Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp quy về phương trình bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp quy về phương trình bậc hai

1. Đề tài nghiệp vụ sư phạm : Một số phương pháp giải phương trình bậc caỏơ THCS Phần I : Đặt vấn đề I-Lời nói đầu Muốn giỏi toán thi ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản phải biết vận dụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khs . Chúng ta thấy bài tập thì rất nhiều rât đa dạng Trong quá trình giảng dậy ở chương trinh trình toán THCS nói đén vấn đề giải “Phương trình “ Tôi thấy giải phương trình là một báI toán cơ bản liên quan đến nhiều bài toán khác như : Tìm TXĐ ,giải bài toán có lời văn bằng cách lập phương trình .Ơ lớp 8chỉ nói về :Phương trình bậc nhât một ẩn và phương trình bậc hai một ẩn số . Ngoài ra còn các hương trình bậc cao hơn và các dạng phương trình khác lạ . Đứng trước một bài toán giải “phương trình “ có thể xem xét nó thuộc dạng nào .Từ đó mà biết cách vận dụng những kiến thức gì ? và giải nó theo trình tự nào. Chính vì lẽ đó để giúp các em HS có cách giải các phương trình và một số phương trình loại khác ,tôi chọn đề tài này . Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải phương trình bậc cao đưa về phương trình quen thuộc và phương trình đã biết cách giải .Đề tài này có thể cho giáo viên toán và những HS yêu thích môn toán tham khảo .Cách giải và cách trình bày .Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân . Vì vậy tôi rất mong sự giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và của thầy : Giáo Sư – Tiến sĩ Lê Mậu Hải ,cùng các thầy trong khoa toán .Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội I đã giúp đỡ tôi trong hoàn cảnh đề tài này . II/ Nhiệm vụ nghiên cứu : -Phương pháp giải các phương trình bậc cao bằng cách đưa về các dạng phương trình đã biêt cách giải hoặc các dạng quen thuộc . -Các ví dụ minh hoạ III/ đ ối tượng nghiên cứu - HS lớp 9: Trường THCS Trực Thái –Trực Ninh –Nam Định -Giúp các HS có cách giải các phương trình bậc cao và một số phương trình loại khác . IV./ Phương pháp nghiên cứu _tham khảo tài liệu ,thu nhập tài liệu . -Phân tích ,tổng kết kinh nghiệm . -kiểm tra kết quả :Dự giờ ,kiểm tra chất lượng HS,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy ,điều tra trực tiếp thông qua các giờ học V / Phạm vi nghiên cứu Giới hạn ở vấn đề giải các phương trình cơ bản ,phương trình bậc cao (một số thường gặp ở lớp 9). Trong chương trình toán 9 ở THCS . Nhóm 16 -Tổ 4 Trang 1
2. Đề tài nghiệp vụ sư phạm : Một số phương pháp giải phương trình bậc caỏơ THCS Phần 2: Nội dung đề tài A/ Cơ sở lí luận : I .Mục đích , ý nghĩa của việc dạy giảI bài tập toán : -Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách có hệ thống (về toán học nói chung cũng như về phần phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai trong chương trình dạy toán lớp 9)theo phương pháp tinh giảm dễ hiểu . -Bài tập về “ phương pháp quy về phương trình bậc hai “ nhằm rèn luyện cho HS những kĩ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai . Rèn luyện cho HS các thao tác tư duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu tượng hoá ,tương tự -Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở trường THCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế . -Bài tập “Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai “còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo II/ Các kĩ năng ,kiến thức khi học về giảI phương trình : 1 . Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số : 2 .Các hằng đẳng thức đáng nhớ . 3 . Phép phân tích đa thức thành nhân tử B / Những vấn đề liên quan : I / Phương trình bậc nhất một ẩn : 1 . Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn : - Định nghĩa phương trình bậc nhât một ẩn :Cho A(x)và B(x) Là hai biểu thức chứa biến xđể các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau . -Biến x được gọi là ẩn -Giá trị tìm được cuả ẩn gọi là nghiệm -Mỗi biểu thức là một vế của phương trình . -việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình . 2 . Cách giải : -Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1) -dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành : a x=-b x=-b/a b Phương trình này có nghiệm duy nhất : x= (a 0) a II / Phương trình bậc hai một ẩn : 1 .Định nghĩa : Nhóm 16 -Tổ 4 Trang 2
3. Đề tài nghiệp vụ sư phạm : Một số phương pháp giải phương trình bậc caỏơ THCS -Phương trình bậc hai có một ẩn số là phương trình có dạng : a x2+b x +c = 0 (trong đó x là ẩn số ; a, b ,c là các hệ số , a 0 ) -Nghiệm của phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của vế trái bằng 0 2 . Cách giải một phương trình bậc hai : -Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình đã cho về các dạng Phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình -Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai : a x2 +b x +c=o (a 0) Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phương trình: =b2- 4ac gọi là biệt số của phương trình bậc hai.Vì biểu thức = b2- 4ac quyết định nghiệm số của phương trình bậc hai . -Ta thấy có các khả năng sau xảy ra : a , 0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt b b x = ; x = 1 2a 2 2a III / Phương trình bậc ba 1 . Dạng tổng quát Phương trình bậc ba ( một ẩn số )là phương trình có dạng tổng quát : 3 2 a x + bx + cx + d=0 (trong đó x là ẩn số , a, b, c, d là các hệ số , a 0 ) 2 . Cách giải : Để giải một phương trình bậc ba ta thường phải biến đổi về phương trình tích Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất với tam thức bậc hai.Vế phải bằng 0 Muốn làm tốt việc này đòi hỏi HS phải có kĩ năng ,phân tích một đa thức thành nhân tử một cách thành thạo Nhóm 16 -Tổ 4 Trang 3
4. Đề tài nghiệp vụ sư phạm : Một số phương pháp giải phương trình bậc caỏơ THCS IV / Phương trình bậc bốn 1 . Dạng tổng quát : Phương trình bậc bốn ( một ẩn số ) là phương trình có dạng tổng quát : a x4 + b x3 +cx2 +dx +e =0 (trong đó xlà ẩn số , a, b, c, d, e, là các hệ số ; a 0 ) 2 . Cách giải Đây là mọt dạng phương trình khó ,nó không có cách giải tổng quát .Trong phạm vi của đề tài ., tôI xin trình bày một số dạng đặc biệt của phương trình bậc 4 , nhằn giúp HS có thể giải được những bài tập thường gặp trong SGK cũng như trong các loại sách tham khảo khác . -Về phương pháp chung để giải bài toán này là dựa vào dạng cấu tạo đặc biệt của phương trình ,bằng phương pháp đổi biến để đưa về phương trình có bậc thấp hơn hoặc phân tích vế trái thành nhân tử đưa về dạng phương trình tích bằng việc giải các phương trình có bậc thấp hơn ta có thể kết luận được nghiệm của phương trình đã cho V / Phương trình bậc cao 1 . Dạng tổng quát : n n 1 f(x)=a n x +a n 1 x + + a 0 ( Trong đó x là ẩn số , a n an 1 , , a 0 là các hệ số ) 2 . Ước lượng nghiệm của phương trình : Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó , ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức song cũng hết sức phức tạp . Trong nhiều trường hợp người ta chỉ yêu cầu cho một đánh giá nào đó về độ lớn của nghiệm dưới dạng một bất đẳng thức Ta có định lí dưới đây (đ/l Maclỏanh –Thừa nhận không chứng ninh ) a -Định lí Maclỏcanh : Xét phương trình n n 1 f(x) =a n x an 1x a0 (1) Giả sử k là chỉ số lớn nhẩttong tất cả các chỉ số I mà a i 0 với mọi nghiệm dương 1 1 Đặt  Khi đó ta có  Nhóm 16 -Tổ 4 Trang 4
5. Đề tài nghiệp vụ sư phạm : Một số phương pháp giải phương trình bậc caỏơ THCS n 1 1 a 0  a1 an 1 a0 0 (2) Nếu A là cận trên của các nghiệm của (2) thì ta có 1 1  A do đó vậy là cận dưới của các nghiệm của (1) A A b-Định lí (Ước lượng Niu tơn) : n n 1 xét phương trình f(x) = a n x an 1x a0 Nếu a là một số thoả mãn điều kiện f(a)>0; f’’(a)>0 , f’’’(a) >0 fn (a).>0 Thì a là cận trên cho tất cả các nghiệm của phương trình 3- Xác đinh số nghiệm của phương trình : n n 1 Xét phương trình f(x) = a n x an 1x a0 ( 1 ) Vì f(x) là một hàm liên tục do đó : Nếu f(x) không có nghiệm trong đoan a,b thì f(x) giữ nguyên dấu trong đoạn đó -Với x”khá bé “ thì dấu của f(x) là dấu của hệ số khác không đầu tiên - Với x khá lớn thì dấu của f (x) là dấu của hệ số a 0 Ta nói rằng x= là một nghiệm bội k của (1) nếu : f(x) =(x- )k g(x) ( k 1) Ơ đó g(x) là một đa thức không nhận làm nghiệm Định lí 1 : Nếu phương trình f(x) =0 có làm bội k (k>1) thì phương trình f’ (x) =0 có nghiệm bội k-1 Định lí 2 : Giả sử a<c và f(a ) . f(c) <0 khi đó phương trình (1) có một số chẵn (có thể bằng không ), các nghiệm (kể cả nghiệm bội ) trong khoảng (a, c) Chứng minh: Giả sử 1 2 n là các nghiệm của (1) với các bội tương ứng là k 1,k2 , kn khi đó K K K 1 2 n F(x) = (x- ) (x- 2 ) .(x- ) . g(x) Trong đó g(x) không có nghiệm trong (a,c) Vì f(a) trái dấu với f(c) và g(a) cùng dấu với g(c) do đó f(a) trái dấu với g(a) Suy ra k 1 k2 kn là một số lẻ . Khẳng định sau được c/m tương tự . Định lí (Role) :Giữa 2 nghiệm của phương tình f(x)=0 phải có ít nhất một nghiệm của phương trình f’’ (x) =0 Định lí này được áp dụng cho hàm khả vì(x) bất kỳ Định lí (Đề các): Xét phương trình bậc n n 1 f(x) =a n x a 1 x a0 =0 Gọ P là số các nghiệm dương của phương trình trên ( mỗi nghiệm kể một số lần bằng số bội của nó ) Gọi C là số lần thay đổi dấu trong dãy hệ số 1 2 n (không xét các hệ số a 1 =0) Khi đó C P là một số chẵn d. Định lí Vi ét và ứng dụng ; Định lí Vi ét cho phương trình bậc n được phát biểu như sau : Nhóm 16 -Tổ 4 Trang 5
6. Đề tài nghiệp vụ sư phạm : Một số phương pháp giải phương trình bậc caỏơ THCS n 1 Định lí 1: Cho phương trình bậc n : a n x a 1 x a0 =0 Giả sử phương trình có n nghiệm x 1, x2 , xn trong mỗi nghiệm được kể ra một số lần bằng bội của nó khi đó ta có hệ thức Vi ét sau : an 1 x 1 x2 xn = : an an 2 x 1 x2 x2 x3 xn 1xn = an an 1 n  x 1 x2 xn = (-1) (Với 1 i1 i2 ik ) an n a0 x 1 x2 x3 xn ( 1) . an Đảo lại , cho trước n số bất kỳ 1 2 n Đặt S 1 1 2 .+ n S 2 1 2 2 3 n 1 n S K  1 2 n (Với 1 i1 i2 ik < n) S n 1 2 n Khi đó 1 2 n là các nghiệm của phương trình sau : n n-1 x –S 1 x +S 2 x ( 1)Sn 0 Ví dụ :Định lí Vi ét cho phương trình bậc ba như sau : 3 2 Cho phương trình : a x + b x + cx + d =0 có ba nghiệm x 1, , x2 , x3 b Khi đó x x x 1 2 3 a c x x x x x x 1 2 2 3 3 1 a d x x x 1 2 3 a Định lí Vi ét cho phương trình bậc bốn như sau : Cho phương trình : a x4 +bx3 +cx2 + dx +e =0 có 4 nghiệm thì b x + x x x 4 1 2 3 a c x x x x x x x x x x x x 1 2 1 3 1 4 2 4 2 3 3 4 a c x x x x = 1 2 3 4 a Nhóm 16 -Tổ 4 Trang 6