Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

1. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài nghiên cứu Môn Toán là một trong những môn khoa học cơ bản trong nhà trường phổ thông, bởi vì Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật cũng như ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày. Học tốt môn Toán sẽ giúp các em phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập. Là giáo viên dạy Toán, tôi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải và thấy được ứng dụng đối với từng loại toán là rất cần thiết. Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác như tính nhanh, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, rút gọn biểu thức, Qua việc giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt đối với học sinh trung bình và học sinh yếu, đối với học sinh khá giỏi thì bài toán phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em thích thú, say mê học tập. Vậy làm thế nào để các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này. Do đó, trong phạm vi đề tài này, tôi đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có kĩ năng thành thạo, có phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này, từ đó giúp các em biết vận dụng dạng toán này để giải các bài toán khác. Trong chương trình Đại số 8, sách giáo khoa đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: + Đặt nhân tử chung + Dùng hằng đẳng thức + Nhóm các hạng tử + Phối hợp nhiều phương pháp Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các phương pháp trên để giải được. Gặp các bài toán như vậy thì các em lại lúng túng không biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải bài toán. Do đó, cần thêm các phương pháp khác như: phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử, phương pháp đổi biến, phương pháp đồng nhất hệ số. Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập. Nhằm giúp các em học sinh thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng dạng toán. Đồng thời giúp các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ, say mê trong học tập, có hứng thú khi học bộ môn Toán nên tôi đã nghiên cứu đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”. 1/19
2. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 7. Kế hoạch nghiên cứu Thời gian nghiên cứu đề tài từ tháng 10 năm 2018 đến hết tháng 3 năm 2019. - Đầu tiên tôi nghiên cứu nội dung chương trình trong sách giáo khoa có nội dung liên quan phân tích đa thức thành nhân tử. Sau đó tôi đọc và nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo để hiểu rõ nội dung cần thể hiện vào bài giảng. - Hệ thống lại kiến thức lí thuyết theo từng tiết dạy, từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó đưa ra các dạng bài tập và các phương pháp giải giúp học sinh có khả năng tìm ra cách giải nhanh chóng và chính xác. - Rút ra những kết luận từ việc nghiên cứu đưa vào áp dụng thực tiễn. 3/19
3. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau: - Đối với giáo viên: Chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng các phương tiện dạy học mới vào giảng dạy. - Đối với phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm tra việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp. - Đối với học sinh: + Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học. + Đa số học sinh yếu về kĩ năng tính toán, quan sát, nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức cơ bản ở các lớp dưới cộng thêm việc không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến việc chây lười trong học tập. + Các em chưa có phương pháp học tập tốt, thường học vẹt, học máy móc, thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó. + Không có thói quen tự học ở nhà, không học bài, không lam bài trước khi đến lớp. Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn Toán, làm sao để học sinh có kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh yếu kém ở bộ môn. Để giải quyết các vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy tôi đã đưa ra các phương pháp cơ bản, phương pháp đặc biệt thông qua những bài tập cụ thể giúp các em hiểu rõ và vận dụng các phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh. 3. Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành tích của những đa thức, đơn thức khác; sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và phương pháp nâng cao để phân tích, từ đó vận dụng giải một số bài toán khác như: tính nhanh, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, rút gọn biểu thức, 3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường. Đây là các phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản. a. Phương pháp đặt nhân tử chung AB AC AD A B C D 5/19
4. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta có cách làm tương tự đối với ý b). b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. A2 2AB B2 A B 2 ; A2 2AB B2 A B 2 ; A2 B2 A B A B A3 3A2B 3AB2 B3 A B 3 A3 3A2B 3AB2 B3 A B 3 A3 B3 A B A2 AB B2 A3 B3 A B A2 AB B2 Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1 a) x2 6x 9 b) 1 27x3 c) x3 x3 Giải a) x2 6x 9 x 3 2 b) 1 27x3 1 3x 1 3x 9x2 3 1 1 2 1 c) x 3 x x 1 2 x x x Trong các ví dụ trên các hằng đẳng thức được sử dụng trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức, các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. Tuy nhiên trong các ví dụ sau đây, muốn áp dụng hằng đẳng thức thì các em phải có sự biến đổi thì mới làm xuất hiện hằng đẳng thức. Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x y 2 6 x y 9 b) 16a 2 49 b c 2 Giải a) x y 2 6 x y 9 x y 2 2. x y .3 33 x y 3 2 7/19
5. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” x y 2 x y (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: bc b c ca c a ab a b Phương pháp chung để làm loại toán này khai triển hai trong số ba hạng tử, còn giữ nguyên hạng tử còn lại để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung. Trong ý a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a b . Giải bc b c ca c a ab a b b2c bc2 c2a ca 2 ab a b (Khai triển hai hạng tử đầu) b2c ca 2 bc2 c2a ab a b (Nhóm các hạng tử) c b2 a 2 c2 b a ab a b (Đặt nhân tử chung) c b a b a c2 b a ab a b (Dùng hằng đẳng thức) b a cb ca c2 ab (Nhóm các hạng tử) 2 b a cb c ca ab (Nhóm các hạng tử) a b c b c a c b (Đặt nhân tử chung) a b b c c a (Đặt nhân tử chung) Chú ý: Ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung b c , hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung c a . Khi phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần lưu ý các bước sau: + Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể, từ đó làm đơn giản đa thức. + Xét xem đa thức có xuất hiện hằng đẳng thức không. + Nếu không có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử để là xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích ra được nữa). Trên đây là các ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường đã nêu trong sách giáo khoa. Tuy nhiên với những bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi không chỉ đơn thuần sử dụng các phương 9/19
6. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 5x2 3x 9 Giải x3 5x2 3x 9 x3 x2 6x2 6x 9x 9 x2 x 1 6x x 1 9 x 1 x 1 x2 6x 9 x 1 x 3 2 b. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x4 y4 Giải 4x4 y4 4x4 4x2y2 y4 4x2y2 2 2x2 y2 2xy 2 2x2 2xy y2 2x2 2xy y2 Trong ví dụ trên ta thêm và bớt cùng một hạng tử 4x2y2 để làm xuất hiện dạng khai triển của bình phương một tổng và ta tiếp tục phân tích bằng cách áp dụng hằng đẳng thức. Như vậy mục đích của việc thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x5 x4 1 b) x10 x5 1 Giải a) Thêm bớt x3 ta được: x5 x4 1 x5 x4 x3 x3 1 x5 x4 x3 x3 1 x3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x 1 b) Thêm bớt x2 x ta được: x10 x5 1 x10 x x5 x2 x2 x 1 3 x x3 1 x2 x3 1 x2 x 1 x x3 1 x6 x3 1 x2 x3 1 x2 x 1 2 6 3 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 1 x2 x 1 x8 x7 x5 x4 x3 x 1 11/19
7. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” x3 19x 30 Giải Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết, ta có thể phân tích đa thức trên thành hai đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài. Ta có: x3 19x 30 x3 8 19x 38 x3 8 19x 38 x 2 x2 2x 4 19 x 2 x 2 x2 2x 4 19 x 2 x2 2x 15 Ta thấy đa thức x2 2x 15còn có thể phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu phân tích đa thức x3 19x 30 thành tích của hai đa thức, một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc hai nên tích x 2 x2 2x 15 đã thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2: Theo đề bài x3 19x 30 x a x2 bx c x3 bx2 cx ax2 abx ac x3 b a x2 c ab x ac Hai đa thức trên đồng nhất với nhau nên ta có: a b 0 c ab 19 ac 30 Vì a,c ¢ và tích ac 30 nên a,c 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 Với a 2,c 15 thì b 2 thỏa mãn hệ thức trên. Do đó x3 19x 30 x 2 x2 2x 15 3.3. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 1: Tính hợp lí a) 75.20,9 52.20,9 b) 86.15 150.1,4 c) 93.32 14.16 d) 98,6.199 990.9,86 Giải a) 75.20,9 52.20,9 20,9. 75 52 20,9.100 2090 b) 86.15 150.1,4 86.15 15.14 15. 86 14 15.100 1500 c) 93.32 14.16 93.32 7.2.16 93.32 7.32 32. 93 7 32.100 3200 13/19
8. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Trong ví dụ trên ta thực hiện nhóm các hạng tử một cách thích hợp sau đó áp dụng các quy tắc tính nhanh. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức a) A a b 3 b 3 b tại a 2003 và b 1997 b) B x5 x 2y x3y x 2y x2y2 x 2y tại x 10 và y 5 Giải Theo cách làm thông thường, các em học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính toán rất vất vả mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị của biểu thức. a) A a b 3 b 3 b a b b 3 Thay a 2003 và b 1997 vào biểu thức A, ta được A 2003 1997 1997 3 6.2000 12000 b) B x5 x 2y x3y x 2y x2y2 x 2y x 2y x5 x3y x2y2 Với x 10 và y 5 thì x 2y 0 . Do đó B 0. Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức a) M 5x2 10xy 5y2 105z2 tại x 5;y 7 và z 12 b) N 16x2 y2 4x y tại x 1,3 và y 0,8 Giải a) M 5x2 10xy 5y2 105z2 5 x2 2xy y2 105z2 5 x y 2 105z2 Thay x 5;y 7 và z 12 vào biểu thức M, ta được M 5 5 7 2 105.122 5.122 105.122 100.122 14400 2 2 2 1 2 1 b) N 16x y 4x y 16x 4x y y 4 4 2 2 1 1 4x y 2 2 1 1 1 1 4x y 4x y 2 2 2 2 4x y 4x y 1 Thay x 1,3 và y 0,8 vào biểu thức N, ta được: N 4.1,3 0,8 4.1,3 0,8 1 6.5,4 32,4 15/19
9. “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” x 3 x 0 x 2 Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là cách biến đổi đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các em theo các bước sau: Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, vế phải bằng 0. Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng tích, chẳng hạn A.B 0, từ đó suy ra A 0 hoặc B 0 Bước 3: Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A 0 và B 0 rồi kết luận. Dạng 4: Chứng minh các bài toán số học Ví dụ 8: Chứng minh: a) 25n 1 25n chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n. b) n2 n 1 2n n 1 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Giải a) Ta có: 25n 1 25n 25.25n 25n 25n. 25 1 25n.24 Mà 24 4.6;25n 25.25n 1 25n 1 25n 100.6.25n 100 b) Ta có: n2 n 1 2n n 1 n n 1 n 2 Vì n 2;n 1;n là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng sẽ chia hết cho 6. Ví dụ 9: Chứng minh: a) 3n 1 2 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n b) 100 7n 3 2 chia hết cho 7 với n là số tự nhiên. Giải a) Ta có: 3n 1 2 4 3n 1 2 3n 1 2 3 n 1 3n 1 Vì 3 n 1 3n 1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, nên 3n 1 2 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. b) Ta có: 100 7n 3 2 7 7n 13 7n 7 1 n 13 7n chia hết cho 7 với n là số tự nhiên. PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận: Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng, được vận dụng nhiều trong các bài toán. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được nêu 17/19