Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc hai chứa tham số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc hai chứa tham số

1. A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài Luật Giáo dục điều 24 khoản 2 đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Đặc biệt, đối với môn Toán thì yếu tố sáng tạo là vô cùng cần thiết, nó không những đòi hỏi phải nắm vững kiến thức mà trên cơ sở đó người học còn phải biết tổng hợp các kiến thức để tìm ra kiến thức mới, chưa có sẵn trong sách giáo khoa cùng như sách bài tập. Tuy không phải là giáo viên trực tiếp tham gia ôn thi THPT tại trường sở tại nhưng qua tìm hiểu tài liệu và những năm đã bồi dưỡng, ôn luyện thi THPT những năm trước tôi nhận thấy cần phải có một hệ thống kiến thức về chuyên đề phương trình bậc hai có chứa tham số. Qua chuyên đề “ phương trình bậc hai chứa tham số” phần nào giúp các em học sinh có kĩ năng làm các bài tập liên quan. II. Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh có kỹ năng giải một số dạng bài toán “ phuơng trình bậc hai chứa tham số” thường xuất hiện trong đề thi THPT của Bắc Giang và các tỉnh bạn. III. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống các dạng bài tập về “ phương trình bậc hai chứa tham số” giúp IV. Phạm vi nghiên cứu Đưa ra cách giải một số dạng bài tập liên quan tới phương trình bậc hai có chứa tham số. 1
2. V. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Qua kinh nghiệm giảng dạy ôn thi THPT với các đối tượng học sinh. B. NỘI DUNG 1. Những thuận lợi và khó khăn 1.1. Thuận lợi -Đây là một dạng toán quan trọng và đặc trưng của chuyên đề phương trình bậc hai. - Các bài toán về phương trình bậc hai chứa tham số thường xuất hiện trong đề thi THPT ở các năm gần đây nên được học sinh chú ý và ôn luyện. - Học sinh có kiến thức về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et nên không bỡ ngỡ nhiều vói dạng toán này. 1.2. Khó khăn - Một số học sinh gặp khó khăn trong việc biến đổi các biểu thức liên quan tới hệ thức Vi-et. - Kĩ năng lập luận và biến đổi của các em còn hạn chế. - Một số dạng toán trong chuyên đề còn mới mẻ nên không tránh khỏi sự bỡ ngỡ của các em học sinh. 2. Các bài toán về phương trình bậc hai chứa tham số Bài toán 1: Tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt. Phương pháp giải: Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc a, b, c, b') (nếu chưa thành thạo). Bước 2: Tính hoặc ' Bước 3. Kiểm tra các điều kiện + Nếu 0 ( hoặc ' > 0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. + Nếu 0 ( hoặc ' 0 ) thì phương trình có nghiệm. + Lưu ý: - Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = 0. Sau đó xét trường hợp a 0 và làm như các bước ở trên. - Trong một số bài toán tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt ma hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình đó là phương trình bậc hai ( a 0 ) Ví dụ 1: Cho phương trình (m-1)x2 + 2.(m+2)x+m = 0 (1). a, Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 2
3. b, TÌm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Giải a, + Khi m-1 = 0 hay m =1, phương trình (1) trở thành: 6x + 1 = 0. 1 Đó là phương trình bậc nhất và có nghiệm x . 6 + Khi m - 1 0 hay m 1. Ta có ' (m 2)2 m.(m 1) m2 4m 4 m2 m 5m 4 4 Để phương trình có nghiệm thì ' 0 , tức là: 5m 4 0 m 5 4 Kết hợp 2 trường hợp ta được khi m thì phương trình 1 có nghiệm. 5 a 0 b, Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì , tức là: ' 0 m 1 m 1 0 4 5m 4 0 m 5 4 Vậy với m 1 và m thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. 5 Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm a, x2 - x - 2m = 0 b, 5x2 + 3x + m-1 = 0 c, mx2 - x - 5 =0 d, (m2 + 1)x2 - 2(m+3)x + 1 = 0 Bài 2: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt a, 3x2 - 2x + m =0 b, x2 + 2(m-1)x - 2m+5 = 0 Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình vô nghiệm a, ( m-1)x2 + 2x + 11 = 0 b, x2 + (m-1)x+m-2=0 Bài toán 2: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Phương pháp giải: Bước 1: Tính hoặc ' Bước 2: + Chứng minh 0 thì phương trình luôn có nghiệm với m + Chứng minh 0 thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m . ( Chú ý sử dụng hằng đẳng thức ta tách các biểu thức thành bình phương của một biểu thức cộng với một số thực dương; Các biểu thức sau luôn không âm: A ; A2, ) Lưu ý: Ta có thể chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với m bằng cách chứng minh a.c < 0 ( a, c trái dấu). Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - (m+1)x +m =0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m Giải Ta có [ (m 1)]2 4m (m 1)2 4m m2 2m 1 (m 1)2 3
4. Nhận thấy (m 1)2 0,m Suy ra, phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2.(m-1)x + m-3 = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Giải + Ta có ' [ (m 1)]2 (m 3) (m 1)2 (m 3) m2 2m 1 m 3 m2 3m 4 3 9 7 3 7 Ta có m2 - 3m+ 4 = (m2 2. m ) (m )2 0,m 2 4 4 2 4 Suy ra 0,m Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt. a, x2 - 2.( m+1)x + 2m+1 = 0 b, x2 - 3x + 1-m2 = 0 c, x2 + ( m+3)x + m+1 = 0 Bài toán 3: Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng cho trước. Với m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại Phương pháp giải: Bước 1: Thay x vào phương trình bậc 2, sau đó giải phương trình ẩn m để tìm ra giá trị của m. Bước 2: Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình, sau đó dùng hệ thức viet để tính nghiệm còn lại bằng cách x2 = S-x1 (S: là tổng 2 nghiệm của phương trình). Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 2.(m-1)x+2m-3 = 0 (1) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng -1 và khi đó hãy xác định nghiệm còn lại của phương trình. Giải: + Thay x = -1 vào phương trình (1), ta có (-1)2 - 2.(m-1).(1) + 2m-3 = 0 4m 4 0 m 1 + Thay m = 1 vào phương trình (1) ta được phương trình: 2 x 1 0 x 1 x - 1 = 0 x 1 0 x 1 Vậy với m=1 thì phương trình có 1 nghiệm là x = -1 và nghiệm còn lại là x = 1. Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm số cho trước ( ). Tìm nghiệm còn lại. a, x2 - (m+2)x + m+1 =0 ( x=1) b, x2 + 2x + m2 - 2m =0 ( x=-3) c, mx2 + 2x + 1-m = 0 ( x=2) Bài toán 4: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện: mx1 + nx2 = p (1). (m, n, p là các số cho trước). Phương pháp giải: 4
5. Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ( 0 hoặc ' 0 ) (*) Bước 2: Lập hệ thức vi-et về tổng, tích 2 nghiệm của phương trình b x x (2) 1 2 a c x .x (3) 1 2 a Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm ra x1, x2 mx nx p 1 2 b x x 1 2 a Bước 4: Thay x1, x2 vào (3) > m cần tìm. Bước 5: Đối chiếu giá trị m vừa tìm được với điều kiện ở bước 1 > kết luận. Lưu ý: Cũng có thể kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình như ở bước 3. Tìm được x1, x2 rồi thì tiếp tục làm bước 4 và bước 5. Ví dụ: Cho phương trình x 2 - 8x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thoả mãn x1- x2 = 2 (1). Giải: Ta có: ' ( 4)2 m 16 m . Để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thì 0 , tức là: 16 m 0 m 16 (*). Theo hệ thức vi-et ta có: x1 + x2 = 8 (2); x1.x2 = m (3). x1 x2 8 x1 5 Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình x1 x2 2 x2 3 Thay x1 = 5, x2 = 3 vào (3) ta có: m=5.3=15 (thoả mãn đk *) Vậy với m = 15 thì phương trình trên có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x1-x2=2. Lưu ý: Các bài toán tìm m để phương trình bậc 2 ( chứa tham số m) có 2 nghiệm đối nhau ( x1 = -x2), có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia ( x 1 = kx2), có nghiệm này lớn hơn nghiệm kia k đơn vị ( x 1 = x2 + k hay x1-x2 =k), ta có thể quy về bài toán 4. Bài toán 5: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn một biểu thức về x1, x2 ( sử dụng hệ thức vi-et) Phương pháp giải Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x 1, x2 ( 0 hoặc ' 0 ) (*). Bước 2: Lập hệ thức vi-et về tổng, tích 2 nghiệm của phương trình b x x (2) 1 2 a c x .x (3) 1 2 a Bước 3: Biến đổi các biểu thức ở đầu bài về dạng tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm, sau đó thay kết quả ở bước 2 vào biểu thức rồi giải phương trình ẩn m thu được. Các biểu thức thường gặp: 2 2 2 a, x1 x2 k (x1 x2 ) 2x1x2 k 5
6. 3 3 3 b, x1 x2 k (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) k 1 1 x x c, k 1 2 k x1 x2 x1.x2 x x x 2 x 2 (x x )2 2x x d, 1 2 k 1 2 k 1 2 1 2 k x2 x1 x1.x2 x1x2 Bước 4: Đối chiếu kết quả vừa tìm được ở bước 3 với điều kiện ở bước 1 > kết luận. Lưu ý: Các biểu thức khác chúng ta cũng làm tương tự, sử dụng phương pháp hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, để đưa về dạng tổng, tích các nghiệm. Ví dụ: Cho phương trình x2 - 4x + m-1 = 0 (1). Tìm điều kiện của m để phương 2 2 trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 12. Giải: Ta có ' ( 2)2 (m 1) 4 m 1 5 m Để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thì ' 0 , tức là: 5 m 0 m 5 (*) x1 x2 4 Theo hệ thức vi-et ta có: x1x2 m 1 2 2 2 Ta có: x1 x2 12 (x1 x2 ) 2x1x2 12 42 2.(m 1) 12 16 2m 2 12 m 3 Nhận thấy m = 3 thoả mãn điều kiện (*). 2 2 Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 12. Bài toán 6: Lập phương trình bậc hai khi biết 2 nghiệm x1, x2 Trường hợp 1: 2 nghiệm x, x2 là 2 số cụ thể: Bước 1: Tính tổng S = x1 + x2, tích P = x1x2. 2 Bước 2: Lập phương trình: x1, x2 là nghiệm của phương trình x - Sx + P = 0 Trường hợp 2: x1, x2 là nghiệm của phương trình ban đầu. Lập phương trình có nghiệm là biểu thức chứa x1, x2 Phương pháp giải: Bước 1: Lập tổng (S) 2 biểu thức chứa x 1, x2; tích (P) 2 biểu thức chứa x 1, x2 ( biến đổi như bài toán 5) Bước 2: Lập hệ thức vi-et cho phương trình ban đầu. Bước 3: Lập phương trình x2 - Sx + P = 0. Đây là phương trình cần tìm Ví dụ: a, Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó là: x1 = 7, x2 = 10 2 b, Cho x1, x2 phương trình x - 2(m-1)x-1=0 (1). Hãy lập phương trình có 2 1 1 nghiệm 2 và 2 x1 x2 Giải: a, Ta có: S = x1 + x2 = 7+10 =17 P = x1x2 = 7.10 =70 2 > x1, x2 là nghiệm của phương trình x - 17x +70 =0 b, Nhận thấy a = 1, c = -1 > a.c = -1 phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 6