Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán cực trị

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán cực trị

1. Một số phương pháp giải toán cực trị Mở đầu I - Cơ Sở thưc tiễn Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượt trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó mà không ai vượt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh vực lại có những đại lượng "lớn nhất" hay "hỏ nhất" người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm Nội dung các bài toán cực trị rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh. Với những lí do như vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số phương pháp giải toán cực trị”. Với mong muốn được trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả. II - Nhiệm vụ của sáng kiến: 1/ Đối tượng và phương pháp nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9) - Phương pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh. + Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện. + Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề. 1
2. Một số phương pháp giải toán cực trị + Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp 2/ Nhiệm vụ của sáng kiến: - Đưa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra được sai lầm thường mắc phải. - Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải. - Lựa chọn phương pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị. III - Nội dung sáng kiến: Chương I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Những sai lầm thường mắc phải khi giải toán cực trị. Chương II: Một số phương pháp tìm cực trị 1/ Phương pháp tam thức bậc hai 2/ Phương pháp miền giá trị 3/ Phương pháp bất đẳng thức. 2
3. Một số phương pháp giải toán cực trị Chương I: Kiến thức cơ bản I - Định nghĩa: 1/ Định nghĩa 1: Cho biểu thức f (x, y, ) xác định trên miền D , ta nói M là giá trị lớn nhất của f (x, y, ) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn: i) Với x, y thuộc D thì f (x, y, ) M với M là hằng số. ii) Tồn tại x0 , y0 thuộc D sao cho f (x, y, ) M 2/ Định nghĩa 2: Cho biểu thức f (x, y, ) xác định trên miền D , ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f (x, y, ) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn: i) Với mọi x, y thuộc D thì f (x, y, ) m với m là hằng số. ii) Tồn tại x0 , y0 thuộc D sao cho f (x, y, ) m . Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau: + Chứng tỏ f (x, y, ) M hoặc f (x, y, ) m ) với mọi x, y, thuộc D + Chỉ ra sự tồn tại x0 , y0 thuộc D để f (x, y, ) đạt cực trị. Chú y đến miền giá trị của biến. Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của A II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1/ Tính chất 1: Giả sử A  B khi đó ta có: a/ Max f (x) max f (x) x A x B b/ Min f (x) min f (x) x A x B 3
4. Một số phương pháp giải toán cực trị 2/ Tính chất 2: Nếu f (x, y) 0 với mọi x thuộc D , ta có: a/ Max f (x) max f 2 (x) Min f (x) min f 2 (x) x D x D x D x D 3/ Tính chất 3: a / Max f (x) g(x)) Max f (x) Max f (x) (1) x D x D1 x D2 b / Min f (x) g(x)) Min f (x) Min f (x) (2) x D x D1 x D2 Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó f (x) và g(x) cùng đạt giá trị lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại x0 thuộc D mà tại đó f , g cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì (2) có dấu bằng. 4/ Tính chất 4: Max f (x) min( f (x)) x D x D1 5/ Tính chất 5: Nếu đặt M Max f (x) , m min f (x) thì Max f (x) Max M , m. x D x D x D x D 6/ Tính chất 6: Giả sử D1 x D; f (x) 0 và D2 x D; f (x) 0thì Min f (x) Min max f (x);min f (x) x D x D1 x D2 Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập. Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số f (x) nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó. 4
5. Một số phương pháp giải toán cực trị III - Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị: 1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 A 4x 2 4x 5 Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta có: 4x 2 4x 5 (2x 1) 2 4 4,x 3 3 ,x 4x 2 4x 5 4 3 1 Max A x 4 2 Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “ A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương. Ta đưa ra một ví dụ: 1 Xét biểu thức B x 2 4 Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu 1 nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng 4 khi x 0, ta sẽ đi đến: max B không 4 1 1 phải là giá trị lớn nhất của B , chẳng hạn với x 3 thì . 5 4 Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên. Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x 2 4x 5 (2x 1) 2 4 4 nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A 0 , do đó A lớn 1 nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất 4x 2 4x 5 nhỏ nhất. A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x 2 y 2 biết x y 4 Lời giải sai: Ta có: A x 2 y 2 2xy Do đó A nhỏ nhất x 2 y 2 2xy x y 2 Khi đó MinA 22 22 8 5
6. Một số phương pháp giải toán cực trị Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được f (x, y) g(x, y) , chứ chưa chứng minh được f (x, y) m với m là hằng số. Ta đưa ra một vị dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng x 2 4x 4 sẽ suy ra: x 2 nhỏ nhất x 2 4x 4 (x 2) 2 0 x 2. Dẫn đến: Minx 2 4 x 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x 2 0 x 0 Cách giải đúng: Ta có: (x y)2 42 x 2 2xy y 2 16 (1) Ta lại có: (x y) 2 0 x 2 2xy y 2 0 (2) Từ (1) , (2) : 2(x 2 y) 2 16 x 2 y 2 8 Vậy MinA 8 x y 2 2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x Lời giải sai: 2 1 1 1 1 A x x x x x 4 4 2 4 1 Vậy MinA 4 1 Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f (x) , chưa chỉ ra trường hợp 4 1 1 xẩy ra dấu đẳng thức f (x) . Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x , 4 2 vô lý. Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có x 0 Do đó A x x 0 Min A 0 x 0 VD2: Tìm giá trị lớn nhất của: A xyz(x y)(y x)(z x) Với x, y, z 0 và x y z 1 6
7. Một số phương pháp giải toán cực trị Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a b) 2 4(x y)z (x y z) 2 1 4(x z)x (y z x) 2 1 4(x x)y (z x y) 2 1 Nhân từng vế (do hai vế đều không âm) 64xyz(x y)(y x)z x) 1 1 MaxA 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra 1 dấu đẳng thức. Điều kiện để A là: 64 x y z y z x x y z 0 z x y x y z 1 x y z 1 x, y , z 0 mâu thuẩn x, y , z 0 Cách giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 x y z 3.3 xyz (1) 2 (x y) (y z) (z x) 3.3 (x y)(y z)(z x) (2) Nhân từng vế (1) với (2) do 2 vế đều không âm) 3 2 2 9.3 A A 9 3 2 1 MaxA x y z 9 3 7
8. Một số phương pháp giải toán cực trị Chương II: một số phương pháp tìm cực trị 1/ Phương pháp tam thức bậc hai I - Nội dung: Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do. II - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 8x 1 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2x 2 4x 1 3/ Tìm giá trị nếu có của C 3x 2 4x 1 4/ Cho tam thức bậc hai P ax 2 bx c Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a 0 Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a 0 HD giải: Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai. 1/ A x 2 8x 1 (x 4) 2 15 15 min A 15 x 4 2/ B 2x 2 4x 1 2(x 1) 2 1 1 min B 1 x 1 2 2 7 7 3/ C 3x 2 4x 1 3 x 3 3 3 7 2 maxC x 3 3 2 b c b b 2 4ac 4/ P ax 2 bx c a x 2 x a x a a 2a 4c 8
9. Một số phương pháp giải toán cực trị b 2 4ac b + Nếu a 0 : min P x 4a 2a b 2 4ac b + Nếu a 0 : max P x 4a 2a Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao: VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A (x 2 x 1)2 HD: MinA Min(x 2 x 1) Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: B  f (x)2k (k N) VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C x(x 3)(x 4)(x 7) HD: Dùng phương pháp đổi biến. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai. 3 VD: Tìm giá trị lớn nhất của M 4x 2 4x 5 Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phương nhị thức: x 2 x 1 VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của P (x 1) 2 1 1 HD: P 1 x 1 (x 1) 2 2 1 1 3 3 Đặt y , có P y 2 y 1 y x 1 2 4 4 3 1 MinP y x 1 4 2 9