Sáng kiến kinh nghiệm Số nguyên tố và các dạng bài tập

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Số nguyên tố và các dạng bài tập

1. I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: 1/Thực trạng và tầm quan trọng của vấn đề: Toỏn học núi riờng là mụn học cụng cụ đắc lực khụng thể thiếu để hổ trợ cho cỏc mụn khoa học khỏc cũng như giải quyết cỏc vấn đề thực tế. Việc giỳp HS nắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng toỏn học vào thực tế khụng phải của riờng thầy giỏo, cụ giỏo nào. Chương trỡnh toỏn THCS đó giỳp HS giải quyết nhiều vấn đề cơ bản trong thực tế. Trong chương trỡnh toỏn THCS nhiều một dạng toỏn mang tớnh ỏp dụng cao, nú là cơ sở để ứng dụng giải quyết cỏc bài toỏn liờn quan. Trong đú cú một dạng toỏn liờn quan đến số nguyờn tố cú thể núi là rất khú đối với học sinh THCS. Trờn thực tế kiến thức về số nguyờn tố chỉ dừng lại ở khỏi miện chứ khụng đi sõu vỡ thế khi gặp một bài toỏn khú về số nguyờn tố nhất là đối tượng HS giỏi lại gặp rất nhiều thỡ HS khụng cú phương hướng để giải quyết. Qua nhiều năm giảng dạy, bản thõn tụi cũng đó khụng khỏi trăn trở làm thế nào để HS cú thể hiểu được và nắm vững cỏc dạng toỏn liờn quan đến số nguyờn tố và cú phương phỏp giải quyết. Chớnh vỡ thế tụi đó đi vào nghiờn cứu, tỡm hiểu và viết đề tài này nhằm san sẻ kinh nghiệm của mỡnh với cỏc em HS cựng đồng nghiệp. 2/Phạm vi đề tài: Trong chương trỡnh toỏn THCS thỡ số nguyờn tố đó được đưa vào từ lớp 6 chỉ ở dưới dạng khỏi niệm chứ khụng đi sõu thờm. Ở cỏc lớp 7, 8, 9 thỡ lại khụng khai thỏc, bổ sung thờm mà chỉ vận dụng mở rộng. Vỡ thế hầu như cả chương trỡnh THCS đều cú những bài tập liờn quan đến số nguyờn tố. Do đú đề tài nghiờn cứu cso phạm vi tương đối rộng cho cả cỏc lớp THCS. 3/Đối tượng nghiờn cứu: Để tiến hành đề tài này tụi đó nghiờn cứu và ỏp dụng cho chủ yếu là HSG ở tất cae cỏc khối 6, 7, 8, 9 trong cỏc năm học qua. Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG cấp THCS và là tài liệu tham khảo cho cỏc thầy, cụ giỏo và phụ huynh HS núi chung. II/ CƠ SỞ Lí LUẬN: Dạy học toỏn thực chất là dạy hoạt động toỏn học. HS-chủ thể của hoạt động học cần phải được cuốn hỳt vào những hoạt động học tập do giỏo viờn tổ chức và chỉ đạo, thụng qua đú học sinh tự lực khỏm phỏ những điều mỡnh chưa biết chứ khụng phải thụ động tiếp thu những tri thức đó sắp đặt sẵn. Theo tinh thần này trong tiết lờn lớp, giỏo viờn là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành cỏc hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ tỡm tũi phỏt hiện kiến thức mới. Giỏo viờn khụng cung cấp, khụng ỏp đặt những kiến thức cú sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thụng qua cỏc hoạt động để phỏt hiện và chiếm lĩnh tri thức . Trong hoạt động dạy học theo phương phỏp đổi mới, giỏo viờn giỳp học sinh chuyển từ thúi quen học tập thụ động sang tự mỡnh tỡm tũi và phỏt hiện kiến thức giỳp rốn luyờn khả năng tư duy, nhớ kỹ cỏc kiến thức đó học. Về mặt lớ luận mà núi thỡ theo khung phõn phối chương trỡnh và sỏch giỏo khoa (SGK) hiện hành thỡ toàn bộ kiến thức về “số nguyờn tố” chỉ gúi gọn trong bài học “Số nguyờn tố. Hợp số. Bảng số nguyờn tố” mà nội dung chỉ dừng lại ở khỏi niệm số nguyờn 1
2. tố. Chớnh vỡ thế mà HS cũn rất thiếu kỉ năng cũng như phương phỏp khi gặp cỏc bài toỏn khú! III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN: Nhỡn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung núi riờng chất lượng mũi nhọn bộ mụn toỏn cú thể núi cũn quỏ khiờm tốn. Việc nghiờn cứu viết cỏc chuyờn đề về mụn toỏn để giảng dạy và đặt biệt là để bồi dưỡng HSG cú thể núi cũn quỏ ớt. Với đề tài “Số nguyờn tố và cỏc dạng toỏn liờn quan” thỡ chưa cú ai viết bao giờ. Tụi cũng đi hỏi thăm nhiều đồng nghiệp trong huyện để tỡm tư liệu dạy học nhưng cũng chưa cú ai viết về đề tài này. Qua nhiều kỡ thi nhất là thi HSG thỡ nhiều bài tập liờn quan về số nguyờn tố đụi khi đũi hỏi ở mức độ cao hơn nhiều khi HS được học trờn lớp cũng như đũi hỏi những phương phỏp ngoài SGK thỡ mới cú thể “xở” nổi. Do đú phần lớn HS đều bỏ dở! Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiờn cứu, tỡm tũi tài liệu, tụi nhận thấy cần cú một đề tài đi sõu hơn về vấn đề này và tụi đó viết đề tài này nhằm san sẻ những hiểu biết của mỡnh với đồng nghiệp. IV/ NỘI DUNG A/ Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: * Số nguyờn tố là số tự nhiờn lớn hơn 1, chỉ cú hai ước là 1 và chớnh nú. * Hợp số là số tự nhiờn lớn hơn 1, cú nhiều hơn hai ước. 2. Tớnh chất: * Nếu số nguyờn tố p chia hết cho số nguyờn tố q thỡ p = q. * Nếu tớch abc chia hết cho số nguyờn tố p thỡ ớt nhất một thừa số của tớch abc chia hết cho số nguyờn tố p. * Nếu a và b khụng chia hết cho số nguyờn tố p thỡ tớch ab khụng chia hết cho số nguyờn tố p . 3. Cỏch nhận biết một số nguyờn tố: a) Chia số đú lần lượt cho cỏc số nguyờn tố đó biết từ nhỏ đến lớn. - Nếu cú một phộp chia hết thỡ số đú khụng phải là số nguyờn tố. - Nếu chia cho đến lỳc số thương nhỏ hơn số chia mà cỏc phộp chia vẫn cũn số dư thỡ số đú là số nguyờn tố. b) Một số cú 2 ước số lớn hơn 1 thỡ số đú khụng phải là số nguyờn tố. 4. Phõn tớch một số ra thừa số nguyờn tố: * Phõn tớch một số tự nhiờn lớn hơn 1 ra thừa số nguyờn tố là viết số đú dưới dạng một tớch cỏc thừa số nguyờn tố. - Dạng phõn tớch ra thừa số nguyờn tố của mỗi số nguyờn tố là chớnh số đú. - Mọi hợp số đều phõn tớch được ra thừa số nguyờn tố. A a .b c Với a,b,c là những số nguyên tố. , , ,  N và , , ,  1 2
3. 5. Số cỏc ước số và tổng cỏc ước số của một số: Giả sử A a .b c Với a,b,c là những số nguyên tố. , , ,  N và , , ,  1 1. Số các ước số của A là: ( +1)(+1) (+1). a +1 1 b 1 1 c 1 1 2. Tổng các ước số của A là: . a 1 b 1 c 1 6. Số nguyờn tố cựng nhau: * Hai số nguyờn tố cựng nhau là hai số cú ƯCLN bằng 1. Hai số a và b nguyờn tố cựng nhau ƯCLN(a, b) = 1. Cỏc số a, b, c nguyờn tố cựng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1. Cỏc số a, b, c đụi một nguyờn tố cựng nhau ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1. Số nguyờn tố được được nghiờn cứu từ nhiều thế kỉ trước cụng nguyờn nhưng cho đến nay nhiều bài túan về số nguyờn tố vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn! 7/ Sàng Ơ- RA- Tễ – XTEN ( Euratosthốne) Làm thế nào để tỡm được tất cả cỏc số nguyờn tố trong một giới hạn nào đú, chẳng hạn từ 1 đến 100? Ta làm như sau: Trước hết xúa đi số 1. Giữ lại số 2 và xúa đi tất cả bội của 2 mà lớn hơn 2. Giữ lại số 3 và xúa đi tất cả bội của 3 mà lớn hơn 3. Giữ lại số 5 (số 4 đó bị xúa) và xúa đi tất cả bội của 5 mà lớn hơn 5. Giữ lại số 7 (số 6 đó bị xúa) và xúa đi tất cả bội của 7 mà lớn hơn 7. Cỏc số 8; 9; 10 đó bị xúa . Khụng cần xúa tiếp cỏc bội của cỏc số lớn hơn 10 cũng kết luận được rằng khụng cũn hợp số nào nữa. Thật vậy, giả sử n là một hợp số chia hết cho một số a lớn hơn 10 thỡ do n 10 nờn n phải chia hết cho một số b nhỏ hơn 10, do đú n đó bị xúa. Nhà túan học cổ Hi Lạp Ơ- ra- tụ- xten.( Thế kỉ III trước Cụng nguyờn) là người đầu tiờn đưa ra cỏch làm này. ễng viết cỏc số trờn giấy cỏ sậy căng trờn một cỏi khung rồi dựi thủng cỏc hợp số được một vật tương tự như cỏc sàng: cỏc hợp số được sàng qua, cỏc số nguyờn tố được giữ lại. Bảng số nguyờn tố này được gọi là sàng Ơ- ra- tụ- xten. Bài tập 1: Dựng bảng cỏc số nguyờn tố nhỏ hơn 100 hóy nờu cỏch kiểm tra một số nhỏ hơn 10000 cú là số nguyờn tố hay khụng? Xột bài túan trờn đối với cỏc số 259; 353l. Giải: Cho số n 1) . Nếu n chia hết cho một số k nào đú (1< k< n) thỡ n là hợp số. Nếu n khụng chia hết cho số nguyờn tố p(p2 < n ) thỡ n là số nguyờn tố. Số 259 chia hết cho 7 nờn là hợp số. Số 353 khụng chia hết cho tất cả cỏc số nguyờn tố 8/ Sự phõn bố số nguyờn tố: 3
4. Từ 1 đến 100 cú 25 số nguyờn tố, trong trăm thứ hai cú 21 nguyờn tố , trong trăm thứ ba cú 16 số nguyờn tố , . Trong nghỡn đầu tiờn cú 168 số nguyờn tố , trong nghỡn thứ hai cú 145 số nguyờn tố, trong nghỡn thứ bacú 127 số nguyờn tố , .Như vậy càng đi xa theo dóy số tự nhiờn, cỏc số nguyờn tố càng thưa dần . Bài tập 2: Cú tồn tại 1000 sồ tự nhiờn liờn tiếp đều là hợp số hay khụng? Giải : Cú .Gọi a = 2.3.4 . 1001 .Cỏc số A+2, A+3, ,A+1001 là 1000 số tự nhiờn liờn tiếp và rừ ràng đều là hợp số (đpcm) . Một vấn đề được đặt ra : Cú nhưng khoản rất lớn cỏc số tự nhiờn liờn tiềp đều là hợp số . Vậy cú thể đến một lỳc nào đú khụng cũn số nguyờn tố nữa khụng ? Cú số nguyờn tố cuối cựng khụng ? Từ thế kỉ III trước Cụng nguyờn, nhà toỏn học cổ HiLạp Ơ – clit (Euclide) đó chứng minh rằng : Tập hợp cỏc số nguyờn tố là vụ hạn . Bài tập 3: Chứng minh rằng khụng thể cú hữu hạn số nguyờn tố Giải: Giả sử chỉ cú hữu hạn số nguyờn tố là p 1, p2, , pn trong đú pn là số lớn nhất trong cỏc số nguyờn tố . Xột số A = p1p2 pn + 1 thỡ A chia cho mỗi sồ nguyờn tố pi (1 1 thỡ giữa n và 2n cú ớt nhất một số nguyờn tố. Năm 1852, nhà toỏn học Nga Trờ – bư – sộp đó chứng minh được mệnh đề này. ễng cũn chứng minh được: Nếu n > 3 thỡ giữa n và 2n – 2 cú ớt nhất một số nguyờn tố. Ta cũng cú mệnh đề sau: Nếu n > 5 thỡ giữa n và 2n cú ớt nhất hai số nguyờn tố. Bài tập 4: Cho số tự nhiờn n > 2. Chứng minh rằng cỏc số n! – 1 cú ớt nhất một ước nguyờn tố lớn hơn n. Giải : Gọi a = n! – 1 . Do n > 2 nờm a>1.Mội số tự nhiờn lớn hơn 1 đều cú ớt nhất một ước nguyờn tố .Gọi p là ước nguyờn tố của a.Tia sẽ chứng minh rằng p >n. Thật vậy giả sử p x nờn n-x=1 và n+x=p . Từ đú p=2n-1 =3(2k+1), điều khụng thể xảy ra. 4
5. Vậy số cú dạng 3k+2 (cú vụ số như thế ) khụng thể biểu diễn dưới dạng x2 +p Bài tập 6: Tỡm tất cả số nguyờn tố cú dạng n(n + 1)-1 2 Giải: Với n>4 từ đẳng thức n(n + 1)-1=(n - 1)(n - 2)ta thấy rằng số n(n + 1)-1 là 2 2 2 hợp số.Thật thế,với n=2k ta cú n(n + 1)-1=(2k-1)(k+1) và với n=2k+1 ta cú n(n + 1)- 2 2 1=k(2k+3) Nếu n=2 ta cú số nguyờn tố đầu tiờn là 2,nếu n=3 thi ta cú số nguyờn tố 5 Bài tập 7: Chứng minh rằng nếu số 2n+1 là số nguyờn tố thỡ n=2m. Giải: Giả sử n 2m.thế thỡ nú cú thể viết dưới dạng n=tk,trong đú k là số lẻ nào đú>1.suy ra: 2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+ -2t+1)là hợp số.vậy đều giả sử là sai vỡ 2 n+1 theo đề bài là số nguyờn tố. Bài tập 8: Chứng minh rằng khi chia một số nguyờn tố cho 30 thi số dư cũng là số nguyờn tố. Chỉ dẫn :- Chứng minh rằng số dư này khụng chia hết cho 2, 3, 5 . Bài tập 9: Chứng minh rằng số nhỏ nhất N nguyờn tố cựng nhau với một trong cỏc số 1,2, ,n là số nguyờn tố. Chỉ dẫn :- Aựp dụng tớnh chất sau: mọi ước của số đang xột lớn hơn n và nguyờn tố cựng nhau với cỏc số 1, 2, 3, .,n. Bài tập 10: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố cú dạng pP+1(p tự nhiờn) chứa khụng quỏ 19 chữ số. Đỏp ỏn: Rừ ràng p<19. Ngoài ra nếu p lẻ 2/ Với một số nguyờn tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa món điều kiện nào đú: Bài tập 11: Cho a, b, p là 3 số tự nhiờn bất ky ứchứng minh rằng ta tỡm được hai số k, l nguyờn tố cựng nhau sau cho ak+pl chia hết cho p. Giải: UCLN của cỏc số b và p-a là d . Suy ra b=kd va p-a =ld, trong đú k và l nguyờn tố cựng nhau. Nhưng thế thỡ ak +bl =a.b+b.p - a=b.p=kp d d d Bài tập 12: 5