Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số

1. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Sáng kiến kinh nghiệm: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số A- Lý do chọn đề tài: Đối với học sinh THCS Khi nói đến toán Bất đẳng thức, Bất phương trình thì đó là một loại toán khó. Là một giáo viên tôi nghĩ nên làm thế nào để HS hứng thú học tập, ham mê giải toán, không chán nản khi gặp bài toán khó, làm thế nào để HS biết phân tích, tổng hợp, suy luận, vv để tìm ra được phương pháp giải phù hợp. Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phải biết vận dụng đúng quy luật: “ Từ đơn giản đến phức tạp; mọi bài toán khó đều bắt nguồn từ bài toán đơn giản hơn”. Vì vậy khi đưa vào một dạng toán thì phải dựa vào cơ sở nội dung lý thuyết phù hợp với trình độ tiếp thu của HS. Thông qua một hệ thống bài tập rèn luyện cho HS nề nếp làm việc khoa học, học tập tích cực, chủ động sáng tạo và các thao tác tư duy cần thiết. Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến một khía cạnh nhỏ là vận dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski để tìm cực trị dành bồi dưỡng HS khá giỏi cho HS lớp 8, 9 của bậc THCS. B-Nội dung: I/ Lý thuyết vận dụng: 1.Bất đẳng thức Bunhiacôpski áp dụng cho hai bộ số (a, b) và (x, y) : (a2+ b2).(x2+ y2) ( ax + by)2 (1) Bằng kiến thức HS đã học ở lớp 8 các em chứng minh được Bất đẳng thức này: (1) a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 a2 x2+ b2y2+ 2abxy a2y2 - 2abxy + b2x2 0 (ay – bx)2 0 (2) (2) luôn luôn đúng (1) đúng a b Dấu “ =’’ xẩy ra ay = bx (x, y 0) x y Bất đẳng thức Bunhiacôpski có đặc điểm khác với bất đẳng thức Côsi ở chỗ hai bộ số không đòi hỏi phải dương, áp dụng rộng hơn, tuy nhiên đối với từng bài toán cụ thể mà áp dụng cho thích hợp. Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 1
2. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số 2.Bất đẳng thức Bunhiacôpski áp dụng cho hai bộ ba số (a, b, c)và(x, y, z) : (a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ( ax + by +cz )2 a b c Dấu “ =’’ xẩy ra (x, y, z 0) x y x Có khi người ta viết bất đẳng thức ở dạng : ax by cz (a2 b2 c2 )(x2 y2 z 2 ) tuỳ theo từng lúc vận dụng * Mở rộng áp dụng cho hai bộ n số (a1,a2, a3, , an) và ( b1, b2, b3, , bn): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a1, a2 , a3 , , an ) . ( b1, b2 , b3 , bn ) (a1b1+a2b2+ +anbn) a a a Dấu “ =’’ xẩy ra 1 2 n b1 b2 bn II/ Bài tập vận dụng: Để học sinh vận dụng được lý thuyết thành thạo và dần dần tạo nên kỹ năng kỹ xảo cho học sinh thì giáo viên cần đưa ra một hệ thống bài tập hợp lý. Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x + y Biết x2 + y2 = 4 Mấu chốt của việc vận dụng Bunhiacốpski là ở chỗ nào ? Là việc tim ra hai bộ số thich hợp Áp dụng Bunhiacụpski cho hai bộ số (1;1) và (x; y) ta có : P2 = (1.x + 1.y)2 (12+ 12).(x2+ y2) Như vậy ta có thể biết được P2 nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số và ta có thể dễ dàng tìm được GTNN và GTLN của P P 2.4 8 P 8 x y x y 2 Dấu “ =’’ xẩy ra 2 2 x y 4 Vậy P max = 8 x y 2 P main= 8 x y 2 Để đưa học sinh đi đến dạng tổng quát ta đi vào bài tập sau: Bài tập 2: Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: S = x +2y biết: x2 + 4y2 = 2 ở đây bài tập này: nếu đặt 2y = Y thì hoàn toàn giống ở bài tập 1. Từ đó học sinh biết chọn hai bộ số như thế nào thì thích hợp cho những dạng bài tập như thế này. Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 2
3. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Như vậy khi giải bài toán bằng cách áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski thì mấu chốt là chọn ra được hai bộ số {ai} và {bj} cho thích hợp với bài toán cụ thể. Thông qua một số bài tập cụ thể từ đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm ra những dạng chung để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski. Trong quá trình giảng dạy tôi tổng hợp được một số dạng chung như sau: I/ Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) biết f2(x) + g2(y) k2 (Như ở bài tập 1 và bài tập 2) *Phương pháp giải: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (a; b) và (f(x); g(y)) ta có: M2 = [a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2). [ f2(x) + g2(y)] M2 (a2 + b2). k2 M k. a2 b2 f (x) g(y) Dấu “ = “ xẩy ra a b 2 2 2 f (x) g (y) k Một số ví dụ áp dụng : Bài tập 1.1: Tìm GTNN của biểu thức : A = 4x2 + 3y2 7 cách xác định a, b để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào dạng 1 như thế nào? Các cách xác định a, b: 4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) trong đó f2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2 4x + 3y = 2.2x + 3. 3y Khi đó áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số A (2 ; 3 ) và (2x ; 3y) ta có : A 2= (4x + 3y) 2 [22 +( 3 )2]. [(2x)2 + 3y2] A 2 7.7 |A| 7 Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 3
4. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số 4x2 3y2 7 Dấu “ = “ xẩy ra 2x 3y 2 3 x y A min = - 7 x y 1 4x 3y 7 Amax = 7 x = y = 1 Bài tập 1.2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: B = 3x – 2y biết: 2x2 + 3y2 = 6 Như đầu bài viết tôi đã trình bày, việc vận dung Bất đẳng thức Bunhiacôpski phải biết cách chọn lựa cặp số (a;b) và (f(x); g(y)) một cách khéo léo; học sinh phải biết huy động vốn kiến thức đã học một cách linh hoạt. ở đây phải biến đổi B = 3x – 2y về dạng a.f(x)+ b.g(y) 2 2 2x2 + 3y2 = x 2 y 3 3 2 B = 3x 2y .x 2 .y 3 2 3 Chọn: 3 2 (a;b) = ; ; (f(x); g(y)) = (x 2; y 3) 2 3 2 2 3 2 2 2 B2 = (3x – 2y) 2 x 2 y 3 2 3 9 4 9 4 . 2x2 3y2 .6 2 3 2 3 35 B2 .6 35 B 35 6 x 2 y 3 3 2 Dấu “ ="xẩy ra 2 3 2 2 2x 3y 6 9 4 Bmax= 35 x và y 35 35 9 4 Bmin= -35 x và y 35 35 Từ những ví dụ như bài tập 1.1, bài tập 1.2 ta tìm ra chách giải tổng quát của dạng : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng : P = ax = by biết : c2x2 + d2y2 = k2 a b áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số ; và (cx;dy) c d Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 4
5. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số 2 2 a b Ta có : P2 mk2 trong đó : m= c d P k m (Các bài tập tương tự ta có thể thay a, b, c, d, k bởi các số thực bất kì khác 0) Bài tập 1.3 : Cho x, y thoả mãn 2x2 + 3y2 = 12. Tính GTNN, GTLN của biểu thức B = 5x + 4y Bài tập 1.4 : Cho x, y thoả mãn 3x2 + y2 = 4 1 Tính GTNN, GTLN của biểu thức N = -x + y 2 Bài tập 1.5 : Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = 2x – 5y – 6 biết x2 + y2 = 2 HD: ứng dụng như dạng 1: tìm GTLN, GTNN của 2x – 3y sau đó tìm GTLN, GTNN của M Bài tập 1.6 : Cho x, y thoả mãn (x-1)2 + (2y-1)2 = 8 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức : P = x+ 2y ở bài tập này ta áp dụng dạng 1 như thế nào? HD : Từ (x-1)2 + (2y-1)2 = 8 ta nghĩ đến áp dụng dạng 1 Cho f(x) = x-1 ; g(y) = 2y -1 Muốn tìm a, b phải biến đổi như thế nào ? P = x + 2y = a.(x-1) + b.(2y – 1) P = 1.(x-1) + 1.(2y – 1) + 2 P – 2 = 1.(x-1) + 1.(2y – 1) Như vậy để tìm được GTNN, GTLN của P ta phải tìm GTNN, GTLN của P – 2 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (1 ; 1) và (x – 1 ; 2y – 1) ta có : (P – 2)2 = (x – 1 + 2y – 1)2 (12 + 12). [(x – 1)2 + (2y – 1)2] (P – 2)2 2.8 = 16 x 3 x 1 x 1 2y 1 2 (P – 2) = 16 2 2 3 hoặc 1 (x 1) (2y 1) 8 y y 2 2 Bài tập tương tự : a) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = 3x + 2y Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 5
6. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Biết : (3x – 1)2 + (2y – 2)2 = 14 b) Cho x, y là những số dương thoả mãn : x2 + y2 2(x + y) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: N = 2x + y HD : x2 + y2 2(x + y) x2 – 2x + y2 – 2y 0 x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 2 (x – 1) 2 + (y – 1) 2 2 * Chú ý ta có thể mở rộng dạng 1 như sau : Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) + c.h(z) + Biết rằng :f2(x) + g2(y) + h2(z) k (k là hằng số dương) Ví dụ: Cho x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 2 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức M = 3x + 2y + z HD : Hoàn toàn tương tự ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ : (3 ; 2 ; 1) và (x, y, z) Câu hỏi đặt ra ngược lại liệu cho biết a.f(x) + b.g(y) cần tìm GTNN của biểu thức dạng f2(x) + g2(y) thì ta tìm như thế nào? II/ Dạng 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng A = f2(x) + g2(y) biết rằng : a.f(x) + b.g(y) = k (k, a, b là hằng số) Qua ví dụ BT1.2; từ đó ta rút ra phương pháp giải chung. *Phương pháp giải: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (a; b) và (f(x); g(y)) ta có : [a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2). [ f2(x) + g2(y)] k 2 Hay k2 (a2 + b2) A a 2 b 2 Dấu “ =”xẩy ra a .k a. f (x) b.g(y) k f (x) 2 2 a. f (x) b.g(y) k a b f (x) g(y) a 2 b 2 a 2 b 2 b k a b g(y) a 2 b 2 Một số ví dụ áp dụng : Bài tập 2.1 Cho x, y thoả mãn 3x-4y=5 Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 6
7. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2 Đây là một bài tập có thể áp dụng trực tiếp ngay ở dạng 2. áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (3;-4) và (x;y) ta có: (3x-4y)2 [ 32+(-4)2] (x2+y2) 52 25 . M M 1. x y 3x 4y 5 Dấu “ = “ xẩy ra 3 4 9 16 25 3x 4y 5 3x 1 3 4 x = và y = 9 5 5 5 3 4 Vậy Mmin = 1 x = và y = 5 5 Bài tập 2.2 Cho 2 số x ;y thoả mãn 3x+8y=11. Tìm GTNN của biểu thức: N =4x2 + 5y2. Để vận dụng dạng 2 ta biến đổi: N = (2x) 2 ( 5y) 2 Xác định a, b sao cho: 3x+ 8y = a. 2x + b.y 5 3 8 = .2x y. 5 2 5 3 8 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số ; và 2x; y 5 2 5 ta có : 2 2 2 3 8 2 2 3x 8y 2x y 5 2 5 2 9 64 3x 8y .N 4 5 301 112.20 112 .N N 20 301 Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 7
8. SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số 2x y 5 3 8 Dấu “ = “ xẩy ra 2 5 3x 8y 11 Từ bài tập 2.1; 2.2 ta có thể ra cho học sinh nhiều bài tập để tự luyện ở dạng 2 ta chỉ cần thay đổi các bộ số Bài tập 2.3: Tìm GTNN của biểu thức: P = 3x2 + 5y2 biết x + y = 2 Bài tập 2.4: Cho x, y là những số thoả mãn 5x - 3y = 4 Tìm GTNN, của biểu thức : P = 2009+4x2 + 5y2 HD: để tìm GTNN của P thì đầu tiên tìm GTNN của 4x2 + 5y2 để sử dụng dạng 2, nhiều khi phải tự phát hiện lượng a.f(x) + b.g(y) = k Ví dụ : Tìm GT bé nhất của biểu thức : A = ( 3x – 2y + 1)2+ ( -6x + 4y + 3) 2 Trong bài này ta nhận thấy : 2(3x – 2y + 1) + ( -6 + 4y + 3) =1 là một hằng số để vận dụng dạng 2 ta chọn 2; 1; f(x, y) = 3x -2y -1 ; g(x, y) = -6x + 4y + 3 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (2 ; 1) và (3x-2y-1 ;-6x+4y+3) ta có : [2(3x-2y-1)+(-6x=4y+3)]2 (22+12).A 1 1 5.A A 5 1 3x 2y 1 Amin= 6x 4y 3 5 2 2 4 15x2= 10y + 4 x= y + 3 15 Bài tập tự giải: Bài tập 2.5: Tìm GTNN của biểu thức: 6 8 A = ( 3x – 4y + 1)2 + ( x - y + 3)2 5 5 HD: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số 6 8 (2; -5) và [(3x – 4y +1); ( x - y + 3)] 5 5 Như vậy việc tìm bộ số ( ; ) và lượng k là vấn đề mấu chốt, và không phải lúc nào ( ; ) ; k cũng là những hằng số Người viết: Nguyễn Thị Hoan Mai – Trường THCS Cao Xuân Huy 8