Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng máy tính cầm tay để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng máy tính cầm tay để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b

1. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” MỞ ĐẦU Trong những năm qua, việc sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài tập không thể giải nhanh bằng tay. Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “Các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT và cuộc thi giải toán Violympic trên Internet ở lớp 7, 8, 9 đều có dạng toán về đa thức. Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng, cũng như kỹ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác. Vì vậy, để giúp cho các em học sinh có kỹ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo, chính xác và nhanh là hết sức cần thiết . Đứng trước thực trạng trên, tôi xin đưa ra phương pháp giải và cách trình bày để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b”. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 1
2. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” CƠ SỞ KHOA HỌC KHI TÌM SỐ DƢ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC f(x) CHO g(x) = ax +b Để tìm số dư trong phép chia f(x) cho g(x) = ax + b thì ta sử dụng các phương pháp sau: 1. Thực hiện phép chia thông thường. 2. Định lí Bezoul. 3. Sơ đồ Hoocne. Tùy theo yêu cầu của bài toán mà chọn phương pháp giải phù hợp. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 2
3. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” NỘI DUNG 1.Định lí Bezoul. a) Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a R trong biểu thức của f(x). - Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a). Gọi là giá trị của f(x) tại a. - Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a. b) Định lí Bezoul: Trƣờng hợp 1: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằng f(a). VD1. Chia f(x) = 7x5 - 30x4 - 1975 cho g(x) = x – 19,54. Giải: Số dư f(x) chia cho g(x) là f(19,54) Cách 1: Sử dụng phím nhớ - Ấn: 19,54 Shift STO X ( gán 19,54 vào biến nhớ X ) hoặc ấn: 19,54 = ( gán 19,54 vào biến Ans) - Nhập biểu thức: 7X5 – 30X4 - 1975 hoặc nhập biểu thức: 7Ans5 - 30Ans4 – 1975 - Ấn: = KQ: f(19,54) = 15 564 423,85 Cách 2: Sử dụng chức năng phím CALC - Nhập biểu thức: 7X5 – 30X4 - 1975 Ấn: 7 Alpha X 5 - 30 Alpha X ^4 4 - 1975 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 3
4. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” - Lưu biểu thức: + Ấn CALC máy hỏi X? ấn 19,54 = KQ: f(19,54) = 15 564 423,85 VD2. Chia f(x) = 19x5 - 3x2 – 1930x + 1890 cho g(x) = x + 19,11. Ta có số dư là f(-19,11) = 48 461 272,57 Trƣờng hợp 2: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là b hằng số bằng f . a VD3. Chia f(x) = 26x3 + 1931x2 + 9x – 1982 cho g(x) = 20x + 11. 11 Ta có số dư là: f 1407,14825 20 VD4. Chia f(x) = 3x4 + 5x3 – 4x2 + 2x – 7 cho g(x) = 4x -5. 4 3 2 5 5 5 5 5 87 Ta có số dư là f 3. 5. 4. 2. 7 6 4 4 4 4 4 256 2.Sơ đồ Hoocne: Trong trường hợp chia một đa thức Pn(x) cho một nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau: n n-1 n-2 Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anx + an-1x + an-2x + + a1x + a0 n-1 n-2 cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1x + bn-2x + + b1x + b0 thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , , a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau đây: bn-1 = an bn-2 = m. bn-1 + an-1 . . . . . . b0 = m.b1 + a1 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 4
5. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” và số dư r = m.b0 + a0 an an-1 an-2 a1 a0 m bn-1 = an bn-2= m.bn-1+an-1 bn-3= m.bn-2+an-2 b0=m.b1+a1 r =m.b0+a0 Ví dụ 1. Tìm thương và số dư của đa thức: f( x) 2 x42 3 x 2013 x 2014 chia cho g( x ) x 195 Giải: Ta ghi: 2 0 -3 2013 -2014 -195 bn-1 = 2 -390 76047 -14 827 152 2 891 292 626 Ấn : -195 Shift STO A Alpha A x 2 + 0 = ta được - 390 ấn tiếp: x Alpha A + ( - ) 3 = ta được 76047 ấn tiếp: x Alpha A + 2013 = ta được -14 827 152 ấn tiếp: x Alpha A + ( - ) 2014 = ta được 2 891 292 626 Vậy đa thức thương Q (x ) 2 x32 390 x 576047 x 14 827 152 và số dư r = 2 891 292 626 Ví dụ 2. Tìm thương và số dư của đa thức f( x ) 3 x4 5 x 3 4 x 2 2 x 7 chia cho g( x ) 4 x 5 Giải: Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 5
6. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” Ta ghi: 3 5 -4 2 -7 5 3 35 111 683 6 87 4 4 16 64 256 3 35 111 683 4 16 64 256 3 35 111 683 Vậy đa thức Q()x x32 x x và số dư r = 6 . 4 16 64 256 Chú ý: Các hệ số của đa thức thương ta phải chia cho a (a =4) Ví dụ 3. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (đa thức bậc 3), biết f(1) = 3941; f(-1) = 69; f(5) = 14493; f(-2) = -2041. a) Tính f(75); f(103) b) Tìm thương và số dư của f(x) chia cho 7x – 5 ( số dư biểu diễn dưới dạng hỗn số hoặc phân số) c) Tìm m để f(x) + m – 1945 chia hết cho 3x + 10 Giải: Theo đề ta có hệ phương trình: f(1) 3941 a b c d 3941 a b c d 3941 a 25 f( 1) 69 a b c d 69 2 a 2 c 3872 b 8 f(5) 14493 125 a 25 b 5 c d 14493 124 a 24 b 4 c 10552 c 1911 f( 2) 2041 8 a 4 b 2 c d 2041 9 a 3 b 3 c 582 d 2013 Suy ra f(x) = 25x3 - 8x2 + 1911x + 2013 a) Do đó f(75) = 10 647 213; f(103) = 27 423 149 b) Ta ghi: Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 6
7. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” 25 -8 1911 2013 5 25 69 93984 10 1160379 3383 7 7 49 343 343 25 69 93984 7 49 343 25 69 93984 Vậy đa thức Q()x x2 x và số dư r =3383 . 7 49 343 c) Để f(x) + m – 1945 chia hết cho 3x + 10 g(x) = 25x3 - 8x2 + 1911x + 2013 + m – 1945 chia hết cho 3x + 10 10 g 0 m = 7 316,814815 (dùng chức năng SHIFT SOLVE) 3 BÀI TẬP: Bài 1.Tìm số dư của các phép chia sau: a) (x4 + x3 +2x2 – x +1) : (x -3) KQ: r = 124 b) (x3 – 9x2 – 35x + 7) : (x – 12) KQ: r = 19 c) (2x3 + x2 – 3x +5) : (x + 11) KQ: r = -2.503 d) (4x5 + 3x3 – 4x + 5) : (2x +11) KQ: r = -20.603,5 e) (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) : ( -3x +2) KQ: r = 145 27 f) (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) : (3x – 1) KQ: r = 848 81 Hướng dẫn: Áp dụng định lí Bezoul Bài 2.Tìm số dư và đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau: a) f(x) = (x4 + x3 +2x2 – x +1) và g(x) =(x -3) b) f(x) = (x3 – 9x2 – 35x + 7) và g(x) = (x – 12) Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 7
8. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” c) f(x) = (2x3 + x2 – 3x +5) và g(x) = (x + 11) d) f(x) = (4x5 + 3x3 – 4x + 5) và g(x) = (2x +11) e) f(x) = (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) và g(x) = ( -3x +2) f) f(x) = (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) và g(x) = (3x – 1) . Hướng dẫn: Áp dụng Sơ đồ Hoocne. KQ: a) r = 124 và Q(x) = x3 + 4x2 + 14x + 41 b) r = 19 và Q(x) =x2 + 3x + 1 c) r = -2.503 và Q(x) = 2x2 – 21x + 228 d) r = -20.603,5 và Q(x) = 2x4 – 11x3 + 62x2 – 341x + 3.747 2 e) r = 145 và Q(x) = -x3 - 7 x2 - 2 x - 22 27 3 9 27 f) r = 848 và Q(x) = 5 x3 - 7 x2 + 11 x + 200 81 3 9 27 81 Bài 3. Tìm a để P(x) = x4 + 7x3 +2x2 +13x + a chia hết cho x + 6. Giải: C1: Để P(x) x + 6 P(-6) = 0 (-222) + a = 0 a = 222. Vậy a = 222. C2: Để P(x) x + 6 P(-6) = 0 Ta nhập biểu thức : X4 + 7X3 + 2X2 + 13X +A = 0 Ấn: Shift Solve X ? nhập -6 = Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 8
9. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” Ấn tiếp:Shift Solve máy hiện: A = 222. Vậy : a = 222. Bài 4. Cho phương trình 2,5x5 – 3,1x4 + 2,7x3 + 1,7x2 – (5m -1,7)x + 6,5m – 2,8 có một nghiệm là x = - 0,6. Tính giá trị của m chính xác đến 4 chữ số thập phân. Hƣớng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 0,4618 Bài 5. Tìm m để f(x) = 2x4 + 3x2 – 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12. Hƣớng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 43849. Bài 6. Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho đa thức g(x) = x2 – x – 2. Giải: C1: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư bằng 0 để tìm k. Ta có: f(x) = (x2 – x – 2)(x2 – 8x + 15) +k +30 = 0 Vậy để f(x) g(x) thì k + 30 = 0. Suy ra k = -30 2 C2: Ta có g(x) = x – x – 2. = x2 – 2x + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1) Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x = 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0 k = - 30. Bài 7. Cho đa thức f(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – x + m. a) Xác dịnh m để f(x) chia hết cho x – 2 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 9
10. SKKN: “Sử dụng MTCT để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho g(x) = ax + b” b) Với m tìm được ở câu a. Xác định đa thức thương và số dư của f(x) chia cho x + 3. KQ: a) m = - 46. b) Q(x) = 3x3 – 10x2 + 32x – 97 và r = 245. Bài 8. Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m. a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003. b) Tính giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5 c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu? Giải: a) Nhập : X5 + 2X4 – 3X3 + 4X2 – 5X + 2003 CALC X? khai báo: 2,5 = KQ: r =2144,406250 b) Giải như bài 3. KQ: m = -141,40625 c) P(x) có nghiệm x = 2 P(2) = 0 m = - 46 Bài 9. Cho hai đa thức: P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m. Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n. a) Tìm giá trị của m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2. b)Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm được. Hãy chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất. Giải: a) Giải như bài 3. KQ: m = -46, n = -40 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 10