Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

1. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Đề tài: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 Giải phương trình vô tỷ A. Nhận thức cũ- Giải pháp cũ: Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chương trình đại số 9 ,phương trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phương trình có chứa căn tương đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải Có những phương trình không thể giải bằng các phương pháp quen thuộc. Khi gặp phương trình vô tỷ , học sinh thường chỉ quen một phương pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhưng trong quá trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương phương trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải . B. Nhận thức mới – giải pháp mới I. Nhận thức mới: Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục . Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu khi hai vế cùng dấu. ở phương trình (1), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã 0 vì vậy ta nên chuyển vế đưa về phương trình có 2 vế cùng 0. (1) x 1 5x 1 3x 2 Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế: x 1 5x 1 3x 2 2 7x 2 15x 2 13x 2 (*) Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa. 4 14x 49x 2 4(15x 2 13x 2) 11x 2 24x 4 0 (11x 2)(x 2) 0 2 x 2 11 Và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm : x ; x 2 1 11 2 x 2 Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm : + Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải 2 không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : x 1 vì vậy x không phải là 1 11 nghiệm của (1) 2 + Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện 2 7x 0 x 7 vậy x2 2 không là nghiệm của (1) - Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích . Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 3
3. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ + ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b a2n+1=b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu của hai vế. Giải:+ Lập phương hai vế 2 2 x 1 7 x 3 3 x 1 .3 7 x 3 x 1. 3 7 x 8 ( ) Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức: ( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b) Vậy ( ) có thể viết : x 1 7 x 33 (x 1)(7 x). 3 x 1 3 7 x 8 (I) (đến đây thay 3 x 1 3 7 x 2 vào phương trình) ta được: 3 8 3 (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0 ( II) Giải ra: x1 1; x2 7 ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm x1 1; x2 7 + ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải. Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương , vì nó chỉ tương đương khi x thoả mãn : 3 x 1 3 7 x 2 . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II) vào phương trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai. Bài tập tương tự : Giải phương trình : a) 3 x 1 3 x 1 3 5x b) 3 2x 1 3 3 2x 4 c) 3 2x 1 3 2x 1 3 10x ( Đề thi vào toán tin -2000) Phương pháp 2: Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối. Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 5
4. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ 3 19 + Nếu 2x 3 4 x 2 2 3 19 Thì 2x 3 1 2x 3 4 5 0x 0 vô số nghiệm x thoả mãn x 2 2 3 19 Kết luận: x 2 2 C2: ( Để giải ( ) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối . A B A B. dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B 0) Giải: ( ) 2x 3 1 2x 3 4 5 2x 3 1 4 2x 3 5 Ta có: 2x 3 1 4 2x 3 2x 3 1 4 2x 3 5 Vậy: 2x 3 1 4 2x 3 5 Khi 2x 3 1 4 2x 3 0 4 2x 3 0 3 19 3 Giải ra: x x 2 2 2 Bài tập tương tự: Giải phương trình a) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 b) x 2x 1 x 2x 1 2 (Nhân 2 vế với 2 thì trong căn sẽ xuất hiện hằng đẳng thức) Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình ở phương pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình vô tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ + Đặt 2 ẩn phụ Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 7
5. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ 2x x 2 6x 2 12x 7 0 ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004) Hướng dẫn : ĐK : 6x 2 12x 7 0;x Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phương trình: 2x x 2 6(x 2 2x) 7 0 Đặt : x 2 2x a Ta có phương trình: 6a 7 a (I) Giải(I) tìm a từ đó tìm x. VD2: Giải phương trình: ( 1 x 1)( 1 x 1) 2x HD: ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : 1 x u ; Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương trình để đưa về phương trình ẩn u. Giải: ĐK : -1 x 1; C1: Đặt: 1 x u (0 u 2) x u 2 1 (5) (u 1)( 2 u 2 1) 2(u 2 1) (u 1) ( 2 u 2 1) 2(u 1)  u 1 0 2 2 u 1 2(u 1) 0 + Nếu :u 1 0 u 1( thoả mãn) x 1 1 x 0 (Thoả mãn ĐK) 2 u 2 1 2(u 1) 2u 1 0 5u 2 4u 1 0 2 2 2 u (2u 1) Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 9
6. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ VD4: Giải phương trình: x 2 x 2006 2006 Cách 1: Đặt x 2006 y ta có hệ phương trình x 2006 y 2 x y x 2006 x giải ra 2 x y 2006 x y 1 x 2006 x 1 từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp. Chú ý : Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được về hệ phương trình đối xứng. Cách 2: Đưa 2 vế về cùng bậc: 1 1 x 2 x x 2006 x 2006 4 4 2 2 1 1 x x 2006 2 2 1 1 x x 2006 2 2 1 1 x x 2006 2 2 Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1 Bài tập tương tự : Giải phương trình x 3 1 2y a) x 3 1 23 2x 1 ; HD: Đặt ẩn phụ y 3 2x 1 ta có hệ : 3 y 1 2x b) 2x 2 2x 1 4x 1 ; HD : Đặt ẩn phụ y x 2 x c) 4x 2 6x 7 2x 2 3x 9 15 B) Đặt 2 ẩn phụ: ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đưa về phương trình đơn giản. 3 VD1: Giải phương trình: 2 x x 1 1 (7) Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 11
7. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Nhận xét: Nếu lập phương hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đưa được về dạng a.b=0 như ở phương trình (2) 9x 2 1 (3x 1)(3x 1) . Nên có thể đặt 2 ẩn phụ Giải: Đặt u 3 3x 1 v 3 3x 1 u 2 v 2 uv 1 u 1 (9) trở thành: Giải ra: 3 3 u v 2 v 1 vậy ta có: 3 3x 1 1 x 0 Vậy (9) có nghiệm x=0 3 3x 1 1 Bài tập tương tự: Giải phương trình : 1 1 a) 3 x x 1 2 2 b) 3 x a 3 x b 1 Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được về hệ PT thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đưa về phương trình đơn giản. Như các VD sau: VD4: Giải phương trình: 2(x 2 2) 5 x 3 1 (10) Nhận xét: Nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ đưa về phương trình bậc 4 rất khó giải: Hướng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x3+1 ? có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) + Tìm mối quan hệ giữa x2+2 và x3 +1 x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1) + Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: a x 1;b x 2 x 1 và tìm mối quan hệ a, b từ đó tìm x Giải: Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 13
8. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ 1 b a x 2 9 Giải ra: 3 ; Giải ra: x=0 1 b 2 3 2x 3 x 9 VD5: Giải phương trình:5 2x 3 16 2(x 2 8); ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) 2 2 HD: Biến đổi 5 2(x 2)(x 2x 4) 2(x 8) Mối liên hệ: x 2 8 (x 2 2x 4) (2x 4) ; Đặt: 2(x 2) a; x 2 2x 4 b Ta có phương trình:5ab 2(a 2 b 2 ) (2a b)(a 2b) 0 Từ đó tìm a,b, và tìm được x BT Tương tự: Giải phương trình a) 2(x 2 3x 2) 3 x 3 8 b) 2x 3 x 1 3x 3 2x 2 5x 3 16 Hướng dẫn:Nhận xét: (2x 3)(x 1) 2x 3 5x 3 Đặt : u 2x 3 0;v x 1 0 u 2 v 2 3x 4 3x 2 u 2 v 2 4 Nên ta có phương trình: u v u 2 v 2 20 2uv (u v) 2 (u v) 20 0 Đặt: u+v=t. Ta có phương trình: t2-t-20=0 t 5 Giải ra: Do đó: 2x 3 x 1 5 t 4(loai) Đến đây dùng phương pháp 1 để giải: x=3 C) Đặt nhiều ẩn phụ: VD1: Giải phương trình: 2x 2 1 x 2 3x 2 2x 2 2x 3 x 2 x 2 Nhận xét: + Phương trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phương pháp bình phương 2 vế thì sẽ đưa về một phương trình phức tạp . Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 15
9. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Nhận xét: + ở phương trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x2 + x từ đó đưa về hệ phương trình y x 2 x đối xứng: 2 x y y x y Từ đó suy ra: rồi giải tìm x x 2 y + Ta cũng có thể nhân 2 vế của phương trình với 2 rồi đưa về dạng: 4x 2 ( 4x 1 1) 2 0 giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn) Bài tập tương tự: Giải phương trình a) x 2 6x 26 6 2x 1 b) x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5 VD: Giải phương trình: 5x 2 x 1 1 x 3 ( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005) HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: 5x 3 4(x 1) (1 x) ; PT trở thành: (2 x 1) 2 ( 1 x) 2 2 x 1 1 x 0 (2 x 1) 1 x 1 0 ( x 1)(5 x 1 1) 0 Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK) Ngoài ra ta có thể đặt: x 1 a; 1 x b ; ta có hê: a 2 b 2 2 ; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm được x 2 2 2a b 4a b 0 Bài tập tương tự : Giải phương trình x 3 4x 1 3x 2 5 HD: Nhận xét x 3 ( 4x 1) 2 ( 3x 2) 2 Từ đó biến đổi đưa về dạng :A.B =0 Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt. x 4x 1 VD1: Giải phương trình: 2 (`11) 4x 1 x Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 17
10. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ 2 1. x 4 1. 6 x 12 12 x 4 6 x 2.2 4 x 4 6 x 2 Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2 (1) x 4 6 x 2 (2) Giải (1) ta được x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phương trình có nghiệm x=5 BT tương tự : Giải phương trình a) 4 1 x 2 4 1 x 4 1 x 3 (HD: áp dụng BĐT cô si) 1 1 b) 2 x 2 2 4 x x 2 x 2 1 1 Đưa về dạng: 2 x x 2 4 rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki 2 x x Tổng quát cách giải: + Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà f (x) a; g(x) a với a là hằng số. Nghiệm của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a + Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta luôn có h(x) m và h(x) m thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra + áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki Phương pháp 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất Ví dụ: Giải pt: 5 x 6 3 3x 4 2 1 Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phương pháp trên đều khó giải được nên suy nghĩ để tìm cách giải khác. Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt + Chứng minh nghiệm duy nhất Giải: Nhận thấy x 1 là một nghiiệm của pt Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 19
11. Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy ,hướng giải và phát triển bài toán .Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh . Với kinh nghiệm nho nhỏ như vậy tôi xin được trao đổi cùng các đồng nghiệp.Tôi rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy . Diễn Châu ngày 25 tháng 5 năm 2005 Người thực hiện Hoàng Thị Bích Lai Người thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trường THCS Diễn Trường 21