Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1. SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM Phöông phaùp chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc. A. ĐẶT VẤN ĐỀ - Bé m«n h×nh häc kh«ng chØ cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc vÒ quan hÖ h×nh häc vèn cã xung quanh ta mµ nã cßn d¹y ta c¸ch suy nghÜ s¸ng t¹o vµ hîp l« gÝc. - Cã mét thùc tÕ, sau khi häc xong ch­¬ng tr×nh h×nh häc, nhiÒu häc sinh ch­a tù hÖ thèng hoÆc hÖ thèng ®­îc rÊt Ýt c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh c¸c quan hÖ h×nh häc. Do ®ã trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, gi¸o viªn cÇn gióp c¸c em hÖ thèng ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh c¸c quan hÖ h×nh häc ngay tõ líp 7 vµ cã thãi quen tù hÖ thèng ®­îc ph­¬ng ph¸p chøng minh quan hÖ h×nh häc sau mét bµi lý thuyÕt. - ViÖc n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh quan hÖ h×nh häc kh«ng chØ gióp c¸c em cã kü n¨ng gi¶i to¸n h×nh tèt mµ cßn gióp c¸c em cã kinh nghiÖm vËn dông mét c¸ch linh ho¹t,s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo thùc tiÔn cuéc sèng, ®ång thêi n©ng cao dÇn kh¶ n¨ng t­ duy cña m×nh. - Chøng minh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc lµ mét m¶ng kiÕn thøc vµ nh÷ng kü n¨ng c¬ b¶n trong ch­¬ng tr×nh To¸n phæ th«ng. Häc sinh cÇn ph¶i cã kü n¨ng thµnh th¹o trong viÖc dù ®o¸n, ph©n tÝch ,chøng minh c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc trong h×nh häc ph¼ng.T¹o tiÒn ®Ò v÷ng ch¾c cho häc sinh hiÓu vµ n¾m v÷ng ®­êng th¼ng vu«ng gãc trong kh«ng gian. - N¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc gãp phÇn ph¸t triÓn t­ duy linh ho¹t cho häc sinh khi gi¶i quyÕt c¸c t×nh huèng ®Æt ra ,biÕt lùa chän c¸ch gi¶i quyÕt t×nh huèng phï hîp vµ biÕt lùa chän ph­¬ng ¸n tèi ­u cho tõng t×nh huèng. XuÊt ph¸t tõ nh÷ng lý do vµ môc ®Ých trªn t«i ®· chän lµm s¸ng kiÕn “Ph­¬ng ph¸p chøng minh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc ë líp 7” vµ thêi gian thùc hiÖn trong n¨m häc 2007 – 2008. B: Néi dung I – PhÇn chung Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 1 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn
2. 1)§Þnh nghÜa hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc Hai ñöôøng thaúng xx’ vaø yy’ caét nhau vµ trong c¸c goùc t¹o thµnh cã mét gãc vu«ng ®­îc gäi lµ hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ xx’  yy’ 2)Caùc daáu hieäu nhaän bieát hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc: - Hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹o thµnh mét gãc vu«ng. - Hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc keà bï t¹o thµnh mét gãc vu«ng. - §öôøng thaúng vuoâng goùc vôùi moät trong hai ñöôøng thaúng song song thì vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng kia. - Sö dông ®Þnh nghÜa ®­êng cao cña tam gi¸c, ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng. - Sö dông ®Þnh lÝ Pi – Ta – Go ®¶o I – PhÇn cô thÓ 1.Phöông phaùp 1:Lôïi duïng 2 goùc keà buø baèng nhau. Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù AB=AC.Goïi M trung ñieåm cuûa BC .Chöùng minh AM  BC. A B M C Phaân tích: Ñeå chöùng minh AM  BC thì phaûi coù ·AMB = ·AMC =900. Do ·AMB vaø laø hai goùc keà buø neân neáu chuùng baèng nhau thì moãi goùc baèng 900. -Ta deã daøng c/m ñöôïc ·AMB = ·AMC baèng caùch c/mø AMB= AMC. Caùc böôùc chöùng minh: * AMB= AM(c.c.c) * ·AMB = ·AMC (hai goùc töông öùng) * ·AMB + ·AMC =180 0 neân ·AMB = ·AMC =900. Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 2 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn
3. H¹n chÕ cña ph­¬ng ph¸p: Ph­¬ng ph¸p 1 chØ sö dông chñ yÕu trong häc kú I cña líp 7, v× sau khi ®­îc cung cÊp thªm c¸c kiÕn thøc míi, c¸c em cã thÓ sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nhanh h¬n. Bµi tËp vËn dông: Cho gãc xoy, gäi oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy. Trªn tia Ox lÊy ®iÓm A, trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OA = OB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña AB víi tia Oz. Chøng minh OK  AB. 2- Phöông phaùp 2:Vaän duïng hai goùc keà phuï nhau Ví duï 2:Cho tam giaùc ñeàuABC. Treân tia ñoái cuûa tia CB laáy ñieåm M sao cho CM = CB. Chöùng minh AM vuoâng goùc vôùi AB. Caùch 1: A j B C M Phaân tích:- Neáu B· AM =900 thì AB  AM - Do ABC ñeàu neân B· AC =600, neáu C· AM =300 thì B· AC +C· AM =900. - Coù theå tính theo soá ño cuûa B· CA ñöôïc khoâng? SosaùnhC· AM vôùi B· CA baèng caùch naøo? - Höôùng daãn chöùng minh *Tam giaùc CAM caân taïi C neân: C· AM = M¶ = B· CA :2(vì B· CA laø goùc ngoaøi cuûa tam giaùc ACM) 600 suy ra: C· AM = M¶ = =300 2 * Hai goùc C· AM vaø B· AC keà nhau vaø coù toång baèng 900 B· AM =900 AB  AM Bµi tËp vËn dông: Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 3 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn
4. Bµi 1: Cho ABC ®Òu. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm B sao cho AD = 1/3 AB. Tõ D kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB c¾t AC ë E. Qua E kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AC c¾t BC ë F. Chøng minh DF vu«ng gãc víi BC. Bµi 2: Cho ABC. KÎ BD vu«ng gãc víi AC, CE vu«ng gãc víi AB. Trªn tia ®èi cña tia BD lÊy ®iÓm M sao cho BM = AC. Trªn tia ®èi cu¶ tia CE lÊy ®iÓm N sao cho CN = AB. Chøng minh AM vu«ng gãc víi AN. Bµi 3: Cho ABC cã gãc A b»ng 750, gãc B b»ng 600. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓm A vÏ tia Bx sao cho gãc CBx b»ng 150. Tõ A vÏ mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB c¾t Bx t¹i D. Chøng minh DC vu«ng gãc víi BC. 3.Phöông phaùp 3:Vaän duïng toång 2 goùc nhoïn cuûa tam giaùc vuoâng. Ví duï 3: (Đề bài ở ví dụ 2) A Bj C M Caùch 2:Phaân tích -Neáu B· AM =900 thì AB  AM -Neáu M¶ =300 thì M¶ + Bµ =900 maø AMB coù toång 3 goùc baèng 1800 thì B· AM =900 CM: * ACM caân taïi M coù M¶ =C· AM =300, * BAM coù M¶ + Bµ = 300+600=900 neân B· AM =900 AB  AM Bµi tËp vËn dông Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã CD lµ ph©n gi¸c. KÎ BH vu«ng gãc víi CD, gäi E lµ ®iÓm trªn tia ®èi cña tia HC sao cho HE = HD. Chøng minh EB vu«ng gãcvíi BC. Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 4 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn
5. Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC, gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Gäi K vµ L lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn AB vµ AC theo thø tù ®ã. Chøng minh AI vu«ng gãcvíi KL. Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC, vÏ tam gi¸c ABD vu«ng c©n t¹i D( Avµ D kh¸c phÝa ®èi víi BC). VÏ tam gi¸c CBG vu«ng c©n t¹i B( G vµ A cïng phÝa ®èi víi BC). Chøng minh GA vu«ng gãc víi DC. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC, gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Gäi K vµ L lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn AB vµ AC theo thø tù ®ã. Chøng minh AI vu«ng gãc víi KL. 4.Phöông phaùp 4: Vaän duïng quan heä giöõa vuoâng goùc vaø song song Ví duï 4 : Cho tam giaùc ABC, veà phía ngoaøi cuûa tam giaùc döïng caùc tam giaùc vuoâng caân ABD vaø ACE. Goïi H, I, K thöù töï laø trung ñieåm cuûaBD, BC, CE. Chöùng minh HI  IK. E D A K H Ml N B I C Phaân tích: Duøng hai phöông phaùp tröôùc khoâng chöùng minh ñöôïc HI  IK, neân tìm trong hình veõ nhöõng ñöôøng thaúng coù lieân quan ñeán hai ñoaïn thaúng naøy. Vì H, I, K ñeàu laø trung ñieåm cuûa caùc ñoaïn thaúng, neân neáu ta noái BE, CD thì HI, IK seõ laø caùc ñoaïn thaúng noái lieàn trung ñieåm hai caïnh cuûa moät tam giaùc, vaø HI //CD, IK//BE. Cho neân chæ caàn chöùng minh CD  BE thì giaûi quyeát ñöôïc baøi naøy. Muoán chöùng minh CD  BE ta söû duïng phöông phaùp 2. Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 5 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn
6. HD chöùng minh: - Noái BE, CD - Coù AD=AB, AC=AE (gt) - D· AC =900+ B· AC = B· AE - ADC= ABE (cgc) - ·ADC = ·ABE - Goïi M laø giao ñieåm cuûa AB vaø DC, goïi N laø giao ñieåm cuûa DC vaø BE. - GoùcM1=goùc M2 - Suy ra B· NM = D· AM =900 - Suy ra CD  BE. - Do HI //CD, IK//BE - Neân HI  IK 5. Phöông phaùp 5: Vaän duïng tính chaát hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc keà buø:” Hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc keà buø taïo thaønh moät goùc vuoâng”. Ví duï 5: Cho tam giaùc ABC coù goùc A =1200, coù AD, BE, CF laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa caùc goùc cuûa tam giaùc. Chöùng minh DF  DE B D F x A E C Phaân tích: - Baøi toaùn naøy khoâng giaûi ñöôïc theo caùc phöông phaùp treân. Vaäy coù caùch naøo ñeå chöùng minh DF  DE? Theo giaû thieát caùc döõ kieän cuûa baøi toaùn lieân quan ñeán tia phaân giaùc vaø caùc tia DE, DF naèm trong caùc goùc ADB, ADC maø chuùng Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 6 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn
7. laïi laø caùc goùc keà buø, vì vaäy coù theå chöùng minh DE, DF laø hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc ADB,ADC. HD chöùng minh: - ABD coù AC laø tia phaân giaùc goùc ngoaøi taïi ñænh A, BE laø tia phaân giaùc cuûa goùc B. Chuùng caét nhau taïi E neân DE laø tia phaân giaùc cuûa goùc ngoaøi taïi ñænh D hay DE laø tia phaân giaùc cuûa ·ADC - Töông töï DF laø tia phaân giaùc cuûa ·ADB - Do ·ADC vaø ·ADB laø hai goùc keà buø neân DF  DE Bµi tËp vËn dông (Ph­¬ng ph¸p 4 + 5): Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã BD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B, D thuéc AC. VÏ ®­êng th¼ng xy qua A vµ song song víi BD. Gäi M lµ giao ®iÓm cña xy víi BC. KÎ BN lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABM, N thuéc AM. Chøng minh BN vu«ng gãc víi AM t¹i N. Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC, I lµ trung ®iÓm cña BC. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B c¾t ®­êng th¼ng AI t¹i D. Trªn tia ®èi cña tia ID lÊy ®iÓm E sao cho IE b»ng ID. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CE vµ AB. Chøng minh CH vu«ng gãc AB. Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC chøa ®iÓm B vÏ tia Cx vu«ng gãc víi AC. Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú thuéc AC. Trªn tia Cx lÊy ®iÓm N sao cho CN = CM. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BM, gäi K lµ trung ®iÓm cña AC. Chøng minh IK vu«ng gãc víi AN. ( HD: KÎ BH vu«ng gãc víi AN, H thuéc AC) Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC gãc B b»ng 90o, ®­êng cao BH. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BH, K lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua B. Chøng minh KH vu«ng gãc víi AM. (HD: Gäi N lµ trung ®iÓm cña HC) 6.Phöông phaùp 6: Vaän duïng tính chaát cuûa tam giaùc caân Ví duï 6: Cho tam giaùc ABC coù BD, CE laø hai ñöôøng cao. Goïi F, G theo thø töï laø trung ñieåm cuûa BC, DE.Chöùng minh: FG  DE. Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 7 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn
8. A D G E C B F Phaân tích: - Theo giaû thieát cuûa baøi toaùn coù vaän duïng ñöôïc caùc phöông phaùp treân khoâng? Coù theå chöùng minh DF =EF ñöôïc khoâng?Döïa vaøo kieán thöùc naøo? Khi ñoù tam giaùc DEF laø tam giaùc gì? FG ñöôïc goïi laø ñöôøng gì cuûa tam giaùc? Coù suy ra ñöôïc FG  DE hay khoâng? - Coù EF laø trung tuyeán öùng vôùi caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng BEC neân EF =BC/2. - Töông töï DF=BC/2. - Suy ra DF=EF, do ñoù DEF caân taïi F. - Maø FG laø ñöôøng trung tuyeán, neân FG laø ñöôøng cao, suy ra FG  DE. Bµi tËp vËn dông: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã gãc B b»ng 60o, ®­êng cao AH. KÎ AD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HAC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña AC. Chøng minh: a) DE vu«ng gãc víi AC. b) HE vu«ng gãc víi AD Bµi 2: Trªn c¹nh ®¸y cña tam gi¸c c©n ABC lÊy c¸c ®iÓm D vµ E sao cho gãc BAD = gãc DAE = gãc EAC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh AM vu«ng gãc víi DE. 7.Phöông phaùp 7 :Söû duïng tính chaát ba ñöôøng cao cuûa tam giaùc . Ví duï 7: Cho tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A.Treân caïnh AB laáy ñieåm M , treân tia ñoái cuûa tia AC laáy ñieåm N sao cho AN=AM.Chöùng minh. CM  BN Gi¸o viªn : TrÇn ThÞ HuyÒn Trang 8 Tr­êng THCS ViÖt ThuËn