Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất để dạy cho học sinh

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất để dạy cho học sinh

1. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trịnh Thị Lan PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : 1/ Lý do chọn đề tài: Trong chương trình Đại số lớp 7, 8, 9 dạng toán Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Dạng toán này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Chứng minh các biểu thức luôn âm, luôn dương, chứng minh phương trình vô nghiệm không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình THCS mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp sau này. Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng khi tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập . Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các bài toán phải dùng đến tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất do đó tôi chọn viết đề tài: “Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất” để dạy cho học sinh . Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Đặt vấn đề, Phần II là Giải quyết vấn đề Phần III là Kết thúc vấn đề Trong phần Giải quyết vấn đề chủ yếu là chỉ ra các dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất trong mỗi dạng đều có phương pháp giải các ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện. Một số ví dụ nhận định, một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh. 2/ Thực trạng vấn đề: Thực tế học sinh ở trường THCS Tiến Thành tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành 1 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
2. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trịnh Thị Lan thạo sử dụng những cách giải để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức, do thời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao . Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như : • Chưa biết cách tách hạng tử, thêm bớt các hạng tử để đưa trở về dạng tổng quát. • Chưa vận dụng thành thạo cách hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập . • Khi sử dụng phương pháp so sánh hai phân thức cùng tử chưa chú ý đến điều kiện là các mẫu đã cùng dấu hay chưa? • Khi gặp các biểu thức là các phân thức đại số thì chưa chú ý đến tập xác định của nó. Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là : + Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều . + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , một số chỉ học máy móc,hiểu một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài tập . B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: 1/ Công tác chuẩn bị dạy : - Địa điểm : Trường THCS Tiến Thành . - Giáo trình : SGK, sách bài tập, một số tài liệu tham khảo khác như sách phát triển Toán 8 2/ Đối tượng học : Học sinh lớp 8A2 học chính khóa, ôn tập cuối chương, ngoài ra dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi theo chủ đề nâng cao . 3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện : Ngoài thời gian dạy giờ chính khóa ở trường tôi bố trí lịch học cho học sinh khá giỏi đối với các năm học 2006 - 2007; 2007 – 2008 là vào chiều thứ 7 và chiều Chủ nhật. Riêng năm học 2008 – 2009 tôi bố trí lịch học như sau : Ngày Thứ Buổi Nội dung dạy học Số Địa điểm tiết 4/10/08 7 Chiều Tìm giá trị lớn nhất và 4 Trường Tiến nhỏ nhất của đa thức và Thành luyện tập . 2 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
3. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trịnh Thị Lan 5/10/08 CN Chiều Tìm giá trị lớn nhất và 4 ” nhỏ nhất của đa thức bậc cao và luyện tập. 11/10/08 7 Chiều Tìm giá trị lớn nhất và 4 ” nhỏ nhất của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối và luyện tập. 12/10/08 CN Chiều Tìm giá trị lớn nhất và 4 ” nhỏ nhất của biểu thức chứa biến dưới dấu căn và luyện tập. 7 Chiều Tìm giá trị lớn nhất và ” nhỏ nhất của phân thức 18/10/08 ax 2 bx c y dx 2 ex g 4 (trong đó x là biến và các giá trị của y được xác định) và luyện tập. 19/10/08 CN Chiều Tìm giá trị lớn nhất và 4 ” nhỏ nhất của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến . 25/10/08 7 Chiều Áp dụng giá trị lớn nhất 4 ” và nhỏ nhất vào giải phương trình. . Tổ chức thực hiện: - Giáo viên dạy theo lịch . - Học sinh học tập, thực hiện theo nội quy đã quy định . 3 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
4. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trịnh Thị Lan PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA ĐA THỨC . * Trường hợp đa thức là tam thức bậc hai ax2+ bx + c: Cách giải chung của dạng toán trên là : Dựa vào lũy thừa bậc chẵn biến đổi đa thức đã cho về dạng : * y = M – [g(x)]2 ( M là hằng số ) Khi đó y M . Vậy GTLN của đa thức đã cho là M đạt đươc khi và chỉ khi g(x) = 0. * y = m + [h(x)]2 (m là hằng số ) 4 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
5. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trịnh Thị Lan Khi đó y m. Vậy GTNN của đa thức đã cho là m đạt đươc khi và chỉ khi h(x) = 0. Chú ý : Với tam thức bậc hai ax2+ bx + c, khi a > 0 thì cho ta bài tốn tìm GTNN, khi a < 0 thì bài tốn đi tìm GTLN . a/ Các ví dụ: Ví dụ1 : Tìm GTNN của biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 2. Giải : Ta có : x2 – 4x + 2 = x2 – 2.2.x + 22 – 2 = -2 + (x – 2 )2 Vì (x – 2 )2 0 nên -2 + (x – 2 )2 -2 Vậy GTNN của biểu thức A là -2 đạt được khi (x – 2)2 = 0 x = 2. • Nhận xét : Ở đây ta thấy ngay hằng đẳng thức cần áp dụng là bình phương của một hiệu với số thứ nhất là x, số thứ hai là 2 như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được dạng của hằng đẳng thức cần áp dụng, biết cách xác định được số thứ nhất và số thứ hai trong hằng đẳng thức đó. Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2 Ví dụ2 : Tìm GTNN của biểu thức sau b/B x2 3x 3 Giải : 2 2 2 3 9 3 3 3 Ta có : x 3x 3 x 2x x 2 4 4 2 4 2 2 3 3 3 3 Ta cĩ x 0, nên x 2 2 4 4 2 3 3 3 Vậy: A đạt GTNN bằng khi x 0 x 4 2 2 • Nhận xét : Ở ví dụ này nhiều em sẽ không biết cách tách hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức .Đây ta thấy ngay hằng đẳng thức cần áp dụng là bình phương của một tổng với số thứ nhất là x, số thứ hai gv hướng dẫn học sinh xác định như sau : 3x = 2.x.? 3 3 ? = . Như vậy số thứ hai sẽ là 2 2 Ví dụ3 : Tìm GTLN của biểu thức sau C = 1 – 6x – x2 Giải : 5 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
6. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trịnh Thị Lan Ta có : C = 1 – 6x – x2 = - x2 – 6x + 1 = - (x2 + 6x + 9) + 10 = 10 – (x + 3 )2 Ta có -(x + 3 )2 0 nên 10 – (x + 3 )2 10 Vậy GTLN của C bằng 10 đạt được khi x = -3. • Nhận xét : Ở ví dụ này nhiều em sẽ nhầm dấu khi áp dụng hằng đẳng thức.Hạng tử đầu tiên đã xuất hiện bình phương nhưng lại cĩ dấu trừ ở đằng trước nên để áp dụng được hằng đẳng thức chúng ta phải nhĩm các hạng tử với nhau và đặt dấu trừ ở đằng trước dấu ngoặc . Ví dụ4 : Tìm GTLN của biểu thức sau 2 D = -2x + 5x +1. Giải : 2 2 5 Ta có : D = -2x + 5x +1 = -2(x - x ) + 1 2 5 25 33 = -2(x2 – 2. x. + ) + 4 16 8 2 33 5 2 x 8 4 2 2 5 33 5 33 Ta cĩ x 0, nên 2 x 4 8 4 8 2 33 5 5 Vậy: B đạt GTLN bằng khi x 0 x 8 4 4 • Nhận xét : Ở ví dụ 4 yêu cầu cao hơn, học sinh phải chú ý đến hạng tử đầu tiên -2x 2 chưa được viết dưới dạng a 2. Học sinh sẽ nhầm lẫn rất nhiều, để tránh được sự nhầm lẫn đĩ giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh đặt -2 làm nhân tử chung của hai hạng tử đầu tiên sau đĩ sử dụng phương pháp thêm bớt để đưa về dạng tổng quát . b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm GTLN , GTNN ( nếu có) của các biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + 2 b) B = -x2 +10 x + 3 c) C = 3x2 – x + 4 d) D = -5x2 – 4x + 1 Bài 2: Tìm GTLN , GTNN của các biểu thức sau : 1 x a) A = x2 4 4 3 6 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
7. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện :Trịnh Thị Lan 1 x b) B = x2 2 3 6 c) C = ax2 + bx + c ( a 0) c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện : Các bước giải và kết qủa như sau : Bài 1: a) A = x2 – 4x + 2 = ( x – 2)2 – 2 -2 GTNN của A là -2 đạt được khi x = 2. b) B = -x2 +10 x + 3 = -( x – 5)2 + 28 28 . GTLN của B là 28 đạt được khi x = 5 . c) C = 3x2 – x + 4 2 1 47 47 = 3 x 6 12 12 47 1 GTNN của C là đạt được khi x = . 12 6 d) D = -5x2 – 4x + 1 2 2 9 9 = 5 x 5 5 5 9 2 GTLN của D bằng khi x = 5 5 Bài 2: 1 x a) A = x2 4 4 3 2 1 1 37 37 = x 2 3 9 9 37 2 GTNN là khi x = . 9 3 2 1 2 x 1 1 97 97 b) B = x 2 = x 3 6 3 4 48 48 97 1 GTLN là khi x = . 48 4 c) C = ax2 + bx + c ( a 0) . 7 Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất