Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm của học sinh trong hoạt động dạy học môn toán nhìn từ phương diện hoạt động

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm của học sinh trong hoạt động dạy học môn toán nhìn từ phương diện hoạt động

1. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN NHÌN TỪ PHƯƠNG DIỆN HOẠT ĐỘNG A. MỞ ĐẦU I. BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt ở trường phổ thông. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là do giáo viên chưa chú ý một cách đúng mực việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học. Vì điều này nên học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. Đề tài ra đời trong bối cảnh việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và tư duy, lí luận về bản chất của các sai lầm chưa được quan tâm đúng mức. Hiện nay, để bắt nhịp đổi mới theo hình thức thi trắc nghiệm của Bộ Giáo dục và Đào tạo, việc phát hiện các sai lầm trong giải toán của học chưa xuất hiện rất cần thiết, tạo các tình huống bẫy cho các phương án nhiễu trong xây dựng các đáp án câu trắc nghiệm khách quan. II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tôi chọn đề tài “Một số sai lầm của học sinh trong hoạt động dạy học môn toán nhìn từ phương diện hoạt động” vì những lý do sau đây: +) Đây là nội dung đòi hỏi tư duy logic cao, kết hợp với hoạt động nhận thức và rất quan trọng trong chương trình toán THPT. +) Các dạng toán trong chương trình THPT rất đa dạng, nhiều cấp độ nên không tránh khỏi học sinh gặp sai lầm khi tiếp cận giải toán. +) Đây là tài liệu chuyên sâu về phát triển nhận thức của học sinh trong dạy học môn toán dựa trên việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình nhận thức, học tập. +) Nội dung của đề tài nâng cao nhận thức lí luận và rèn luyện kĩ năng thực hành, tích lũy kinh nghiệm dạy học và nghiên cứu khoa học giáo dục để nâng cao hiệu quả dạy học. III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1. Phạm vi nghiên cứu Đề tài này nghiên cứu những sai lầm thường gặp khi giải toán của học sinh thuộc chương trình Trung học phổ thông. 2. Đối tượng nghiên cứu Hệ thống các bài toán trong chương trình Toán THPT mà học sinh hay gặp sai lầm khi giải. 1
2. - Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng - Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt - Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy - Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan - Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí - Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán - Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức - Những sai lầm liên quan đến suy luận Trong mục này để ám chỉ những lời giải có mắc phải sai lầm, tôi dùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm của học sinh. 1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng Phân chia khái niệm là một thao tác logic ta thường gặp. Còn trong giải toán thì thường xuyên ta phải xét trường hợp này, xét trường hợp kia, hay ta có thể gọi chung là phân chia trường hợp. Trong dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình, hoạt động phân chia trường riêng thường gặp ở các bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số; giải các PT, BPT có chứa ẩn dưới mẫu thức, có chứa ẩn trong dấu căn thức, giải các phương trình, bất phương trình tích, Trong dạng toán giải và biện luận, khái niệm được phân chia là tham số, trong dạng toán sau, khái niệm được phân chia là tập xác định. Trong chủ đề Tổ hợp và Xác suất, hoạt động phân chia trường hợp riêng thường gặp ở bài toán đếm, Trong dạy học hình học, hoạt động phân chia trường hợp thường gặp ở các bài toán dựng hình, quỹ tích, xác định chân đường vuông góc, Nhìn nhận từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện học sinh gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp. Chẳng hạn, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp. 1. 1. Không biết chia thành những trường hợp nào, nói cách khác không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia Đây có thể là khó khăn lớn nhất của học sinh trong quá trình giải toán liên quan đến sự phân chia. Về phương diện này giáo viên thì lắm lúc trình bày cho học sinh mang tính chất áp đặt, có vẻ hình như giáo viên chỉ quan tâm đến tính đúng đắn của từng khâu biến đổi chứ không quan tâm dến việc làm như thế nào đó để học sinh hiểu rõ tại sao lại chia các trường hợp cụ thể như vậy. Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình x ― m(x2 ― 5x + 6) = 0 Rất nhiều học sinh đã giải như sau: 3
3. Ví dụ 1: Tìm m sao cho phương trình: x2 2(m 1)x m 0 chỉ có một nghiệm dương. Nhiều học sinh đã giải như sau: Phương trình chỉ 1 có nghiệm dương ⟺ Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thõa mãn: TH1: x1 0 ⟺ > 0⟺m = 0 2 1 Vậy: ≤ 0 (!) Hoặc có học sinh giải: Phương trình chỉ có 1 nghiệm dương ⟺ phương trình có ∆ = 0 nghiệm kép dương ⟺ S > 0 (!) 2 (!): Theo 2 tình huống trên học sinh đều phân chia thiếu trường hợp dẫn đến sai kết quả. Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt sao cho: a) Không có mặt chữ số 0 và chữ số 1. b) Có mặt chữ số 0 và chữ số 1. Rất nhiều HS đã xem nếu đã có kết quả của câu a) thì câu b) dễ dàng suy ra được. Nguyên nhân của suy nghĩ chủ quan đó là do HS đã lý luận như sau: Tập hợp các số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt chia làm 2 loại: Loại 1 là tập hợp các số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt không có mặt 0 và 1; loại 2 là tập hợp hợp các số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt có mặt chữ số 0 và 1. 5 6 Từ đó dẫn đến kết quả của câu b) là: 9A9 A8 . Ở cách giải này, HS dựa vào tiêu chí có mặt hay không có mặt chữ số 0 và chữ số 1 trong mỗi số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt để phân chia trường hợp. Tuy nhiên, cách phân chia của học sinh chưa đầy đủ còn thiếu loại có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 và loại có mặt chữ số 1 nhưng không có mặt chữ số 0. 1. 3. Phân chia không độc lập (thừa trường hợp) Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 2? Có học sinh thực hiện lời giải bài toán này như sau: Số cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} là 5 A7 5 Số cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau không có chữ số 2 là A6 5 5 Suy ra, có tất cả A7 - A6 cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt chữ số 2. (!): Sai lầm ở đây là học sinh không loại trừ trường hợp số tự nhiên có 5 chữ số lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có dạng 0bcde. Đây là dạng số tự nhiên không thõa mãn yêu cầu bài toán. Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết quả. 5
4. Học sinh giải vắn tắt: (?): Số cách chọn 5 học sinh trong nhóm sao cho có ít nhất một học sinh nữ là: 1 4 3 2 2 3 5 C12.C8 + C12.C8 + C12.C8 + C12 (!): Học sinh gặp sai lầm do phân chia các trường hợp không liên tục dẫn đến thiếu 4 1 trường hợp “4 học sinh nữ và 1 học sinh nam ứng với số cách chọn là: C12.C8” 2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 2. 1. Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa Trong dạy học Toán, nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo giải bài tập, giáo viên nhấn mạnh vào những quy tắc có tính chất thuật giải và hướng dẫn học sinh vận dụng đúng đắn các quy tắc đó. Mặt khác, để chống lại việc lĩnh hội kiến thức một cách hình thức và máy móc, giáo viên cần yêu cầu học sinh hiểu được bản chất, cơ sở của các quy tắc, thuật giải đó. Do đó, trong dạy học, giáo viên cần tập luyện cho học sinh xem xét bài toán từ cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp, đặc biệt là về mặt ngữ nghĩa. Việc xem xét bài toán từ cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp chính là rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích, tổng hợp và so sánh. Về sự phối hợp giữa hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp trong giảng dạy ngôn ngữ Toán học, A. A. Stôliar cho rằng: "Mặt ngữ nghĩa nói chung phải trội hơn trong tất cả các giai đoạn của quá trình giảng dạy, mặt cú pháp nên áp dụng chỉ ở chỗ mà ở đó cần phải nắm vững các angôrit xác định". Chẳng hạn, không ít học sinh đã cho rằng: 2 = ; 2 2 2 m n m.n ( a + b) = ( a) + ( b) = a + b; logc(a.b) = logca.logcb; a. a = a; 1 2 (-x)n = - xn (không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ), ―1 ; 4 1 cos x ; f (x) = f(x) cos x = 2 Có những bài toán học sinh chỉ giải được theo một quy tắc hình thức mà không biết được bản chất của nó là gì. k Ví dụ 1: chứng minh rằng Cn là một số tự nhiên. Không ít em đã áp dụng công thức n! k hình thức Cn = (n k)!k! và lúng túng trong việc chứng minh tử số chia hết cho mẫu số. k Điều đó có nghĩa là các em không nắm được bản chất của ký hiệu Cn chính là số tập con gồm k phần tử lấy trong n phần tử. k (!): Phải thật sự hiểu được bản chất của ký hiệu Cn mới có thể có được lời giải hay như vậy. Có những hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa hẳn họ đã nắm được kiến thức một cách thực thụ. Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hình thức nhưng không hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học. Ví dụ 2: Học sinh học rất “vần” một số công thức “lim của một tổng bằng tổng các lim”, “lim của một tích bằng tích các lim” hay “đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm”, nhưng không hiểu bản chất của các công thức đó. 7
5. (!): Học sinh đã không xét đến tính chất của hàm số y = sin2x là có tập giá trị [0; 1] 2a2 ― a = 2a ― 1 (!): Yêu cầu bài toán ⟺ 0 ≤ 2a ― 1 ≤ 1 . x2 + y = 5x ― 3 (1) Ví dụ 3: Với bài toán, giải hệ phương trình y2 + x = 5y ― 3 (2) , nhiều HS đã giải như sau: Trừ theo vế của phương trình (1) và (2) ta được: x2 ― y2 = 6(x ― y)⟺(x ― y)(x + y ― 6) = 0 x ― y = 0 ⟺ x + y ― 6 = 0 2 x = 1 Trường hợp 1: x ― y = 0⟺x = y thế vào (1) ta có x ―4 + 3 = 0⟺ x = 3. Trường hợp 2: x + y ― 6 = 0⟺y = ―x + 6 thế vào (1) ta có x2 ―x + 6 = 5x ― 3⟺x2 ― 6x +9 = 0⟺x = 3. Trong ví dụ này, đa số học sinh đã biết phân chia thành hai trường hợp để giải nhưng lại không thực hiện thao tác tổng hợp để kết luận về nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ 4: Phân tích ứng dụng tính đơn điệu của hàm số dẫn đến kết quả: "Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên (a; b) thì từ f(x) = f(y);x,y ∈ (a;b), sẽ tương đương với x = y". Tuy nhiên, do GV phân tích không sâu sắc nên dẫn tới tình trạng là HS chỉ nhớ được nội dung: "Nếu hàm số f(x) đơn điệu thì f(x) = f(y)⟺x = y ", mà không chỉ rõ f là hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b) và x,y ∈ (a;b). Kết quả đó dẫn tới các sai lầm trong giải toán. 1 1 5 Chẳng hạn, với phương trình x 3 , nhiều HS giải như sau: Xét hàm số 6 x 6 1 1 1 1 f x x 3 , hàm số này đạo hàm f ' x x 2 0 nên phương trình f x 0 6 x 2 x 2 1 1 5 có không quá một nghiệm. Nhận thấy f 1 0 nên phương trình x 3 có 6 x 6 nghiệm duy nhất là x 1. Rõ ràng rằng HS đã không quan tâm đến điều kiện là hàm số 1 1 f x phải đơn điệu trên khoảng a;b . Ở đây, hàm số f x x 3 đơn điệu trên từng 6 x khoảng xác định ;0 và 0; , suy ra trên mỗi khoảng phương trình có không quá một nghiệm. Xét riêng trên 0; , phương trình có nghiệm duy nhất x 1, và tương tự trên ;0 , phương trình có thêm nghiệm x 2 . Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 ―2(m + 1)x ― 1 tiếp xúc với trục hoành. Có học sinh giải như sau: (?): Đồ thị hàm số y = x3 ―2(m + 1)x ― 1 tiếp xúc với trục hoành ⟺ phương trình x3 ―2(m + 1)x ― 1 = 0 có nghiệm duy nhất. Đây là cách giải sai. Dễ thấy rằng đồ thị hàm bậc ba y = f(x) tiếp xúc với trục hoành nhưng không nhất thiết y = 0 có 1 nghiệm vì ngoài điểm tiếp xúc ra còn tồn tại 9
6. sau những hình ảnh trực quan đó. Tuy nhiên, trong toán học không chấp nhận việc chứng minh mà trong đó không có những lập luận có căn cứ một cách rõ ràng. Vì vậy trực quan chỉ là chỗ dựa để khám phá chứ không phải là phép chứng minh. Nếu không nhận thức được điều đó thì nhiều khi ta sẽ đưa ra những kết luận sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan. Ví dụ 1: Cho (P): y = x2 ―4x + 4 và đường thẳng d:y = x + m. Xác định m để (P) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 3. (?): Hoành độ giao điểm (P) và d là nghiệm của phương trình: x2 ―4x + 4 = x + m⟺x2 ―5x + 4 = m (1). 2 Đặt 1= x ―5x + 4 và gọi đồ thị của nó là (P1), 2 = m và gọi đồ thị của nó là đường thẳng ∆m. Khi đó, (P) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 3 ứng với ( P1) cắt đường thẳng ∆m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 3. (!): Thông qua hình ảnh trực quan học sinh cảm nhận rằng hai điểm A và B là những điểm cần tìm, ứng với m = 0. y (P1) O 1 4 x A B m m 9 - 4 Hình 1 (!) Học đã gặp phải sai lầm khi cho rằng (P) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 3 tương đương với (P1) cắt đường thẳng ∆m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 3, do trực quan học sinh nhầm tưởng hai giao điểm của của (P) với đường thẳng d và hai giao điểm của (P1) với đường thẳng ∆m là có cùng tọa độ giao điểm, nhưng thực ra chỉ có cùng hoành độ nhưng không tung độ. Dẫn đến đáp án sai. Lời giải đúng là: Hoành độ giao điểm (P) và d là nghiệm của phương trình x2 ―4x + 4 = x + m⟺x2 ―5x + 4 = m (1). 9 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . x1, x2 m > ― 4 Gọi A(x1; x1 + m), B((x2; x2 + m). Khi đó: 2 2 AB = 3 ⟺2(x2 ― x1) = 9⟺2[(x2 + x1) ―4x1x2] = 9 (*) 11
7. hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới. Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự “mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về các khái niệm. Ví dụ 1: Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình nên khi giải phương trình x 2 x 2 4 2 x 2 học sinh không thừa nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn. Ví dụ 2: Nắm khái niệm hàm số, khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lượng fx, xem 0 ; 0. 0; 1 1. Chẳng hạn, lim ― 2 + 2 = lim ― lim 2 + 2 +∞ +∞ +∞ = ( ) ( ) 0 Ví dụ 3: Do không nắm vững khái niệm phương trình nên học sinh không cho rằng ( 2 + 1) 2 +2 ― 3 = 0 là phương trình theo ẩn m. Học sinh quen với các phương trình theo ẩn x, ẩn y, ẩn z, nên khi gặp phương trình chứa đồng thời hai giá trị x và m thì học sinh mặc nhiên cho rằng x ẩn và m là tham số. Hay do không hiểu khái niệm nghiệm hệ phương trình nên khi giải hệ cho nghiệm x = 2; y = 3 thì kết luận hệ phương trình có hai nghiệm. Ví dụ 4: Do nắm khái niệm tiếp xúc một cách trực quan từ hình vẽ nên dẫn tới sai lầm khi giải bài toán “tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục hoành”. Học sinh quan niệm tiếp xúc là đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, hơn nữa không hình dung được khái niệm tiếp xúc của hai đường nên cho rằng tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba không tiếp xúc với hàm bậc ba. Ví dụ 5: Không nắm vững “hệ trục trục tọa độ Đề các vuông góc” nên nhiều khi học sinh lấy đơn vị đo trên hai trục tọa độ khác nhau cho dễ vẽ đồ thị của một hàm số nào đó. Ví dụ 6: Học sinh không nắm vững giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của nên khi tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, không tìm điều kiện xẩy ra dấu “=” của biến số, giả sử không tồn tại dấu “=” học sinh vẫn cứ kết luận tồn tại giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. Chẳng hạn như: 1 (?): Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a ≥ 3 S = a + a 1 Học sinh giải như sau: S = a + ≥ 2 a. 1 = 2 ⟹minS = 2 a a 1 (!): . Mâu thuẫn với giả thiết MinS = 2⟺a = a⟺ = 1( = ―1 푙표ạ푖) a ≥ 3 Đối với bài toán này, do ràng buộc điều kiện a ≥ 3 nên ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy thông thường đối với hai số dương được. Bằng cách đoán a = 3 thì S 13