Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy học phương trình và bất phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy học phương trình và bất phương trình

1. Chương III. Dạy học phương trình và bất phương trình . Tiết 1. Dạy học phương trình và bất phương trình(lí thuyết). I. Mục đích, yêu cầu khi dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông. Trong dạy học, người giáo viên phải luôn tự mình trả lời các câu hỏi sau: - Dạy để làm gì? (Mục đích của việc dạy học). - Dạy cái gì? (Nội dung của việc dạy học). - Dạy như thế nào? (Phương pháp). - Dạy trong điều kiện nào? (Điều kiện dạy học). Việc xác định mục đích và yêu cầu trong dạy học là một việc làm rất cần thiết vì nó là cơ sở và đích đến của tiết học đó. Nếu giáo viên và học sinh không đặt ra mục đích và yêu cầu trong dạy học thì việc dạy học trở thành một việc làm bị động và không mang lại kết quả cao. O – Hãy đưa ra một số mục đích yêu cầu nếu bạn dạy học toàn bộ nội dung phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông? - Trong dạy học phương trình và bất phương trình chúng ta cần đề ra mục đích, yêu cầu sau: 1. (Giúp cho) học sinh (phải) nắm vững khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm liên quan: nghiệm của phương trình, bất phương trình; giải phương trình hoặc bất phương trình; quan hệ tương đương giữa hai phương trình hoặc hai bất phương trình. Thông qua chủ đề phương trình và bất phương trình, cần củng cố đào sâu một số kiến thức về tập hợp và lôgic toán. 2. Học sinh có kĩ năng giải phương trình và bất phương trình, thành thạo với việc giải phương trình và bất phương trình theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống qui tắc biến đổi xác định, chẳng hạn phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình , đồng thời biết linh hoạt vận dụng những kiến thức về giải phương trình theo nội dung, chẳng hạn phương trình có dấu giá trị tuyệt đối, một số phương trình mũ và phương trình logarit; biết nhìn khái niệm phương
2. trình về cả mặt ngữ nghĩa và cú pháp trong khi giải phương trình hoặc bất phương trình. Học sinh biết cách giải phương trình, bất phương trình bằng đồ thị, thông qua đó thấy được mối liên hệ giữa phương trình, bất phương trình và hàm số. Học sinh có kĩ năng giải toán bằng cách lập phương trình, nhất là đối với phương trình bậc nhất và bậc hai, thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hoá các tình huống thực tế. Làm quen với một số bài toán tối ưu đơn giản có vận dụng kiến thức về phương trình, bất phương trình. 3. Học sinh được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình hoặc bất phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ qui tắc xác định, được rèn luyện về tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những phương trình theo nội dung, những phương trình không mẫu mực. 4. học sinh được rèn luyện về tính qui củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật và một số phẩm chất đạo đức khác. II. Tầm quan trọng của phương trình và bất phương trình. Trong dạy học, giáo viên cần phải nắm được vị trí và tầm quan trọng của nội dung mình dạy. Nó là một trong những cơ sở để gợi động cơ trong dạy học. Đề Các đã phát biểu: - Mọi bài toán thực tế đều có thể chuyển về một bài toán toán học. - Mọi bài toán toán học đều có thể chuyển về một bài toán đại số. - Mọi bài toán đại số đều có thể chuyển về một bài toán giải hệ phương trình. - Mọi bài toán giải hệ phương trình đều có thể chuyển về một bài toán giải phương trình. Qua đó ta cũng thấy phần nào tầm quan trọng của phương trình và bất phương trình trong cuộc sống cũng như trong toán học. (Có thể tham khảo thêm tài liệu của GS. TSKH. Nguyễn Bá Kim) III. Các nội dung dạy học phương trình và bất phương trình. 1. Triển khai qua các lớp.
3. O - Theo bạn, học sinh được học phương trình và bất phương trình từ lớp mấy? – Học sinh bắt đầu làm quen với phương trình và bất phương trình một cách ẩn tàng từ lớp 1, đó là các dạng bài điền vào ô trống: + 3 = 5 O – Tự đọc mục II, triển khai qua các lớp trong 3 phút và trả lời các câu hỏi mà giáo viên đưa ra sau đó Cấu trúc chương trình ở phổ thông của ta là cấu trúc theo đường xoắn ốc. - Tiểu học: học sinh được học giải các phương trình dạng: x + a = b, a – x =b, x.a = b, x/a = b - ở bậc THCS: học sinh học về phương trình, bất phương trình một ẩn, giải toán bằng cách lập phương trình, phương trình bậc cao, phương trình bậc 2, phương trình vô tỉ. - ở bậc THPT: Lớp 10: học sinh học về khái niệm phương trình, bất phương trình, phương trình chứa tham số, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, phương trình và hệ phương trình bậc 2, bất phương trình bậc nhất và bậc hai. Lớp 11: Phương trình lượng giác. Lớp 12: phương trình, bất phương trình mũ và logarit. O – Em hiểu thế nào về con đường xoắn ốc. - Có gì thay đổi trong chương trình THPT cũ và chương trình SGK thí điểm? - xoắn ốc ở đây có nghĩa là: chương trình vẫn xoay quanh một vài vấn đề chính nào đó nhưng lên lớp trên thì mức độ cao hơn. - Phương trình và bất phương trình mũ, logarit được đưa vào chương trình lớp 12 sau phần khảo sát hàm số. 2. Các khái niệm cơ bản. a, Khái niệm phương trình và bất phương trình. O – Hãy cho biết khái niệm phương trình mà em đã được học? - Cho hai hàm số f(x) và g(x) lần lượt có tập xác định là Df và Dg. Đặt D = Df  Dg. Mệnh đề chứa x D có dạng: f(x) = g(x) (1) được gọi là phương trình một ẩn, x được gọi là ẩn số. D được gọi là tập xác định của phương trình (1).
4. Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x0) = g(x0) đúng thì x0 gọi là một nghiệm của phương trình (1). Tập T={x0 D: f(x0) = g(x0) đúng} gọi là tập nghiệm của phương trình (1). Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Nếu tập nghiệm của một phương trình là tập rỗng thì ta nói phương trình đó vô nghiệm. O – Chỉ ra một nghiệm hay một số nghiệm của phương trình thì có phải là giải phương trình không? Tại sao? – Không, vì giải phương trình là phải tìm toàn bộ tập nghiệm chứ không phải là chỉ ra một vài phần tử của tập đó. Để hoàn thành việc giải phương trình, ta chứng minh thêm, phương trình trên chỉ có các nghiệm đã chỉ ra. O - Đọc giáo trình và chỉ ra sự khác nhau trong 2 khái niệm về phương trình theo sách giáo khoa cũ và sách giáo khoa mới? – Sách cũ: f và g là 2 hàm số; sách mới f và g là 2 biểu thức. O – Vậy biểu thức là gì? b, Biểu thức toán học. - Hãy đọc giáo trình mục I.1. Biểu thức toán học. HS: - Đọc cho cả lớp nghe mục trên. – Biểu thức toán học (gọi tắt là biểu thức) được hiểu là một cách ký hiệu chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán đó trên các số và các chữ thay số (thuộc một trường số nào đó). Trong các chữ thay số có trong biểu thức, có hai loại là đối số và tham số. Đối số là chữ có thể nhận những giá trị bằng số khác nhau. Tham số (thông số) là chữ biểu thị một số xác định. Trong biểu thức f(x), nếu thay x bằng một số a nào đó mà mọi phép toán đều thực hiện được và ta tính được số xác định f(a) thì ta nói f(x) xác định tại a và gọi f(a) là giá trị của f(x) tại a. Nếu không, tức là có ít nhất một phép toán trong biểu thức f(x) không thực hiện được ta nói f(x) không xác định tại a. c, Phương trình, bất phương trình tương đương. O - Trong điều kiện D, hai phương trình (bất phương trình) tương đương khi và chỉ khi?
5. – Tập nghiệm của chúng trùng nhau. O – Hai phương trình: cos2x – 3cosx + 1 = 0 và x2 – 3x + 1 = 0 có tương đương không? O – Hãy đưa ra khái niệm về phương trình hệ quả. – Nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai thì ta nói phương trình thứ hai là hệ quả của phương trình thứ nhất. O – Hãy làm bài tập sau: Cho hai phương trình sau: 1+cos2x+cos3x = 2cosxcos2x (1) mcosx+cos3x=(m-2)(1+cos2x) (2) - Chứng minh rằng: mọi m thì phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1). - Tìm những giá trị của m để hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau. O – Để chứng minh một phương trình là hệ quả (hoặc tương đương) với phương trình khác ta thường làm theo những chu trình nào? – Tìm tập nghiệm của cả 2 phương trình rồi so sánh (áp dụng cho các phương trình dễ giải) - Giả sử x0 là nghiệm của phương trình này, thay vào và biến đổi về phương trình kia để chứng tỏ x0 cũng là nghiệm của phương trình kia. (áp dụng cho các phương trình khó giải nhưng dễ biến đổi). O – Bài này ta nên áp dụng theo cách nào? - Đây là các phương trình có thể tìm nghiệm nhưng rất khó biến đổi phương trình này thành phương trình kia. Do vậy ta nên dùng cách 1. - Lời giải: (1) cosx = 0 hoặc cosx = 1/2 (2) cosx = 0 hoặc cosx = 1/2 hoặc cosx = (m-3)/2 nên (2) là hệ quả của (1) (1) (2) khi m 5 hoặc m 1 hoặc m = 3 hoặc m = 4 O – Hãy cho bài toán minh hoạ cho cách giải còn lại?
6. – Chứng minh 3 2x 1 3 x 1 3 3x 1 (1) là hệ quả của 3 (2x 1)(x 1)(3x 1) 1 (2). - Gợi ý: Thay x0 là nghiệm của (1) vào (1) và biến đổi thành (2). Hãy giải phương trình trên. O – Thế nào là phép biến đổi tương đương? – Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. - Các phép biến đổi tương đương. + Cộng hai vế của phương trình với cùng 1 biểu thức (xác định trong điều kiện xác định của phương trình) + Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức của phương trình. + Nhân hai vế của phương trình cùng với 1 biểu thức khác 0. - Hướng dẫn ôn tập ở nhà. 1. Nắm chắc định nghĩa và các khái niệm liên quan tới phương trình. 2. Xây dựng hoặc sưu tập các bài toán liên quan tới tập nghiệm của phương trình như: Tìm điều kiện để phương trình có n nghiệm (n có thể bằng 0); tìm điều kiện để phương trình này là hệ quả hay tương đương với phương trình kia. Hết tiết 1. Tiết 2. Dạy học Phương trình và Bất phương trình (lí thuyết) IV. Phương pháp dạy học các nội dung phương trình và bất phương trình ở trường phương trình. Khi dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông, cần chú ý những điểm sau: 1. Về trình bày và diễn đạt. O - Trước hết hãy xem xét các cách trình bày và diễn đạt sau có được không? Vì sao? A, Phương trình x2 – x + x 2 x - 2 = 0 (1). Đặt t = x 2 x , t 0. Ta được: (1) t2 + t – 2 = 0 (2). B, x2 – x = 0 hay x(x-1) = 0
7. C, x(x-1) = 0 x1 = 0, x2 = 1 D, x(x-1) = 0 x = 0 hoặc x = 1 E, Phương trình x(x-1) = 0 có nghiệm x = 0 hoặc x = 1 F, Phương trình x(x – 1) = 0 có nghiệm x = 0 và x = 1 x 0 G, x(x-1) = 0 x 1 – A, sai vì (1) và (2) không cùng tập nghiệm. B, Đúng vì từ hay được dùng với nghĩa tương đương. C, Sai, vì đằng sau dấu phải là một phương trình hoặc một hệ, tuyển phương trình chứ không phải là đẳng thức. D, Đúng E, Sai, vì ta liệt kê tập nghiệm thì dùng từ và. F, Đúng. G, Không nên đưa ký hiệu tuyển ([) khi biến đổi phương trình, bất phương trình. Nên viết dưới dạng tuyển của các hàm mệnh đề. Như D. Vậy ta có các chú ý sau: (Đọc giáo trình). - Không nên dùng ký hiệu tuyển ([) khi biến đổi phương trình, bất phương trình. Nên viết dưới dạng tuyển của các hàm mệnh đề. Chẳng hạn: x(x-1) = 0 x = 0 hoặc x = 1 - Từ “hay” được dùng với nghĩa tương đương, chẳng hạn: x2 – 1 = 0 hay x2 = 1. Từ “hoặc” thay cho phép tuyển, từ “và” thay cho phép hội, dùng để liệt kê. Chẳng hạn: Nghiệm của phương trình x(x – 1) = 0 là x = 0 và x = 1 - Nếu viết: x(x-1) = 0 x1 = 0, x2 = 1 là không chính xác, vì đằng sau dấu phải là một phương trình (hệ, tuyển phương trình, chứ không phải là đẳng thức). - Nếu có phương trình f(x) = 0 (1), đặt ẩn phụ u = g(x), ta có phương trình f(u) = 0 (2). Không thể viết (1) (2) (vì hai phương trình này không cùng tập nghiệm). 2. Về diễn biến tập hợp nghiệm khi biến đổi phương trình, bất phương trình.