Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện bài toán mới qua giờ luyện tập trên lớp - Phạm Đăng Hải

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phát hiện bài toán mới qua giờ luyện tập trên lớp - Phạm Đăng Hải

1. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HIỆN BÀI TOÁN MỚI QUA GIỜ LUYỆN TẬP TRÊN LỚP Tác giả: Phạm Đăng Hải Môn: Toán Trường THCS Trần Phú – Lê Chân Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 1
2. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp Mục lục Nội dung Trang I. Thực trạng 2 II. Giải Pháp 4 Một vài ví dụ 4 Tiết 43 Luyện tập (toán 9) 11 III. Kết luận 16 Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 2
3. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp I. THỰC TRẠNG Thực tế không phải học sinh nào cũng có tư duy tốt để ghi nhớ, hiểu bài và vận dụng một cách hiệu quả nhất đối với các môn học, đặc biệt đối với bộ môn toán, ta thường thấy rõ nhất là học sinh sẽ rất lúng túng trong các bài kiểm tra cũng như trong các kì thi, khi đề bài được ra từ những vấn đề cơ bản đã được học, cũng chính vì thế học sinh sẽ rơi vào thế bế tắc và lúng túng khi tìm cách giải quyết các vấn đề. Vậy vấn đề này do đâu? Có nhiều nguyên nhân và có nhiều cách giải quyết, nhưng theo tôi một trong những nguyên nhân có thể là do học sinh chưa biết cách “sáng tác” hoặc chưa biết đặt câu hỏi khác từ các bài toán đã học để ta được bài toán mới. Để dạy và học có kết quả tốt thì mỗi khi đã giải được một bài toán ta không nên quên đi tìm những bài toán khác, những bài toán mới.Trong thực tế đã cho thấy một số giáo viên đã thành công trong việc làm đó, ít nhiều đã có tích luỹ kinh nghiệm, tổng hợp, phân tích, khái quát hoá, cá biệt hoá. Về lý thuyết có lẽ không có giới hạn nhưng thực tế thì 45 phút quy định cho một tiết chữa bài tập trên lớp, không thể giải được nhiều bài tập nhưng biết đề xuất ra các bài toán mới sau khi đã tìm ra đáp số các bài toán cũ, ta bắt gặp hàng loạt các bài toán mới với cách giải tương tự hoặc gần với cách đã giải. Như vậy vừa tiết kiệm được thời gian, lại vừa rèn luyện được kỹ năng giải bài tập. Kinh nghiệm học toán của nhiều người cho thấy rằng khó mà nắm vững kiến thức toán học nếu như bản thân mình chưa hề tự giải một bài toán mà chính bản thân mình tự đặt ra đề toán. Bằng cách nêu vấn đề trong giờ chữa bài tập toán trên lớp, thầy giáo dẫn dắt học sinh dần từng bước tìm ra mối liên hệ để hình thành bài toán mới, các bài toán tương tự tạo ra thói quen phát hiện, suy luận để tìm ra cái mới, cái tương tự đã làm. Từ một bài toán hay ta có thể đề xuất một bài toán với nội dung tương tự hoặc giải bằng một phương pháp tương tự hoặc ta cũng có thể từ một bài toán trong trường hợp riêng mà dẫn tới cho một bài toán chung cho nhiều trường Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 3
4. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp hợp, nếu sử dụng thường xuyên giáo viên sẽ có một hệ thống bài tập đồ sộ, phong phú còn học sinh sẽ cảm thấy không bỡ ngỡ khi làm các đề thi. Trong thực tế khi tôi trực tiếp ôn thi vào 10 hoặc ôn tập cuối các chương và đặc biệt ôn thi học sinh giỏi tôi luôn có ý nghĩ phát hiện bài toán mới. Nhưng để có được bài toán mới vừa bổ ích lại vừa có thể giải được không phải là việc dễ (đã có nhiều bài tập khi tôi phát hiện thấy rất hay nhưng đành phải bỏ vì khi giải phải sử dụng đến kiến thức cao hơn mà học sinh chưa được học). Hòa nhập với khí thế chung của ngành đổi mới cách dạy, cách học cho hiệu quả để hội nhập với nền giáo dục của các nước trên thế giới. Đây cũng là mong mỏi của ngành giáo dục nước ta để xứng đáng với vị trí quốc sách hàng đầu trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước như Đảng và nhà nước đã xác định trong các kỳ đại hội Đảng toàn quốc vừa qua. Xin nêu một vài ví dụ chủ yếu về chương trình toán THCS. II. GIẢI PHÁP (Thông qua một vài ví dụ) Ví dụ 1: Bài toán 1: Phân tích đa thức sau ra thừa số: f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 Sau khi giải ta đi đến đáp số là: f(x) = (x-1)(x – 2)(x – 3) Chưa dừng lại ở đáp số đó, có thể xem xét bài toán trên ở những khía cạnh khác, nhìn nó theo những bình diện khác nhau, đề xuất các bài toán khác. Bài toán 2: Giải phương trình (hoặc tìm những giá trị của x) để: x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 Muốn giải bài toán 2 ta nhìn vào đáp số bài toán 1 thấy ngay x = 1;2;3 Bài toán 3: Hãy chứng tỏ (x3 – 6x2 + 11x – 6) chia hết (x – 3) Muốn giải bài toán 4 nhìn vào kết quả bài toán ta có ngay cách giải. Bài toán 4: Hãy chứng tỏ Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 4
5. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp x3 – 6x2 + 11x – 6 khác 0 khi x đồng thời khác 1;2;3 Ta cũng chỉ cần nhìn vào kết quả bài tập 1 là thấy ngay kết quả. Ví dụ 2: Từ một bất đẳng thức quen thuộc làm cầu nối cho việc chứng minh các bất đẳng thức khác phức tạp hơn. Đó chính là bất đẳng thức Na – sơ - bit. Với a, b, c > 0 thì. a b c 3 (*) b c a c a b 2 Giải: Ta kí hiệu VT của (*) là A và biến đổi như sau: 1 1 1 A 3 (a b c)( ) a b a c b c Đặt u = a+ b, v = a + c; t = b+ c ta có: 1 1 1 1 A 3 (u v t)( ) 2 u v t Ta có: 1 1 1 B (u v t)( ) u v t v u t u t v 3 u v u t v t áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 B 9 từ đó suy ra A 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Ta hãy tìm cách khai thác bài toán trên. Để ý thấy rằng nếu ta nhân cả 2 vế của (*) với a + b + c ta có bất đẳng thức: a b c 3 a b c a b c b c a c a b 2 a2 b2 c2 a b c b c a c a b 2 Kết quả trên dẫn đến các phép biến bài toán sau: Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 5
6. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp Bài toán 1: Chứng minh a2 b2 c2 a b c b c a c a b 2 với a,b,c > 0 thấy rằng từ vế phải của (1) nếu thêm đk: a.b.c = 1 thì theo BĐT cauhy ta có a + b + c a b c 33 abc = 3 khi đó vế phải của (1) biến đổi và từ tính chất bắc của BĐT ta có bài toán 2: Bài toán 2: Giả sử a, b, c là các số dương thoả mãn đk a.b.c = 1 CMR: a2 b2 c2 3 (2) b c a c a b 2 Muốn chứng minh BĐT (2) ta phải xuất phát từ BĐT (*) sau đó thực hiện hai bước sau ta sẽ khẳng định: Bước 1: Nhân 2 vế của (*) với a + b + c và biến đổi. a b c 3 Bước 2: CM BĐT 2 2 Đến đây nếu từ (2) và từ giả thiết ta biến đổi theo các bước: Bước1: Bình phương hai vế của (2) Bước 2: Nhân 2 vế của BĐT thu được sau bước 1 với 1 2 Bước 3: Thay thế các biểu thức: 1 1 1 a2b2; a2c2; b2c2 bằng các biểu thức tương ứng ; ; c2 b2 a2 từ 3 bước biến đổi trên dẫn đến bài toán 3: Bài toán 3: Giả sử a,b,c là các số dương thoả mãn đk: a.b.c = 1 CMR a4 b4 c4 1 1 1 2 b c 2 2 a c 2 2 a b 2 c2 a c b c b2 a b b c a2 a c a b 1 8 Bây giờ ta xét tiếp: Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 6
7. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp Bài toán 4: Giả sử a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện:a.b.c=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 (4) a 3 ( b c ) b 3 ( a c ) c 3 ( a b ) Để chứng minh (4) ta đặt: x=1/a ; y=1/b ; z=1/c Khi đó bất đẳng thức (4) có dạng: x 2 y 2 z 2 3 y x ( x z ) ( x y ) 2 Bất đẳng thức trên chính là bất đẳng thức (2). Vậy con đường đi từ (*) đến (1),(2),(3) và (4) phải chăng là con đường sáng tạo ra các bất đẳng thức từ một bất đẳng thức đã biết. Ví dụ3 Bài toán 1: Cho tam giác vuông ABC ( Aµ=900 ), AH là đường cao. Các phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại H và cắt các đường phân giác của các góc BAH và CAH, theo thứ tự tại I và K. Đường thẳng IK cắt AB, AC theo thứ tự tại B và C . Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác AIK. Lời giải: Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 7
8. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp A N M C' H' B' K I C B H Ta có B·AI = I·AH (AI là phân giác B·AH ) C·AK = K·AH (AK là phân giác củaC·AH ) B·AI +C·AK = I·AH + K·AH Hay B·AI +C·AK = I·AK mà B·AI +C·AK + I·AK = B·AC =900 900 Do đó I·AK = = 450 2 - ta có: ·AKH =C·AK + ·ACK (1) (tính chất góc ngoài của tam giác) 1 mà C·AK = H·AC (AK là phân giác H·AC ) 2 1 ·ACK = ·ACH (CK là phân giác của A·CB ) 2 1 Suy ra: C·AK + ·ACK = ( H·AC + ·ACH ) 2 900 Do đó: C·AK + ·ACK = = 450(2) 2 Từ (1) và(2): ·AKH = 450 - Kéo IH và KH lần lượt cắt AK,AI tại M,N. Xét VANK có: ·AKN =450 ( ·AKH =450) N·AK =450 ( I·AK =450) ·AKN + N·AK =900 VANK vuông tại N hay KN  AK. Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 8
9. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp Tương tự: IM  AK Suy ra: KN. IM tương ứng là hai đường cao của VAIK . Mà KN cắt IM = H  Vậy H là trực tâm của VAIK . Khai thác bài toán trên: -Vấn đề 1 - Vì H là trực tâm của VAIK . AH  B C Vì H là giao điểm hai phân giác của Bµ,Cµ củaVABC nên AH là phân giác của B·AC hay AH là phân giác của B· AC . Vậy AH vừa là phân giác, vừa là đường cao của VAB C nênVAB C vuông cân. Từ vấn đề này ta có bài toán 2 - Bài toán 2: Cho VABC ( Aµ=900) I, K lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam VABH , VACH . Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại B ,C . Chứng minh rằng VAB C vuông cân. -Vấn đề 2: -Vì K là giao điểm hai phân giác của góc A, góc C của tam giác AHC. ·AHC 900 ·AHC ·AHK = = =450. HK là phân giác 2 2 - DoVAB C cân ·AC K =450( B· AC =900) Vậy: ·AHK = ·AC K Mà H·AK =C· AK ( AK là phân giác H·AC ) ·AHK + H·AK = ·AC K +C· AK Suy ra: 1800-( ·AHK + H·AK ) =1800 – ( ·AC K +C· AK ) Hay ·AKH = ·AKC Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 9
10. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm - Ph¸t hiÖn bµi to¸n míi qua giê luyÖn tËp trªn líp Xét VAHK và VC AK có: ·AKH = ·AKC (cmt) AK chung H·AK =C· AK (cmt) VAHK =VC AK (g-c-g) AH = AC -Vấn đề 3: -Vì VAHC cân AK là phân giác đồng thời là đường cao nên AK  HC - Vì H là trực tâm VAIK BI  AK Do đó BI // HC . Từ vấn đề 2, 3 ta có bài toán 3 - Bài toán 3: Cho VABC ( Aµ=900) I, K lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam VABH , VACH . Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại B ,C . Chứng minh rằng: a. B ,C ,và H cùng nằm trên (A) b. BI // HC . - Vấn đề 4: Mối quan hệ SV AB C = SV ABC AH.BC AH.BE AH.CE S Ta có: V ABC = 2 = 2 + 2 (trong đó E là trung điểm của BC) BE = CE = AE. 2 SV ABC =AH.BE AH (3) (AH AE) AB .AC AC 2 AH 2 S AC Ta có V AB C = 2 = 2 = 2 (AH= ) 2 2. SV ABC = AH (4) Từ (3)và (4): SV AB C SV ABC Dấu “=” xảy ra khi AH = AE hay VABC vuông cân. Người thực hiện: Phạm Đăng Hải – THCS Trần Phú – quận Lê Chân 10