Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp rèn kĩ năng suy luận và chứng minh hình học 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp rèn kĩ năng suy luận và chứng minh hình học 7

1. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “ Phương pháp rèn kĩ năng suy luận và chứng minh hình học 7” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán. 3. Tác giả: Họ và tên: Vũ Thị Thoan Nữ Ngày/tháng/năm/sinh: 25/4/1988 Trình độ chuyên môn: Đại học Toán Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Tiên Động Điện thoại: 0973 557 396 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến. Đơn vị: Trường THCS Tiên Động Địa chỉ: Xã Tiên Động – Huyện Tứ Kỳ - Tỉnh Hải Dương Điện thoại: 03203 744 561 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Đơn vị: Trường THCS Tiên Động Địa chỉ: Xã Tiên Động – Huyện Tứ Kỳ - Tỉnh Hải Dương Điện thoại: 03203 744 561 6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Đối với giáo viên: Hệ thống hóa tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm nhiều các tài liệu có liên quan để chọn lọc những kiến thức cơ bản, làm tư liệu mới, chính xác nhất. - Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức bài học. - Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, thiết bị giảng dạy, máy chiếu, máy tính. 7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: 9/9/2015. TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG (ký, ghi rõ họ tên) SÁNG KIẾN VŨ THỊ THOAN 1
2. NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận: Trong giai đoạn hiện nay, một trong những yêu cầu đặt ra là “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học. Khắc phục lối truyền thống áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Phải tập trung dạy cho các em cách học, cách nghĩ, truyền cảm hứng, tạo thói quen tự học, tự cập nhật tri thức, phát triển kĩ năng và năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề”. Vì vậy phương pháp dạy học toán phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng tục tự học, tự trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú cho học sinh. Việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực phát huy tính độc lập, sáng tạo của học sinh là cả một quá trình lâu dài. Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn học biết giải toán, học toán và biết vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như vào thực tế. Quá trình giải toán, đặc biệt là môn hình học giúp học sinh tìm tòi, phát hiện và có ý thức vận dụng linh hoạt các kiến thưc đã học vào giải toán và thực tiễn. Bên cạnh đó chúng ta đã biết Hình học Lớp 7 có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy học Toán ở bậc THCS, vì ở Lớp 7 lần đầu tiên học sinh được rèn luyện có hệ thống kỹ năng suy luận, kỹ năng vẽ hình, đó là những kỹ năng đặc trưng cho tư duy toán học Hình học lớp 7 đưa vào với học sinh bước đầu yêu cầu học sinh phải biết vẽ hình một cách chính xác, với một bài toán ít giả thiết thì việc vẽ hình không khó khăn lắm, nhưng với một bài toán có nhiều giả thiết thì việc vẽ hình đúng và dễ nhìn là một vấn đề khó đối với các em học sinh . Bên cạnh đó, phương pháp chứng minh hình học dựa vào suy luận bước đầu được đưa vào với học sinh. Nội dung này tương đối khó với học sinh bởi tính trìu tượng và tư duy logic toán học được thể hiện ở nội dung này. Việc nâng cao hơn nữa các bài toán tổng quát hoá, đặc biệt hoá đối với học sinh khá giỏi lại là một vấn đề đáng được quan tâm, vì thông qua những bài toán này giúp học sinh nhìn nhận toán học một cách tổng quát hơn và cụ thể hơn. Do vậy, việc dạy học giải toán cho học sinh Lớp 7 ở môn hình học có tầm quan trọng đặc biệt. Làm thế nào để học sinh yên tâm hơn, tự tin với môn học này. Vì vậy theo tôi “Phương pháp rèn kỹ năng suy luận và chứng minh hình học 7” rất cần thiết cho môn hình học 7 2.Thực trạng tình hình dạy và học: 2.1. Những thuận lợi và khó khăn 3
3. nghe, ghi chép mà không kịp tư duy để tự mình dự đoán, tìm tòi phát hiện kiến thức mới. Điều này thật bất cập, hoàn toàn không phù hợp và không đáp ứng được yêu cầu của phương pháp dạy học đổi mới. Mặt khác, việc suy luận và chứng minh hình học đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là học sinh lớp 7, năm nay các em mới được làm quen với việc chứng minh hình học. Các em không biết bắt đầy từ đâu, sắp xếp các ý như thế nào để trong 45 phút của tiết học, thầy và trò cùng hết được nội dung kiến thức theo quy định. Do đó kết quả bài kiểm tra khảo sát giữa của học sinh học kỳ II (Năm học 2014 - 2015) như sau: Điểm Lớp Sĩ số 1-2,9 3-4,9 DướiTB 5-6,9 7-8,9 9-10 TrênTB 7A 34 0 5 5(14.7%) 15 12 2 29(85.3%) 7B 25 3 8 11(44%) 10 4 0 14(56%) Qua kết quả khảo sát trên chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở, phải làm như thế nào đây để trong thời gian 45 phút của tiết học chúng ta vẫn hoàn thành những bài dài, khó dạy, những bài yêu cầu phải chứng minh phải suy luận nhiều, phải dạy học theo phương pháp đổi mới để đạt hiệu quả cao nhất, kích thích sự say mê, sự hứng thú học tập, tạo được niềm vui cho các em, từ đó các em yêu thích học tập bộ môn, và với mục tiêu cuối cùng là đạt hiệu quả cao nhất cho việc dạy và học. Để giải quyết vấn đền nan giải chúng ta phải có phương pháp hướng dẫn học sinh biết cách suy luận và chứng minh, đặc biệt với học sinh lớp 7, các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp; làm sao để các em không thấy sợ khi học tập môn này, dần dần các em có kỹ năng suy luận tốt thì những tiết học Toán nói chung, học hình học nói riêng các em thấy thoải mái khi giáo viên yêu cầu làm bài tập chứng minh, bài tập phải suy luận. Có như vậy thì việc dạy và học bộ môn này mới có khả năng đạt hiệu quả cao. Chính vì vậy việc rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt vì học sinh cần có kỹ năng này không những chỉ khi giải các bài toán chứng minh mà cả khi giải các bài toán về quỹ tích, dựng hình và một số bài toán về tính toán. 3. Các giải pháp, biện pháp thực hiện: 3.1. Các phương pháp rèn kĩ năng suy luận. Giáo viên cần nghiên cứu kỹ để phân chia thời gian cho mỗi đơn vị kiến thức trong tiết dạy. Từ đó giáo viên thiết kế mỗi đơn vị kiến thức là một hoạt động tương ứng và có cách hướng dẫn học sinh cho hợp lý. Xét xem hoạt động đó có phải suy luận không? Suy luận như thế nào? Lấy căn cứ ở đâu? Sắp xếp 5
4. C3. có 1 cặp góc so le trong bằng nhau C4. có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau C5. có 1 cặp góc so le ngoài bằng nhau C6. có 1 cặp góc trong cp bù nhau ? áp dụng các cách trên vào bài ta C7. có 1 cặp góc ngoài cp bù nhau cần chứng minh điều gì? C1. Không được vì không có đường thẳng vuông góc. C2. Không được vì không có đường thẳng thứ 3 song song.   D1 F C3. 1   A1 C1 C4. Không có C5. Không có     O O C6. F1 D2 180 , B BCF 90 C7. không có ? Theo cách 3 ta phải chứng minh điều gì? => ADE= CFE => ? 2 tam giác trên đã có yếu tố nào   D1 F1  bằng nhau.   A1 C2  AD //CE   O D2 F1 180  Như vậy, rõ ràng học sinh không bị hạn chế vào một cách chứng minh duy nhất như kiểu gợi ý mà chứng tôi đã nhận xét ở trên. Ngoài ra nếu chứng minh bằng 3 cách học sinh còn biết thêm được hình bình hành EFGH có các cạnh lần lượt bằng nửa AC, BD. Còn nếu chứng minh theo câu 4, học sinh còn so sánh được góc của hình bình hành đó và góc tạo bởi các cạnh đối nhau của tứ giác ban đầu. Khi hướng dẫn học sinh trả lời thường gặp những câu trả lời sai. Chúng tôi đã có những gợi ý chuẩn bị trước, dự đoán trước những câu trả lời đó, biến chúng thành những phản ví dụ có ích, nhằm khắc sâu kiến thức cho học sinh. Chẳng hạn Khi học về trường hợp góc- cạnh- góc có học sinh trả lời rằng: Nếu 2 tam giác có hai cặp góc bằng nhau và 1 cặp cạnh bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. 7
5.       DK//CE D1 E1 B C 2 DK BD  B K  DK CE  DKI ECI ID IE   EC BD K2 C2   DK//CE K1 C1  Cách giải 1: (Để cho gọn các cách giải chỉ nêu vắn tắt, chi tiết trình bày dành cho bạn đọc)      C2 K1 Kẻ DK // AC    K2 B BD DK C2 B  DKI= ECI (g.c.g) A => ID= IE. Cách giải 2: D     C' Kẻ EC // AB=>C' B C1 C2 I C B => CE=C'E E BDI= C'EI (g.c.g) ID=IE. 3.1.2.2 . Hướng phân tích tìm tòi cách giải thứ hai Cùng với suy nghĩ như ở trên ta đưa ID và IE vào 2 tam giác song cả 2 tam giác này đều là tam giác mới. Như thế, thì cần tạo ra tam giác đặc biệt và cách kẻ cần phải liên quan đến D và E. Yếu tố phụ cần kẻ là DH  BC, EK  BC. Hướng dẫn học sinh phân tích:       H K 1V D1 IEK BD CE  BDH CEK DH EK  IHD IKE ID IE      B C C H K 1V 1 2   Từ đó ta có cách giải 3 (dành cho bạn đọc) 3.1.2.3- Hướng phân tích tìm tòi cách giải thứ ba (Đối với học sinh lớp 8) Bài toán cần chứng minh hai đoạn bằng nhau . Yêu cầu đó gợi ta nhớ tới định lí " đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3 trong tam giác". Vậy thì cần có một trong hai yếu tố: - Đường thẳng song song. 9
6. Dạng toán này có thể sử dụng ở tất cả các tiết dạy. Ví dụ 1: Điền vào bảng sau: (Sau khi học bài tam giác bằng nhau) Điều kiện cần có cho Các cách viết khác của Kết luận kết luận kết luận ACB= A’C’B’ BAC= B’A’C’ BCA= B’C’A’ ABC= A’B’C’ BAC= B’A’C’ CAB= C’A’B’ CBA= C’B’A’ AB=DE   C F AB=MN, AC=MK     A E 2 , B F C= G Ví dụ 1: Điền vào bảng sau: (Sau khi học bài trường hợp bằng nhau c.c.c) Điều kiện cần có Kết luận Hình vẽ ABC= DEF (C.C.C) A AMN= CEN (C.C.C) M N E B C 11
7. Loại câu hỏi này nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải. VD: Sau khi học bài cạnh góc cạnh cho học sinh làm phiếu sau:  Cho aOb trên cạnh Oa lấy M, trên Ob lấy N sao cho OM=ON. Vẽ tia  phân giác Oc của aOb . Lấy I thuộc Ox. Đường thẳng MN cắt Ox tại H. Chứng minh:   a. MIC NIC   b. MHO NHO =90O Điền vào chỗ trống để hoàn thành bài giải: OIM và có M H O N . => OIM= . (C.G.C)  => OIM ( Hai góc tương ứng)  => MIC (cùng bù với 2 góc bằng nhau) MOH và có: => MOH= (c.g.c)  => MHO . ( 2 góc tương ứng)    Mà MHO + .=180o => MHO NHO 90o VD1: Cho định lý: Nếu hai đường thằng xx’, yy’ cắt nhau tại O và     xoy vuông thì các góc x’O y, xO y’, x’O y’ đềulà góc vuông. ? Điền vào chỗ trống trong các câu sau x   1. xO y+x’O y = 180O (Vì )  o o 2. 90 + x’O y = 180 (Theo giả thiết và căn cứ vào )  3. x’O y = 90o (Căn cứ vào ) y O   4. x’O y’= xO y (Vì ) 13 x'
8. - Chứng minh dựa vào tam giác cân, tam giác đều. - Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. - Chứng minh dựa vào đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường trung trực của tam giác - Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác. 3.2.1.2. Chứng minh hai góc bằng nhau: Để chứng minh hai góc bằng nhau chúng ta có thể sử dụng một trong những cách sau: - Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân, tam giác đều. - Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song. - Chứng minh dựa vào tính chất của tia phân giác một góc, đường phân giác của tam giác. - Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. - Chứng minh hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba. 3.2.1.3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể: - Dựa và định nghĩa chứng minh một trong các góc tạo thành bởi hai đương thẳng cắt nhau có số đo là 900 . - Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song. - Dựa vào tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông ứng với cạnh huyền thì bằng nửa độ dài cạnh huyền. - Dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác - Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, của tam giác. - Dựa vào định lí Pytago. - Dựa vào định lý về tổng 3 góc trong một tam giác áp dụng vào tam giác vuông. - Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc kề bù. 3.2.1.4. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau. Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể: - Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song - Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song. ( Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc hoặc song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau). 3.2.1.5.Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thế: - Dựa vào tính chất điểm nằm giữa hai điểm. (AM + MB = AB M nằm giữa A và B). - Dựa vào tính chất : Nếu A, B, C tạo thành một góc có số đo bằng 180 0 thì A, B, C thẳng hàng. - Dựa vào tính chất: Nếu hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba và có một điểm chung thì hai đường thẳng đó trùng nhau. - Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc đối đỉnh. 15
9. Do vậy: Để giúp học sinh tránh được những sai lầm này trong dạy học tôi luôn lưu ý, nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không được vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác. 3.2.2.2.Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh: Để chứng minh được một bài toán hình bất kì nào thì học sinh phải được: Rèn kỹ năng vận định lí: Học sinh phải được rèn kỹ năng nhận dạng yêu cầu chứng minh nào đó trong bài có khả năng vận dụng những định lí nào? Xuất phát từ kết luận của bài toán, học sinh sẽ tư duy và kết hợp các giả thiết của bài cùng các kiến thức đã học để tìm cách chứng minh bài toán. Rèn cách trình một bài toán chứng minh. Sau khi học sinh đã tìm được lời giải cho bài toán nhiều học sinh sẽ lúng túng không biết trình bày như thế nào? Nhiều học sinh trình bày chưa khoa học, sắp xếp chưa đúng trình tự dẫn đến việc chứng minh các ý tiếp theo gặp nhiều khó khăn. Vì vậy giáo viên phải yêu cầu học sinh trình bày tuần tự xuất phát từ giả thiết. Các kết luận sử dung nhiều hoặc nhiều kết luận sử dụng để phục vụ cho kết luận chung thì cần ký hiệu đánh dấu. VD1: Cho ABC. Dựng các tam giác đều MAB , NBC, PCA thuộc miền ngoài ABC . Chứng minh MC = NA = PB . Giải: Để chứng minh MC = NA = PB trước hết chứng minh MC = NA Để chứng minh MC = NA có thể gắn vào hai tam giác MBC và ABN Ta có : MB = AB ( ABM đều ) M· BC зABN (cùng bằng 600 + ·ABC ) BC= BN ( BCN đều ) MBC = ABN (c.g.c ) MC = AN . Như vậy học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với định lí : “ Nếu hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A’B’ , AC = A’C’ , µA µA’ thì hai tam giác đó bằng nhau” . Muốn chứng minh NA = PB ta cũng có thể vận dụng định lí trên. Chú ý rằng ta mới chỉ xét tam giác ABC có ba góc nhọn, cần cho học sinh xét các trường hợp khác ( ABC có một góc tù ) 3.2.2.3.Rèn kĩ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp: Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, ta thường dùng phương pháp phân tích( từ kết luận đi đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì theo phương pháp tổng hợp ( từ giả thiết đến kết luận). Vậy khi trình bày một lời giải thường sử dụng phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh. 17
10. Qui tắc qui nạp thường dùng là qui nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. Trong quá trình giải toán, nhiều khi phải phân chia ra các trường hợp riêng nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đến kết luận, hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy chúng ta cần chú ý bồi dưỡng cho học sinh năng lực phân chia ra các trường hợp riêng. 3.2.2.4.Rèn kĩ năng đặc biệt hóa: Trong nhiều bài toán học giáo viên cần hướng dẫn học sinh có thể đưa giả thiết của bài toán về những trường hợp đặc biệt để tìm kết quả và phương pháp giải quyết bài toán. VD: Thay góc α bởi α = 900 , thay các điều kiện bài toán bởi các điều kiện hẹp hơn ví dụ thay tam giác ABC có Bµ > Cµ bởi tam giác ABC có Bµ 900 . 3.2.2.5.Rèn kĩ năng tính toán: Trong quá trình giải toán, học sinh có đi đến kết quả chính xác và ngắn gọn hay không , điều đó phụ thuộc vào kỹ năng tính toán. Một số em thường không thiết lập được mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau, vận dụng lý thuyết chưa khéo. VD1: Tam giác ABC có ba cạnh tỉ lệ 3 : 4 : 6. Gọi M , N, P là trung điểm các cạnh của tam giác. Tính các cạnh của tam giác biết chu vi của tam giác MNP bằng 5,2 m . Để giải quyết bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững khái niệm về chu vi tam giác, về tính chất đường trung bình của tam giác và thiết lập được mối quan hệ giữa chu vi của hai tam giác sau đó dùng đến kiến thức đại số đó là tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Giải: Vì M ,N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên MN, NP, MP là các đường trung bình của ABC 1 1 1 MN = BC ; NP = AB ; MP = AC 2 2 2 1 MN + NP + MP = ( AB + AC + BC ) 2 AB + AC + BC = 2 (MN + NP + MP ) = 5,2 .2 = 10,4 m; Theo bài ra ta có : AB = 0,8 .3 = 2,4 m AC = 0,8 . 4 = 3,2 m 19