Sáng kiến kinh nghiệm Một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong trường THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong trường THCS

1. Th viện SKKN của Quang Hiệu trường đại học sư phạm hà nội khoa toán – tin === === đề tài nghiệp vụ sư phạm một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong trường thcs Giảng viên hướng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn. Người thực hiện: Đỗ Văn Tâm Hải Dương năm 2006
2. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS mục lục Trang A. những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt 3 đối I: Các định nghĩa 3 II: Các tính chất 6 B. các dạng bài toán về giá trị tuyệt đối 9 trong chương trình THCS Chủ đề I: Giải phương trình, hệ phương trình chứa 9 dấu giá trị tuyệt đối I. Kiến thức cần lưu ý 9 II. Bài tập điển hình 10 Chủ đề II: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 14 I. Kiến thức cần lưu ý 14 II. Bài tập điển hình 14 Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt 17 đối I. Đồ thị hàm số y = f( x ) 17 II. Đồ thị y = f(x) 18 III. Đồ thị y = f (x) 19 IV. Đồ thị y = f x 20 V. Đồ thị y = f (x) 20 Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu 24 thức chứa dấu giá trị tuyệt đối I. Kiến thức cần lu ý 24 II. Bài tập điển hình 24 c. Đáp án 26 d. tài liệu tham khảo 30 e.kết luận 31 f. giáo án thực nghiệm 32 1
3. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS Phần I: Lời nói đầu Giá trị tuyệt đối là một khái niệm được phổ biến rộng rãi trong các n gành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chương trình Toán ở bậc THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số được gặp nhiều lần, xu yên suốt từ lớp 6 đến lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với kh ái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh nắ m được cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bước đầu hiể u ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa dần dần đưa vào c ác quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy không có trong chương trình giảng dạy song bài: " Giải phương trình có chứa d ấu giá trị tuyệt đối" được rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đ ầy đủ cho học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét c ác tính chất của căn thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có t hêm ứng dụng mới( đưa một thừa số ra ngoài căn, đưa một thừa số v ào trong căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, ) Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó được sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng như TH PT và Đại Học, Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau. Trước nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng như nâng ca o kiến thức cho người dạy cũng như người học về khái niệm " Giá trị tuyệt đối", chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS". Tôi mong rằng đề tài này của tôi sẽ giúp cho giáo viên cũng như họ c sinh trong quá trình giảng dạy và học tập của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TS Tống Trần Hoàn đã hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt đề tài này ! Vì hoàn thành trong một thời gian ngắn nên đề tài còn nhiều hạn chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. 2
4. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS A. nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối I. Các định nghĩa 1. 1. Định nghĩa 1 Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ f: R R+ a a với mỗi giá trị a R có một và chỉ một giá trị f(a) = a R+ 1.2. Định nghĩa 2 Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là: a nếu a 0 a = -a nếu a < 0 Ví dụ1: 15 15 32 32 0 0 1 1 17 17 *Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A( x), kí hiệu A(x) là: A(x) nếu A(x) 0 A(x) = -A(x) nếu A(x) < 0 Ví dụ 2: 1 2x - 1 nếu 2x- 1 0 2x - 1 nếu x 2 2x 1 = = -(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0 1 - 2x nếu x < 1 2 1.3. Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là số đo( theo đơn v ị dài được dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số ( hình 1). -a 0 a -a a Hình 1 3
5. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS Ví dụ 1: 3 a = 3 a 3 Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng v ới hai điểm trên trục số ( hình 2) -3 0 3 Hình 2 a b b b Tổng quát: a ; a b a b 0 b b Ví dụ 2: a 3 nếu a 0 0 a 3 a 3 -3 a 3 -a 3 nếu a < 0 -3 a < 0 Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn  3;3 và trên trục sôd thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm c ủa đoạn  3;3 ( hình 3) -3 0 3 Hình 3 Ví dụ 3: a 3 nếu a 0 a 3 nếu a 0 a 3 3 a hoặc a 3 -a 3 nếu a < 0 a -3 v nếu a < 0 Do bất đẳng thức đã đ- ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (- ; 3] và [3; + ) và trên trục số thì đ- ợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tương ứng với các khoảng số đó. (hì nh 4) -3 0 3 Hình 4 4
6. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS a b Tổng quát: a b a b bài tập tự luyện Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a = a b) a a d) a = -a e) a a f) a + a = 0 g) a b b Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng: a)  a Z a > 0 b)  a Q a > a c)  a, b Z, a = b a = b d)  a, b Q, a > b a > b Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng a) a = b a = b b) a > b a > b Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau, sau đó bi ểu diễn các số tìm được lên trục số: a) a 1 b) a 3 c) a - 6 = 5 d) 1 < a 3 Bài 5: a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho x < 50 b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y = 5 ( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau) c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y < 4 5
7. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối 2.1. Tính chất 1: a 0  a 2.2. Tính chất 2: a = 0 a = 0 2.3. Tính chất 3: - a a a 2.4 Tính chất 4: a = a Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối người ta rễ thấy được các tính chất 1, 2, 3, 4. 2.5. Tính chất 5: a b a b Thật vậy: - a a a ; - b a b -( a + b ) a + b a + b 2.6. Tính chất 6: a - b a b a b Thật vậy: a = a b b a b b a b a b (1) a b a ( b ) a b a b a b a b (2) Từ (1) và (2) đpcm. 2.7. Tính chất 7: a b a  b Thật vậy: a b a b (1) b a b a (b a) a b ( a b ) a b (2) a b a b (3) ( a b ) Từ (1), (2) và (3) a b a b (4) a b a b a ( b) a b a b a b (5) Từ (4) và (5) đpcm. 6
8. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS 2.8. Tính chất 8: a.b a.b Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0 a.b a.b (1) a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0 a.b a.b a.b a.b a.b (2) a 0 a.b a.b ( a)( b) a.b a.b a.b (3) a > 0 và b 0 và b > 0 a = a, b = b và 0 (2) b b b b a a a a a a 0 và b < 0 a = a, b = -b và 0 (4) b b b b b Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm. 7
9. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS bài tập tự luyện Bài 6: Điền vào chỗ trống các dấu , , = để khẳng đinh sau đúng  a, b a) a b a + b b) a b a - b với a b c) a.b a.b a a d) b b Bài 7: Tìm các số a, b thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a + b = a + b b) a + b = a - b Bài 8: Cho a c 3 , b c 2 Chứng minh rằng a b 5 Bài 9: Rút gọn biểu thức: a) a +a b) a - a c) a .a d) a : a e) 3(x 1) 2 x 3 f) 2 x 3 (4x 1) 8
10. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS B. các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chương trình THCS chủ đề i: giải phương trình và hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I. các kiến thức cần lưu ý 1.1 A(x) nếu A(x) 0 A(x) = ( A(x) là biểu thức đại số) -A(x) nếu A(x) x0 + Nhị thức trái dấu với a  x 0  x - Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 x2 nếu x1 0 Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức âm). Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dương hay âm( dựa vào 9
11. Giá trị tuyệt đối trong trường THCS định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai). Dấu của biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu. II. các bài tập điển hình 2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) - x 3 Thật vậy: + Với ( x - 3) 0 hay x 3 thì x 3 = x - 3 + Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì x 3 = -(x - 3) = 3 - x ta xét hai trường hợp ứng với hai khoảng của biến x + Nếu x 3 thì A = 2(3x - 1) - x 3 = 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - 2 - x + 3 = 5x + 1 + Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) - x 3 = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - 2 - 3 + x = 7x - 5 2.2 Rút gọn biểu thức B = x 1 - x 5 Thật vậy Với x-1 0 hay x 1thì x 1 =x-1 Với x-1<0 hay x<1thì x 1 = -(x-1)=1-x Với x-5 0 hay x 5 thì x 5 = x+5 Với x-5<0 hay x<5 thì x 5 =-(x-5) =5-x áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu sau: X 1 5 x-1 - 0 + + x-5 - - 0 + Từ bảng xét dấu ta xét ba trường hợp ứng với ba khoảng của biến x Nếu x<1 thì B = x 1 - x 5 =1-x-( 5-x) =1-x-5+x = - 4 Nếu 1 x<5 thì B = x 1 - x 5 =(x-1)-(5-x) =x-1-5+x =2x-6 Nếu x 5 thì B = x 1 - x 5 10