Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS

1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS LỜI NÓI ĐẦU Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số ở THCS. Việc phân tích đa thức thành nhân tử là việc rất có ích trong học toán và giải toán, nó giúp người học rèn luyện kĩ năng biến đổi các biểu thức toán học và còn là phương pháp giải cho nhiều dạng toán ở trường phổ thông như: Quy đồng mẫu thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chia hết, giải phương trình và bất phương trình, tìm nghiệm nguyên, tìm cực trị, . Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy sách giáo khoa toán 8 mới chỉ trình bày một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản. Điều này chưa đủ để giúp học sinh khá, giỏi và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán giải các dạng bài tập nâng cao. Do vậy với kinh nghiệm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, tôi đã tiến hành nghiên cứu và thể nghiệm đề tài "Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS". Với mong muốn, qua đề tài này giúp cho các đồng chí giáo viên và các em học sinh yêu thích môn toán mở rộng thêm vốn kiến thức của mình, tìm được cách giải dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lí và sáng tạo nhất, qua đó vận dụng để giải các dạng toán khác. Mặc dù đã cố gắng nhiều trong việc tìm tòi, nghiên cứu tài liệu và trình bày, với hy vọng ít nhiều giúp ích cho bạn đọc yêu thích môn toán, tuy nhiên không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng của đồng nghiệp để giúp tôi hoàn thiện hơn đề tài trên. Tôi xin chân thành cảm ơn! Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 1
2. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài: Trong chương trình Toán THCS, phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức cơ bản quan trọng, nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức và phương pháp giải nhiều dạng toán trong chương trình môn Toán THCS và THPT như: Quy đồng mẫu thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chia hết, giải phương trình và bất phương trình, tìm nghiệm nguyên,tìm cực trị, . Do vậy kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kĩ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được những dạng toán khác trong chương trình Đại số THCS và ở lớp trên, đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi. Qua đó các em có thể tìm được nhiều lời giải khác nhau và lời giải hay cho một bài toán. Tuy nhiên trong chương trình Đại số 8 mới chỉ giới thiệu một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản, do đó chưa đáp ứng được việc học kiến thức nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất đa dạng nhưng việc vận dụng các phương pháp vào giải bài tập thì lại không theo một khuôn mẫu và trình tự nhất định mà phụ thuộc chủ yếu vào sự linh hoạt sáng tạo của học sinh. Nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững đặc điểm, yêu cầu của từng phương pháp kết hợp với khả năng quan sát, phán đoán và tư duy linh hoạt để tìm ra phương pháp giải hợp lí nhất. Vì vậy trong đề tài này tôi cố gắng trình bày cụ thể từng phương pháp với các nội dung: Đặc điểm, yêu cầu, phương pháp, các ví dụ và các vấn đề cần chú ý đối với từng phương pháp. Tôi hy vọng đề tài này sẽ phục vụ thiết thực cho công tác giảng dạy của các giáo viên, giúp các em học sinh học tập nghiên cứu tốt hơn những kiến thức có liên quan đến nội dung này. 2. Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu các hệ thống kiến thức cơ bản trong chương trình Đại số THCS, các sách tham khảo có nội dung phân tích Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 2
3. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS đa thức thành nhân tử và vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán. (Trong mục tài liệu tham khảo). + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thông qua các giờ dạy trên lớp, qua dự giờ đồng nghiệp và trao đổi vơí các đồng nghiệp, qua thực tế dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi thấy học sinh chủ động tích cực, linh hoạt hơn trong quá trình giải toán sau khi được tìm hiểu kỹ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. + Phương pháp điều tra thực tiễn: Thông qua kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh, qua trao đổi trực tiếp với học sinh sau giờ học có nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử. PHẦN II: NỘI DUNG A. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Khái niệm đa thức: Đa thức là tổng của những đơn thức, mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. - Mỗi số cũng được coi là một đa thức, số 0 được gọi là đa thức không. - Đa thức của biến x (y, z, ) được kí hiệu là A(x) ( B(y), C(z), ) 2. Định nghĩa nghiệm của đa thức một biến. Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức P(x). 3. Định lí về phép chia hết đa thức: Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khác 0 nếu tồn tại đa thức Q(x) sao cho A(x) = B(x). Q(x) - Nếu đa thức A(x;y) nhận giá trị bằng 0 khi x = y thì đa thức A(x;y) chia hết cho nhị thức x – y. 4. Định lí Bê zout về phép chia đa thức: Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 3
4. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS Khi chia đa thức A(x) cho nhị thức x – a thì dư trong phép chia này là A(a). (Tức là bằng giá trị của đa thức tại x = a). - Hệ quả: A(x)( x – a) A(a) = 0 ( A(x) chia hết cho x – a khi và chỉ khi x = a là nghiệm của A(x) ). 5. Định lí về nghiệm nguyên của đa thức: n n-1 Cho đa thức A(x) = anx + an-1x + + a1x+ a0 Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hạng tử tự do 0a Đặc biệt: - Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì ta nói đa thức đó có một nghiệm là x = 1 an+ an-1+ + a1+ a0 = 0 A(1) = 0 - Nếu hiệu của tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn với tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm là x =-1 (a2n+ a2n-2+ + a2+ a0 ) – (a2n-1+ a2n-3+ a3+ a1 ) = 0 A(-1) = 0 6. Phân tích đa thức thành nhân tử: Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác. Với mọi đa thức bậc n (hệ số thực) luôn luôn phân tích được thành một tích của: + Luỹ thừa của nhị thức dạng ( x- a)k; k N + Luỹ thừa của tam thức bậc bậc 2 không có nghiệm thực: x2 + bx + c (có b2- 4c < 0). Chú ý: Đối với đa thức 2 biến hoặc nhiều biến ta có thể chọn một biến làm ẩn và phân tích như đa thức một biến. B. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung quan trọng cả về kiến thức và kĩ năng thực hiện. Nó thường được vận dụng vào việc giải nhiều dạng toán như: Rút Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 4
5. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS gọn phân thức, giải một số phương trình, bất phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên, chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, tuỳ theo đặc điểm của mỗi đa thức mà ta chọn phương pháp phân tích phù hợp để cho kết quả nhanh và ngắn gọn nhất. Trong chương trình Toán THCS có các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như sau: 1. PTĐTTNT bằng phương pháp đặt nhân tử chung 2. PTĐTTNT bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 3. PTĐTTNT bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử 4. PTĐTTNT bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 5. PTĐTTNT bằng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử 6. PTĐTTNT bằng phương pháp hệ số bất định 7. PTĐTTNT bằng phương pháp đổi biến 8. PTĐTTNT bằng phương pháp sử dụng định lí nghiệm của đa thức 9. PTĐTTNT bằng phương pháp xét giá trị riêng I. CÁC PHƯƠNG PHÁP PTĐTTNT CƠ BẢN 1. Phương pháp đặt nhân tử chung: a) Đặc điểm: Được áp dụng trong trường hợp các hạng tử của đa thức có chung một nhân tử. b) Yêu cầu: - Học sinh nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. - Học sinh nắm vững quy tắc dấu ngoặc, quy tắc nhân, chia luỹ thừa cùng cơ số. c) Phương pháp: Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 5
6. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS - Bước 1: Tìm nhân tử chung (Viết mỗi hạng tử của đa thức thành tích các nhân tử để làm xuất hiện nhân tử chung). - Bước 2: Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc theo công thức A. B + A. C = A.(B + C) d) Ví dụ : phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: 5x2y2 + 20x2y – 35xy2 = 5xy. xy +5xy. 4x – 5xy. 7y = 5xy (xy + 4x – 7y) Ví dụ 2: 3x (x –1) + 7x2(x –1) = x(x –1)3 + x(x –1)7x = x(x –1) (3 + 7x) * Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần phải đổi dấu các hạng tử theo quy tắc: - (-A) = A (y –x) = - (x –y) Ví dụ 3: 3x(x –2y) + 6y(2y –x) = 3(x -2y).x –3(x –2y).2y = 3(x –2y) (x –2y) = 3(x –2y)2 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: a) Đặc điểm: Được áp dụng trong trường hợp đa thức có chứa 1 trong các vế của 7 hằng đẳng thức. b) Yêu cầu: - Học sinh nắm vững và vận dụng thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. - Đối với học sinh khá, giỏi cần biết thêm các hằng đẳng thức sau: (a+b+c)2 = a2+ b2+c2+2ab +2ac +2bc Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 6
7. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS 1 – xn = (1-x)(1+x+x2+ +xn-1) An- Bn = (A-B)(An-1+An-2B+ +ABn-2+Bn-1) A2k+ B2k= (A+B)(A2k-1-A2k-2B + +AB2k-2-B2k-1) A2k+1+ B2k+1= (A+B)(A2k-A2k-1B + -AB2k-1+B2k) c) Phương pháp: - Quan sát và phán đoán xem đa thức có dạng vế trái hay vế phải của hằng đẳng thức nào thì áp dụng hằng đẳng thức đó để viết đa thức đã cho thành vế còn lại của hằng đẳng thức ở dạng tích các đa thức hoặc luỹ thừa của một đa thức. d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: 4x2+ 12x +9 = (2x)2+ 2. 2x.3+32 = (2x + 3)2 Ví dụ 2: 1 – 8x3y6 = 13+ (2xy2)3 = (1 +2xy2)(1 – 2xy2+4x2y4) Ví dụ 3: 8x3- 12x2y +6xy2-y3 = (2x)3 – 3.(2x)2.y+3.2x.y2-y3 = (2x – y)3 e) Chú ý: Đôi khi ta phải đổi dấu các hạng tử của đa thức để có thể áp dụng được hằng đẳng thức. Ví dụ 4: -x4y2- 8x2y –16 = -( x4y2+ 8x2y +16) = -[(x2y)2+ 2.x2y.4 + 42] = -(x2y + 4)2 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Lương Quốc Phương – Trường THCS Phạm Hồng Thái 7