinh khá, giỏi đã có thể suy nghĩ để đưa ra một số bài toán sử dụng phương pháp đạo hàm để trao đổi trong nhóm học, tạo ra sự hứng thú và hăng say học tập. Tôi rất mong được sự trao đổi, góp ý đánh giá bổ xung thêm của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần giúp học sinh và thầy cô giáo chúng ta tiến tới cái “ chân thiện mỹ” của Toán học. Phần 2: NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lí luận: Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng. Muốn học tốt môn toán học sinh cần phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu - 6 -
7. môn toán có hệ thống trong chương trình phổ thông,sự liên hệ logic giữa các mảng kiến thức trong chương trình phổ thông. Vận dụng lí thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải. Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 chỉ nêu một số cách giải các phương trình, bất phương trình một cách đơn giản. Việc sử dụng đạo hàm chỉ dừng lại ở bài toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàm trong việc giải các bài toán sơ cấp thì chưa được sử dụng nhiều và hầu như học sinh vận dụng còn hạn chế và chưa linh hoạt, song các đề thi đại học , cao đẳng và thi học sinh giỏi gần đây việc giải các bài toán có sự ứng dụng của đạo hàm rất nhiều. Đặc biệt là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình giúp cho học sinh giải một số bài toán sẽ đơn giản hơn. Ví dụ 1. Giải phương trình: x 1 x3 4x 5 Nếu giải theo cách bình thường đã biết ở lớp 10 như: bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó, tuy nhiên nếu tinh ý một chút ta thấy ngay nếu chuyển biến x sang vế trái thì vế trái là một hàm đồng biến và x 1 là một nghiệm của phương trình, sử dụng phương pháp đạo hàm thì ta giải phương trình này một cách đơn giản. 1 x2 1 2x 2 2 1 1 Ví dụ 2.Giải bất phương trình sau: 2 x 2 x 2 x Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải. Nhưng nếu sử dụng phương pháp hàm số thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều.Và rất nhiều bài toán khác mà việc sử dụng đạo hàm là rất cần thiết và hữu ích. Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình và bất phương trình.Bên cạnh đó giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh thi đại học và thi học sinh giỏi. Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đưa ra một số bài toán và cách giải tương ứng bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm. - 7 -
8. 2.2. Thực hiện các giải pháp của đề tài: Để giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình trong các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số đã học ở lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải. Ở đây, tôi chỉ đề cập đến một vài khía cạnh nhỏ trong việc giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp ứng dụng tính đơn điệu của hàm số. 2.2.1. Cơ sở lí thuyết: 2.2.1a.Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với x1; x2 (a;b) . a. Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên (a;b) nếu x1 f(x2). *Mệnh đề 1: Nếu hàm số y f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì a. phương trình : f (x) m có không quá một nghiệm trên D. b. f (a) f (b) a b a,b D Chứng minh: * Không mất tính tổng quát, giả sử f(x) đồng biến trên D. a)Giả sử phương trình f (x) m có nghiệm x x0 f (x0 ) m .Do f(x) đồng biến nên: +x > x0 =>f(x) > f(x0) =m phương trình f(x) = m vô nghiệm. +x f(x) f(a) vô lý. * nếu a>b => f(a)>f(b) ( trái với bài ra f(a) = f(b) ) => vô lý - 8 -
9. *nếu a = b => đúng. *Chú ý: +Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giải phương trình: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f (x) k hoặc f (u) f (v) (trong đó u u(x); v v(x) ) và ta chứng minh được f(x)là hàm luôn đồng biến (nghịch biến). Nếu là phương trình: f (x) k ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Nếu là phương trình: f (u) f (v) ta có ngay u v giải phương trình này ta tìm được nghiệm. +Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm. 2.2.1b. Định lý. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên D. +Nếu f '(x) 0 x D dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thì y f (x) đơn điệu tăng trên D. +Nếu f '(x) 0 x D dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thì y f (x) đơn điệu giảm trên D. Hàm số đơn điệu là hàm số tăng hoặc giảm . *Mệnh đề 2: Nếu hàm số y f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x) g(x) không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử x = a là một nghiệm của phương trình: f (x) g(x) tức là f (a) g(a) . Ta giả sử y f (x) đồng biến còn y g(x) nghịch biến. - 9 -
10. +Nếu x a suy ra f (x) f (a) g(a) g(x) nên phương trình f (x) g(x) vô nghiệm. +Nếu x a suy ra f (x) f (a) g(a) g(x) nên phương trình f (x) g(x) vô nghiệm. Vậy phương trình f (x) g(x) có nhiều nhất một nghiệm. *Chú ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 ta có thể biến đổi về dạng; f (x) g(x) , trong đó f và g khác tính đơn điệu. khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. *Mệnh đề 3: Nếu hàm số y f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì: f (x) f (y) x y (x y) . 2.2.2Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình: Dạng 1: Phương trình đã cho được đưa về dạng: h(x) g(x) (hoặc h(u) g(u) )trong đó u u(x) . a)Phương pháp: Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng : f (x) m (hoặc f (u) m ) Bước 2: Xét hàm số y f (x) trên D. *Tính f ' (x) và xét dấu f ' (x) , kết luận tính đơn điệu của hàm số y f (x) trên D. *Kết luận hàm số: y f (x) đơn điệu trên D. *Tìm x0 sao cho f (x0 ) m (hoặc tìm u0 sao cho f (u0 ) m ). Bước 3: kết luận. *Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x x0 (hoặc u u0 rồi giải phương trình u u0 ) - 10 -