Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn

1. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. I.Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lỳng tỳng khụng rừ phương phỏp giải. Qua quỏ trỡnh giảng giải tụi xin đưa ra một số phương phỏp giải “phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trỡnh này cũn giỳp học sinh cú kỹ năng tỡm giỏ trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phõn tớch đa thức thành nhõn tử, đồng thời cũng biết được cỏch giải một số phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai hai ẩn. II.NỘI DUNG 22 A. Xột phương trỡnh a1x+a2xy+a3x+a4y+a56ya+=0.Trong đú a1 ạ0 hoặc a2 ạ0, a5 ạ0 B. Cỏc phương phỏp giải. a.Phương phỏp thứ nhất Viết vế trỏi thành tổng cỏc bỡnh phương ỡA=0 222 ù Dạng 1. A+BC+=0Û=ớB0 ù ợC=0 Vớ dụ; giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: 5x22+2y+4xy+9yx-+=8140(1) Lưu ý: Để viết vế traớ thành tổng cỏc bỡnh phương nhất là bỡnh phương của một tam thức cần cú cỏch tỏch hợp lý. Ta biết hang tử cú bỡnh phương thỡ hệ sổ là số chớnh phương, do đú 54x2=+xx22 2y2=+yy22 Phương trỡnh (1) Û4x2+x2+yy22++4xy-4x-4xy+9+=140 Ta coi bỡnh phương của một tam thức (a+b+c)22=((a++bc)) là bỡnh phương của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. Vậy (1) Û4x2+x2+yy22++4xy-4x-4xy+9+=140 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 1 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
2. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. Û ((2x)2+2.2x(y-1)+(y-1)2)+(xy-2)22+(-=3)0 (2x+y-1)222+(xy-2)+()-=30 Û(2x+y-1)2+(yx+3)22+(-=2)0 ỡ2xy+-=10 ù Ûớy+=30 ù ợx-=20 ỡx=2 Ûớ ợy=-3 Bài tập: giải cỏc phương trỡnh nghiệm nguyờn: 1, 2x22+5y+14-4xy-8yx-=40 2, 5x22+2y+14+4xy-4yx+=80 3,5x22+10y+3-12xy+8yx-=20 4, 10x22+5y+38-12xy+16yx-=360 5, 10x22+4y+34-12xy+20yx-=360 Giải: 1, 2x22+5y+14-4xy-8yx-=40 Ûx2+x2+4y22+y-4xy-8yx-4+=140 Û(x-2y+1)2+(xy-3)22+()-=20 ỡxy-2+=10 ù Ûớx-=30 ù ợy-=20 ỡx = 3 Û ớ ợy = 2 2, 5x22+2y+14+4xy-4yx+=80 Û4x2+xy2+22+y+4xy+8xy-4+=140 Û(2x+y+1)2+(xy+2)22+()-=30 ỡ2xy++=10 ù Ûớx+=20 ù ợy-=30 ỡx =-2 Û ớ ợy = 3 3,5x22+10y+3-12xy+8yx-=20 Û4x2+x2+9y22+y-12xy-2xy+8+=30 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 2 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
3. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. Û(2x-3y-1)2+(xy+1)22+()+=10 ỡ2xy-3-=10 ù Ûớx+=10 ù ợy+=10 ỡx=-1 Ûớ ợy=-1 4, 10x22+5y+38-12xy+16yx-=360 Ûx2+9x2+4y22+y+38-12xy+16yx-=360 Û((3x)22-2.3.x(2y+5)+()2y+5)+(x22-6x+9)+()yy-4+=40 Û(3x-2y-5)2+(xy-3)22+()-=20 ỡ3xy-2-=50 ù Ûớx-=30 ù ợy-=20 ỡx=3 Ûớ ợy=2 5, 9x2+x22+4y+34-12xy+20yx-=360 Û(3x+2yx-5)22+()-=30 ỡ3xy+2-=50 Ûớ ợx-=30 ỡx=3 Ûớ ợy=-2 ỡAm=± ù Dạng 2. A2+B2+C2+ =m2+np22++ ÛớBn=± ù ợCp=± và cỏc hoỏn vị của chỳng. Vớ dụ: Giải phương trỡnh: x22-xy-60+= Û4x22-4xy-24+=40 Û(2xy-1)2+(2)2=25=32+42=+0522 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 3 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
4. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. ùỡ 2x -=13 ớ ỡx =-2;1 Do 2x-1 lẻ nờn ù 24y = Û ớ ợ ợy =±2 ùỡ2x-=15 ỡx=-3;2 Û Hoặc ớớ ợù20y=ợy=0 Phương trỡnh đó cho cú nghiệm: (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh nghiệm nguyờn dương: 1, x22=100+-6xyy13 2, x22-4xyy+=5169 Giải: 1, x22=100+-6xyy13 Ûx2-6xy+94yy22+=100 Ûxy-322+2=100=62+82=+02210 ùỡ x -=36 Û ớ ỡx = 9 ù 28y = Û ớ ợ ợy = 4 ùỡ x -=38 ớ ỡx =11 Hoặc ù 26y = Û ớ ợ ợy = 3 ùỡ x -=310 ớ ỡx = 13 Hoặc ù 20y = Û ớ ợ ợy = 0 ùỡ x -=30 ớ ỡx = 3 Hoặc ù 2y =10 Û ớ ợ ợy = 5 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm: ( xy,) ={(9;4)(11;3)(3;5) } 2, x22-4xyy+=5169 Ûx2-4xy+4yy22+=169 Ûx-2yy2+2=169=122+52=+02213 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 4 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
5. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. ỡù xy-=212 Û ớ ỡx = 22 ù y= 5 Û ớ ợ ợy = 5 ùỡxy-=25 ớ ỡx =19 hoặc ù y=12 Û ớ ợ ợy = 12 ùỡxy-=20 ớ ỡx = 26 hoặc ù y=13 Û ớ ợ ợy =13 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm: ( xy,) ={(22;5)(19;12)(26;13) } b.Phương phỏp thứ hai: Phõn tớch vế trỏi thành nhõn tử ộA = 0 ờ Dạng 1. A.B.C =0 Û=ờB 0 ởờC = 0 Dạng 2. A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là cỏc số nguyờn) ộAm= ờ Û=ờBn ởờCp= và cỏc hoỏn vị của chỳng. Vớ dụ: Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn dương: 3x22+10xyy+=896 Û+3x226xy+4xyy+=896 Û(x+2y)(3xy+4)=96=16.6==12.824.4 Do x,y là cỏc số nguyờn dương nờn (3x+4y)>(xy+³2)3 ỡỡ2x+4yx==164 ịÛớớ ợợx+2yy==61 ỡỡ2x+4yx=124=- Hoặc ớớÛ (loại) ợợx+2yy==86 ỡỡ2x+4yx==2416 Hoặc ớớÛ (loại) ợợx+2yy=46=- Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm: ( xy,) =(4;1) Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh nghiệm nguyờn: 1, y22=xx++6 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 5 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
6. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. 2, x2 -256=+yy( ) 3, x22-6xyy+=5121 4,5( x+y) =-32xy 5, x2 -x-xyy+3-=60 Giải: 1, y22=xx++6 Û4y22=4xx++424 Û(2y)22-(4xx+4+=1)23 Û(2yx)22-(2+=1)23 Û(2y-2x-1)(2yx+2+1) =23=1.23=(-1).(-23)=23.1=( 23).(1) ỡù(2yx+21+=) 23 *ớ ỡy = 6 ù()2yx-2-=11Û ớ ợ ợx = 5 ỡù(2yx+2+=11) ỡy = 6 *ớ Û ớ ợù()2yx-2-=123 ợx =-6 ỡù(2yx+2+1) =-23 *ớ ỡy =-6 ù()2yx-2-11=- Û ớ ợ ợx =-6 ỡù(2yx+2+11) =- *ớ ỡy =-6 ù()2yx-2-1=-23 Û ớ ợ ợx = 5 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn:( xy,) ={(5;6),(-6;6),(-6; 6),(5;6)} 2, x2 -256=+yy( ) Ûx22-( yy+6+=9) 16 Ûx22-( yy+6+=9) 16 Û(xy)22-()+=316 Û( x-y-3)( xy++=3) 16 Do ( x-y-33) Ê( xy++) Và ( x-y-3);3( xy++) cựng tớnh chẵn lẻ nờn ( x-y-3)( xy++3) =2.8=4.4=(-8)(-2) =( 44)( ) ỡỡx-yx-3==25 *Ûớớ ợợx+yy+3==80 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 6 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
7. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. ỡỡx-yx-3==44 *Ûớớ ợợx+yy+3=43=- ỡỡx-yx-3=-85=- *Ûớớ ợợx+yy+3=-=20 ỡỡx-yx-3=-44=- *Ûớớ ợợx+yy+3=-43=- Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn: ( xy,) ={(5;0)(-5;0)(4;-3)( 4;3)} 3, x22-6xyy+=5121 Ûx2-6xy+9yy22-=4121 Û(x-3yy)22-=()2121 Û( x-3y+2y)( x-3yy-=2) 121 Do ( x-3y+2y) ³( x 32yy) Và ( x-3y+2y);( x 32yy) cựng tớnh chẵn lẻ nờn ỡx-3yy+=2121 ù( ) ùùỡxy-=361 ỡxy-=361 *ớÛÛớớ ùùx-3yy-=21 2y=60 ợùy=±30 ợ()ợ Nếu y = 30 Thỡ xx-90=61ị=151;29 Nếu y =-30 Thỡ xx+90=61ị= 151;29 ỡx-3yy+=211 ùù( ) ỡxy-=311 ỡx=±11 *ớÛÛớớ ùùx-3yy-=211 20y=ợy=0 ợ()ợ Vậy phương trỡnh đó cho cúnghiệm nguyờn:( xy,) ={(29;30),(151;30),(-29;-30),(-151; 30),(11;0),( 11;0)} 4,5( x+y) =-32xy Û5(x+y) -32xy =- Û15( x+y) -96xy =- Û15x-96xy =- Û3x(5-3yy)-5()5-3+256=- Û(3xy-5)()3-=531 Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử xyÊ ị3xy-5Ê-35 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 7 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
8. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. ỡỡ3xx-5==12 *Ûớớ ợợ3yy-5==3112 ỡ 4 x = ỡ3x -51=- ù 3 *Ûớớ (loại) 3y -5= 3126 ợ ùy = ợù 3 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn: ( xy,) ={(2;12)(12;2) } 5, x2 -x-xyy+3-=60 Ûx2 -3x-xy++3yx2-=60 Ûx( x-3) -y( xx-3) +2( -=30) Û( x-3)( xy-+=20) ộx=ẻ3; yZ Ûờ ở y=x+ẻ2; xZ c.Phương phỏp thứ ba: Dựng cụng thức nghiệm của phương trỡnh bậc hai Ta coi phương trỡnh bậc hai hai ẩn là phương trỡnh bậc hai một ẩn cũn ẩn kia là hằng số.Chẳng hạn f (xy,)= 0 ta coi y hằng số. 2 Dạng 1. nếu Dy =ay++byc cú hệ số a < 0. hoặc Dy =+byccú hệ số b < 0. Để phương trỡnh f(xy,)= 0 cú nghiệm thỡ D³y 0 từ đú tỡm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm cũn lại x. Vớ dụ: giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: (3x22+xy+y)8=+xy 22 Û3x+(3y-1)x+3yy-=80 2 Coi phương trỡnh này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta cú Dy =-27yy++91. D=-27yy2 +9+³10 Để pt đó cho cú nghiệm thỡ y Û-0,01ÊyÊẻ3,3; yZ y ẻ{0,1,2,3}Thay vào ta được Nếu y=0ị30xx2 -= ộ 1 x = Û30xx2 -=ịờ 3 ờ ởx= 0 Nếu y=1ị3xx2 +2-=50 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 8 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
9. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. ộx =1 Û3xx2 +2-50=ịờ-5 ờx= ở 3 Nếu y=2ị3xx2 +5-=40 D=25+=4873 (khụng phải là số chớnh phương) Nếu y=3ị3xx2 +8+=30 D/ =16-=97 (khụng phải là số chớnh phương) pt đó cho cú 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh nghiệm nguyờn: 1, x22+xy+y-20xy-= 2, x22-xy+y=+xy Giải: 1, x22+xy+y-20xy-= Ûx22+x( y-20) +yy+= D=y22-4y+4-+44yy D=-43y2 Để phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn thỡ 4-3y22³0ÛyyÊ1Û-11ÊÊ Nếu y=-1ịx2 -xx+1-2+=10 2 ộx = 2 Ûxx-3+20=ịờ ởx=1 Nếu y=0ịxx2 -=20 2 ộx = 2 Ûxx-20=ịờ ởx= 0 Nếu y=1ịx2 +xx+1-2-=10 2 ộx = 0 Ûxx-=ị0 ờ ởx=1 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn: ( xy,) ={(1; 1),(2;1),(0;0),(2;0),(1;1),(0;1)} 2, x22-xy+y=+xy Ûx22-x( y+10) +yy-= D=y2+2y+1-4y22+4y=-3yy++61 Để phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn thỡ D³0 Û -3yy2 +6+³10 Û-0,154ÊÊy 2,154 y ẻ{0;1;2} Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 9 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
10. Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn bậc hai, hai ẩn. Nếu y=00ịxx2 -= 2 ộx =1 Ûxx-=ị0 ờ ởx= 0 Nếu y=1ịxx2 -=20 2 ộx = 2 Ûxx-20=ịờ ởx= 0 Nếu y=2ịxx2 -3+=20 2 ộx = 2 Ûxx-3+20=ịờ ởx=1 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm nguyờn: ( xy,) ={(0;0),(1;0),(0;1),(2;1),(1;2),(2;2)} 2 Dạng 2. Nếu Dy =ay++byc cú hệ số a là một số chớnh phương Để phương 2 trỡnh f(xy,)= 0 cú nghiệm thỡ D=y m từ đú tỡm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm cũn lại x. Vớ dụ : giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: 1, x22+2y+3xy-26xy-= Ûx22+(3y-2)x+2yy =60 Coi phương trỡnh này là phương trinh bậc hai ẩn x. 2 Dy =yy-8++1612 2 Để pt đó cho cú nghiệm thỡ D=y m 22 Dy =y-8ym+16+=12 Ûmy22-(-=4)12 (m-y+4)(my+-4)=12=2.6= 2.(6) Vỡ(m+y-4) ³ (m-y+4)Và chỳng cú cựng tớnh chẵn lẻ.Nờn ỡmy-+=42 ỡm = 4 ớ Û ớ Thay y=6 vào pt đó cho ta cú: ợmy+-=46 ợy = 6 2 x+72+18xx-2-=120 Ûxx2 +16+=600 Pt này vụ nghiệm. ỡmy-+46=- ỡm =-4 ớ Û ớ ợmy+-42=- ợy = 6 Pt đ ó cho vụ nghiệm 2, xy-2y-3x+x22=6Ûx-x( yy-3) -2-=60 Coi phương trỡnh này là phương trinh bậc hai ẩn x. 2 Dy =yy-6++924 Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 10 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version