Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp kẻ đường phụ trong chứng minh Hình học 9

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp kẻ đường phụ trong chứng minh Hình học 9

1. A . Đặt vấn đề Xét về phương diện phát triển tính tự lực của học sinh đặc biệt là rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lĩnh hội dược thì vai trò của việc giải bài tập trong quá trình học có giá trị rất lớn .Giải bài tập giúp học sinh rèn luyện :ý chí ,tính kiên trì vượt khó ,phát triển tư duy lô gíc, sự nhanh trí .Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và việc giải bài tập hình học nói riêng thì việc hướng dẫn các phương pháp suy luận, đặc biệt phương pháp vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học là điều rất cần thiết.Bởi vì ngoài việc nắm vững kiến thức đã học, HS còn phải biết huy động chúng một cách linh hoạt ,sáng tạo trong các tình huống mới. Nhiều khi việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn.Thậm chí có bài phải vẽ thêm các yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải của bài toán.Tuy nhiên vẽ thêm như thế nào là điều mà chúng ta cần suy nghĩ. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học. Tuỳ từng bài toán cụ thể chúng ta có cách vẽ thêm cho hợp lý.Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện. Việc vẽ thêm đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta biết. Đối vối các em HS thì khi gặp những bài toán phải vẽ thêm đường phụ thì các em cảm thấy rất ngại vì các em chưa có kinh nghiệm và luôn nghĩ rằng như thế là các em đã gặp một bài toán khó rồi và nhiều em đã dừng lại việc làm bài ngay.Để tạo niềm tin cho các em và giúp các em có nhiều kinh nghiệm, trong những giờ học tự chọn tôi đã lựa chọn vào những bài tập phù hợp với sức học của các em. Và sau một thời gian, việc làm bài của các em tiến bộ rõ rệt. Tôi xin mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình để các đồng nghiệp cùng trao đổi, và xin được đóng góp ý kiến cho tôi , để tôi có thể giúp các em HS được nhiều hơn trong học tập đặc biệt với bộ môn Toán .
2. II - NộI DUNG Để có thể tìm ra lời giải, cách vẽ thêm đường phụ hợp lý trước tiên các em HS cần phải học thuộc, hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết.Ngoài ra các em còn phải biết tìm ra mối liên hệ giữa các nội dung với nhau, hoặc giữa các bài tập với nhau.Phải nắm được các bài toán dựng hình cơ bản.Chẳng hạn: Bài toán 1: Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB 2R). C là một điểm trên tia đối của tia AB Chứng minh điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) Phân tích: Cần chứng minh:điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) OC R . Điều này cho ta nghĩ đến OC >OA. Do đó ta kẻ đường phụ OH  AB(H AB) để vận dụng quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu mà có OC > OA. Lời giải: VẽOH  AB(H AB) . Ta có HC > HA (vì C là điểm trên tia đối của tia AB,H thuộc đoạn thẳng AB ) OC OA( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu ). Vậy OC > R C nằm ngoài đường tròn (O;R) Bài toán 2: Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB 2R). C là điểm trên đoạn AB ( C khác A và B) Chứng minh điểm C nằm trong đường tròn (O;R) Phân tích : từ bài toán 1dễ nhận ra rằng đường phụ cần vẽ thêm là OH vuông góc với AB tại H Giải: Vẽ OH  AB tại H.Xét các trường hợp sau: a) C  H
3. Ta có OH < OA (vì OH  AH )nên OH < R H nằm trong đường tròn ( O ;R) C nằm trong đường tròn ( O ;R) b) C nằm trên đoạn AH ( C khác A và H) ta có HC < HA OC OA R ( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) C nằm trong đường tròn ( O ;R) c) C nằm trên đoạn HB ( C khác B và H) .Tương tự như trên cũng có C nằm trong đường tròn ( O ;R) Bài toán 3: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O;R).H là trực tâm của tam giác ABC.Vẽ OK  BC ( K BC). Chứng minh : AH = 2OK Phân tích : Phải chứng minh AH =2OK; và dễ thấy AH//OK. Dự đoán OK là đường trung bình tam giác AHD (D là giao điểm của AO và HK). Từ đó phát hiện ra rằng D là điểm đối xứng của A qua O. Điểm phụ d giúp ta tìm ra lời giải bài toán. Lưu ý : Kết quả trên vẫn đúng cho tam giác ABC bất kì. Từ kết quả bài toán 3 ta giải được các bài toán sau. Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O ;R) ,H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC.Chứng minh rằng H,G,O thẳng hàng. Bài toán 3.2 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AN và CK (N BC, K AB).Đường tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đường tròn (O )tại điểm thứ hai M. Chứng minh OM  MB,ở đây O là trung điểm của AC. Bài toán 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, CD là một dây cung của nửa đường tròn (O).Các đường thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lượt cắt AB tại E và F. Chứng minh AE = BF Phân tích: Vì OA =OB =R, dể có AE =BF cần chứng minh OE =O F. Điểm phụ H với OH  CD tại H giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
4. Lời giải: Vẽ OH  CD, H CD, từ đó có CH =HD(định lý đường kính vuông góc với dây cung). Vì EC, OH, FD cùng vuông góc với CD nên : EC //OH // FD Do đó OH là đường trung bình của hình thang CDFE OE = O F. Mà OA = OB =R nên OA – OE = OB – O F AE =BF. Bài toán 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M,N sao cho OM = ON.Qua M và Nkẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt các nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh MC và ND vuông góc với CD. Phân tích : Từ bài toán 4 giúp ta chọn điểm phụ vẽ thêm cho bài toán này là điểm I là trung điểm của dây cung CD .Từ đó dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán. Bài toán 6: Cho đường tròn (O; R), hai bán kính OA và OB. C và D là các điểm trên cung AB sao cho AC = BD và hai dây AC, BD cắt nhau tại M. Chứng minh OM  AB. Phân tích : OAB cân đỉnh O, AC=BD,những điều này gợi ta chứng minh OM là đường phân giác góc O của tam giác OAB. Vẽ OI  AC,OK  BD (I AC,K BD) để có OI =OK từ đó ta tìm được lời giải của bài toán. Lời giải: Vẽ OI  AC,OK  BD (I AC, K BD) Do AC =BD nên OI = OK Dễ chứng minh được MIO MKO, AIO BKO nên ãAOI IãOM Bã OK Kã OM ãAOM Bã OM . OAB cân có ãAOM Bã OM OM  AB. Bài toán 7: Cho tam giác ABC cân ở a nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB , E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh OE CD Phân tích:
5. Bài toán có trọng tâm , trung điểm gợi ta nghĩ đến đường trung bình của tam giác . Do đó lấy các điểm phụ M,N lần lượt là trung điểm của AD, AC sẽ giúp ta giải được bài toán. Lời giải: Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,AC, G là giao điểm của CD và OA, E là giao điểm của DN và CM. GC 2 Dễ thấy G là trọng tâm ABC nên còn E là CD 3 EC 2 trọng tâm ACD nên . CM 3 GC EC 2 Xét CDM nên nên theo đ/l đảo Talét trong tam giác ta suy ra EG //MD . CD DM 3 Mặt khác OD  AB (D là điểm giữa của dây cung AB của đường tròn (O) nên OD  EG ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) nên OA BC hay OG  BC. Mà DN // BC ( DN là đường trung bình của ABC do vậy OG  DN. Xét DGE Có GO và OD là 2 đường cao cắt nhau tại O O là trực tâm của DGE . Từ đó OE DG hay OE  CD. Bài toán 8: Cho ABC vuông tại A có AB =4cm, AC= 3 cm. Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A bán kính 2.5 cm. Phân tích : Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC với đường tròn tâm A ta cần tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC vì vậy cần vẽ thêm yếu tố phụ là đường cao AH của ABC . Lời giải: Vẽ AH là đường cao của ABC . ABC vuông tại A, AH là đường cao nên theo hệ thức về cạnh và đường cao 1 1 1 trong tam giác vuông có: AH 2 AB 2 AC 2 1 1 1 12 12 AH 2 ( ) 2 AH 2.4cm AH 2 42 32 5 5 Vì 2.4< 2.5 nên đường thẳng BC và đường tròn (A; 2.5 cm) cắt nhau.
6. Bài toán 9: Cho ABC có ABˆC 300 , AB 4cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A bán kính 2 cm. Phân tích : Cũng như bài tập 8 ta cũng cần kẻ đường phụ là đường cao AH để đi đến lời giải của bài toán. Lời giải: Vẽ đường cao AH của ABC . Tam giác ABH vuông tại H AB có ABˆH 300 nên là nửa tam giác đều AH 2cm 2 Do đó đường thẳng BC và đường tròn (A;2) tiếp xúc nhau. Bài toán 10: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (O;R) với A và B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC của đường tròn . Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH. Phân tích : Dễ thấy PB // AH, điều cần chứng minh PC đi qua trung điểm I của AH gợi ta nghĩ đến điểm D là giao điểm của CA và BP và tất nhiên phải có PB = PD . Điều này có được từ ABD vuông và PA = PB. Lời giải : Gọi điểm D là giao điểm của CA và BP . Tam giác BAC vuông tại A Tam giác BAD vuông ở A BAˆP PAˆD 900 Do PA và PB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) PA = PB (1) PAˆB PBˆA Mặt khác PAˆB PDˆA 900 . Từ đó PAˆD PDˆA PD =PA (2) Từ (1) và (2) PD =PB AI CI IH Theo đ/l Ta lét : có AH // DB ( vì cùng vuông góc với BC) nên DP CP PB Mà PD = PB AI = IH hay I là trung điểm của AH.
7. Bài toán 11: Một đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D và E. Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD; CM cắt DE tại I. IM DM Chứng minh IC CE Phân tích: Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến định lý Talét do vậy ta làm xuất hiện “ hai đường thẳng song song”. Cách 1: IM DM Vẽ CK // AB , K DE.Ta có . IC CK Và chứng minh được CE = CK. Cách 2: Vẽ MH // DE, H AC. DM HE IM HE Ta có ; AD AE. ; AD AE IC CE do đó DM = HE, từ đó suy ra đpcm. Cách 3: Vẽ ML // AC, L DE. IM ML Ta có , DM = ML IC CE Từ đó suy ra đpcm. Bài toán 12: Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Vẽ bán kính OE qua C và bán kính O F qua D. Chứng minh ằAE EằF
8. Phân tích: Ta có ằAE EằF ãAOC Cã OD . Từ đó ta nghĩ đến tìm một tam giác có hai góc à OC , Cã OD mà quan hệ giữa các cạnh đối diện dễ thấy. Cách 1: Vẽ đường kính AM. Ta có ãAOC Oã MD,Cã OD Oã DM và OMD có OD < OM nên từ đó ta có lời giải bài toán. Cách 2: Gọi I là trung điểm của OA. IC là đường trung bình của OAD nên IC // OD , 1 IC OD 2 ICO có IC < OI. Từ đó tìm ra lời giải bài toán. Cách 3: Gọi K là trung điểm của OD. CK là đường trung bình của OAD . 1 Ta có : CK OA,CK // OA 2 OCK có OK < CK.Từ đó giúp ta có được đpcm. Cách 4: Trên tia đối của tia CO lấy H sao cho CH = CO . Tứ giác AHDO là hình bình hành, suy ra AH = OD, ãAHO Cã OD AHO có AH < OA. Từ đó ta có lời giải của bài toán. Bài toán 13: Cho hai đường tròn (O) và (O, ) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai đường tròn tại B và C (B thuộc đường tròn (O) ; C thuộc (O, ) ) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại B và C song song với nhau.