Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phần A: đặt vấn đề I. lí do: Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng được yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế nào để đạt hiệu quả cao nhất. Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan trọng. Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cơ sở thuận lợi để học các môn học khác, cũng như ứng dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo. Đối với học sinh bậc trung học cơ sở hiện nay thì nhiều phần trong môn đại số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về bất đẳng thức thường khó nhưng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, có nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt tư duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để giải tốt loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong sách giáo khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thường xuyên có loại toán này. Bên cạnh đó nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hơn các phần khác. Qua tìm hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất “sợ” dạng bài chứng minh bất đẳng thức. Trước thực trạng như vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về bất đẳng thức. Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin được trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua thực tế giảng dạy tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hơn. Trang 1
2. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức II. Cơ sở lí luận và thực tiễn: Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chương trình toán phổ thông. Vấn đề này được đưa vào một cách xuyên suốt từ lớp một trở lên. Nhưng ở các lớp dưới bất đẳng thức chưa được trình bày một cách cụ thể mà thường được thể hiện dưới dạng “ẩn”. Cụ thể là: - ở lớp một, lớp hai, lớp ba thể hiện dưới dạng bài tập : Điền dấu , = thích hợp vào ô trống: 4 2 . . . - ở lớp bốn, lớp năm còn có thêm dạng: tìm số tự nhiên x biết rằng: 34 < x < 38 - ở lớp sáu, lớp bẩy bất đẳng thức thể hiện dưới dạng: so sánh luỹ thừa, so sánh phân số, so sánh hai số hữu tỷ. Trong hình học 7 thì có bất đẳng thức tam giác. - Đến lớp tám, SGK mới chính thức dành riêng một mục trình bày định nghĩa và một vài tính chất của bất đẳng thức, thường chỉ ở dạng đơn giản ngắn gọn. Cũng từ đó lượng bài tập về bất đẳng thức cũng nhiều và khó hơn, chẳng hạn: chứng minh biểu thức luôn dương hay luôn âm, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức . . . Do vừa mới được làm quen và chưa đi sâu nghiên cứu về nó, SGK cũng không nêu ra các phương pháp chứng minh bất đẳng thức nên khi giải bài tập học sinh thường mắc sai lầm và nhiều khi không biết bắt đầu từ đâu. Vì thế, học sinh rất sợ các bài tập chứng minh bất đẳng thức. Do đó giáo viên và học sinh rất vất vả trong việc nghiên cứu, sưu tầm và tuyển chọn các bài tập của dạng toán này. Trong những năm trước khi dạy ôn thi, bồi dưỡng HSG thì phần bất đẳng thức tôi chỉ hướng dẫn các em qua các bài tập cụ thể mà không tổng hợp, phân dạng cho các em. Với cách làm như vậy, tôi thấy khi phải làm các bài tập khác tương tự các em rất lúng túng khi tìm lời giải, mặc dù vẫn có một số em làm được. Với mong muốn khắc phục tình trạng này một trong những biện pháp tôi đã thử nghiệm thấy hiệu quả hơn đó là: đưa ra phương pháp giải rồi áp dụng. Cách làm đó tạo cho các em hiểu và ghi nhớ có hệ thống, từ đó sẽ dễ dàng hơn khi giải bài tập về bất đẳng thức. Trang 2
3. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức III . đối tượng, phương pháp ngnhiệm vụ 1. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu *Đối tượng nghiên cứu : học sinh THCS *Phương pháp nghiên cứu : + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh. + Thực nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9. + Trao đổi trong các nhóm chuyên môn. + Điều tra, đánh giá kết quả của học sinh sau khi thực nghiệm đề tài. 2. Nhiệm vụ của đề tài - Đưa ra những kiến thức cơ bản nhất về bất đẳng thức. - Đề xuất một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. - Rèn cho học sinh kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức. - Rèn cho học sinh biết lựa chọn phương pháp giải hợp lí cho mỗi bài toán. Muốn vậy phải rèn khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, cũng như tính đặc thù của mỗi bài toán, từ đó mà lựa chọn cách giải phù hợp. Nó giúp phát huy khả năng tư duy sáng tạo, linh hoạt, tạo được lòng say mê, tự tin và không ngại ngùng khi gặp bài toàn về bất đẳng thức. IV.nội dung đề tài I : Các kiến thức cần nắm vững. II : Một số phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức. III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng. IV : Trang 3
4. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phần B: nội dung i: các kiến thức cần nắm vững 1-Định nghĩa: Hai số a và b bất kỳ: a > b a - b > 0 a b b b và b > c thì a > c 2.3 nếu a > b, c bất kỳ thì a + c > b + c 3. Hệ quả: a + c > b + c a > b a + c > b a > b - c a > b; c > 0 ac > bc a > b; c b; c > d a + c > b + d 4.2 a > b; c b - d 4.3 a > b 0; c > d 0 ac > bd 1 1 4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì a b 4.5 a > b > 0 a n > b n ( n N*) 4.6 a > b a n > b n (n N*, n lẻ ) a b an > bn (n N*, n chẵn ) 4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số m > n, m; n N* Nếu a > 1 thì am > an Nếu a = 1 thì am = an Nếu 0 < a < 1 thì am < an 4.8 a2 0  a ;- a2 0  a dấu “ = “ xảy ra a = 0 4.9 a 0a dấu “ = “ xảy ra a = 0 4.10 - a a a a dấu “ = “ xảy ra a = 0 Trang 4
5. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4.11 a b a b dấu “=”xảy ra ab 0 a b a b dấu “=” xảy ra ab 0 và a b 4.12 a2 +b2 2ab  a ,b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 4.13 aba,b 2 2 1 1 4 4.14 (a 0,b 0) a b a b b a 4.15 2(ab 0) a b 4.16 2(a2+b2) (a+b)2  a,b 4.17 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2 2 a1 a 2 4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm: a1 a 2 2 Dấu”=” xảy ra a1 a 2 Mở rộng đối với n số không âm : n a 1 a 2 a n a 1a 2 a n . n Dấu “=’ xảy ra a 1 a 2 a n 4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì: 2 2 2 2 2 (a 1b1 a 2 b 2 ) (a 1 a 2 )(b1 b 2 ) Mở rộng đối với 2n số bất kì : 2 2 2 2 2 2 (a 1b1 a 2 b 2 a n b n ) (a 1 a 2 a n )(b1 b 2 b n ) b1 b 2 b 2 Dấu “=” xảy ra với a i 0 i 1; n a1 a 2 a n Trang 5
6. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức II: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A > B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tương tự 1. Dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0 *Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 4ab với mọi a, b R Hướng dẫn: Xét hiệu: (a + b)2- 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Vì (a – b)2 0 với mọi a, b R nên (a + b)2 4ab với mọi a, b R Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Vậy (a + b)2 4ab với mọi a, b R *Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b R ta có : a 4 b 4 a 3b ab3 Hướng dẫn: Xét hiệu : a4 +b4 – a3b - ab3 = a3 (a-b) - b3( a-b) = (a-b) (a3- b3) = (a –b)2(a2 +b2 +ab) 2 2 b 2 3b = (a-b) (a ) 0a,b R 2 4 Dấu “=” xảy ra khi a = b. Vậy a4 + b4 a3b + ab3 2. Dùng các phép biến đổi tương đương Muốn chứng minh A > B ta biến đổi A > B (1) A 1 > B 1 A n > B n (2) Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh. (2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức). Trang 6
7. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức *Ví dụ 3: Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1. 1 1 Chứng minh rằng: 1 1 9 1 a b Hướng dẫn: a 1 b 1 (1) . 9 a b ab +a+b+1 9ab (vì ab > 0) a+b+1 8ab 2 8ab (vì a + b =1) 1 4ab (a+b)2 4ab (vì a + b =1) (a-b)2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tương đương . Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. *Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng: 2 ab 4 ab (1) a b Hướng dẫn: Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho 4 ab 2 4 ab (1) 1 a b 2 4 ab a b ( Do a b 0) 0 a 24 ab b 2 0 4 a 4 b (2) Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0. Do đó (1) đúng Dấu “=” xảy ra a = b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Trang 7
8. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức *Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0. Chứng minh rằng: a b 2 a 2 b 2 (1) Hướng dẫn: Vì a > 0; b > 0 a b 0 Cả hai vế của (1) không âm, bình phương hai vế ta được 2 (1) a b 2 2 a 2 b 2 a 2 2ab b 2 2a 2 2b 2 a 2 2ab b 2 0 a b 2 0(2) Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì a b 2 a 2 b 2 Dấu “=” xảy ra a = b 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức - Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho thành điều phải chứng minh. - Sử dụng tính chất bắc cầu Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > > M > B. Từ đó suy ra A > B. Chú ý: Một số bước trung gian có thể xảy ra dấu “=” hoặc 1 *Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 3 Hướng dẫn Từ các bất đẳng thức: a2 – 2ab +b2 0 với mọi a, b (1) a2 – 2ac +c2 0 với mọi a, c (1) b2 – 2bc +c2 0 với mọi b, c (3) Do a + b + c = 1 a b c 2 1 a 2 b 2 c2 2ab 2bc 2ac 1 (4) Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta được 1 3 a 2 b 2 c2 1 a 2 b 2 c2 3 Trang 8