Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài 2. Thời gian thực hiện và triển khai SKKN PHẦN II: NỘI DUNG CỦA SKKN I. CƠ SỞ Lí LUẬN CỦA ĐỀ TÀI. 1. Cỏc phương phỏp thụng thường 2. Cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử khỏc 3. Một số bài tập ỏp dụng II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI. III. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾTVẤN ĐỀ. IV. HIỆU QUẢ CỦA SKKN. PHẦN III: KẾT LUẬN 1. í nghĩa của SKKN đối với cụng việc thực hiện. 2. Nhận định chung về việc ỏp dụng và khả năng phỏt triển của SKKN. 3. Những bài học kinh nghiệm được rỳt ra. 4. Những ý kiến đề xuất. * TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phỳ hà 1 Trường THCS Tuy Lộc
2. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lời mở đầu Trong trường phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng, nó là cơ sở để bổ trợ cho các môn học khác, đặc biệt là các môn học tự nhiên. Nội dung chương trình và phương pháp dạy học bộ môn là yếu tố quyết định hiệu quả giáo dục đào tạo ở phổ thông. Vì vậy môn Toán đã được Bộ giáo dục soạn thảo, sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan đến tư duy trừu tượng để học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức đã biết, đã tiếp thu được trong trường phổ thông. Trong chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản, cần thiết trong giảng dạy toán phổ thông. Phần này chiếm một vị trí quan trọng, là một trong nội dung lớn của chương trình Đại số, xuyên suốt chương trình toán phổ thông. Vì vậy để có thể nâng cao và phát triển khả năng giải loại toán này cho các em học sinh, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu viết về vấn đề này và tôi thấy việc cần thiết phải có cách tư duy và những phương pháp giải thích hợp giúp học sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tìm lời giải không chỉ mình loại toán này mà cho nhiều loại toán khác có liên quan. Với đề tài này tôi muốn giới thiệu về: “Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”. Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa ra phương án giải một bài toán đúng thì đa số các em thường “bí” trước những vấn đề mới, chỉ một phần ít các em giỏi có thể tự mình tìm ra được đường lối đúng, vì vậy việc tìm ra một phương pháp chung cho một dạng toán nào đó thực sự là cần thiết, và công việc này người thầy đóng vai trò là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tòi kiến thức. Với đề tài này tôi góp phần nhỏ về kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh THCS. Nguyễn Phỳ hà 2 Trường THCS Tuy Lộc
3. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2. Thời gian thực hiện và triển khai SKKN * Đối với giỏo viờn: - Nghiờn cứu và viết đề tài từ thỏng 8 / 2011. - Triển khai lý thuyết vào thỏng 10 / 2011. - Triển khai bài thực hành vào thỏng 11 / 2012. * đối với học sinh: - Được tiếp thu nội dung SKKN từ thỏng 10 / 2011 đến hết năm học 2012. - Đề tài được triển khai chủ yếu cho cỏc học sinh cú lực học từ khỏ trở lờn , nhất là cỏc học sinh luyện thi học sinh giỏi vào thỏng 1 / 2012. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM * CƠ SỞ Lí LUẬN A. Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này: 1, Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản. 2, Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử. - Các phương pháp thông thường. - Một số phương pháp phân tích đa thức khác. - Một số bài tập áp dụng. B . Các biện pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này: 1) Biện pháp thứ nhất. Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ. Nguyễn Phỳ hà 3 Trường THCS Tuy Lộc
4. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2) Biện pháp thứ hai. Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác. Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1) (I) Các phương pháp thông thường. + Đặt nhân tử chung. + Dùng hằng đẳng thức. + Nhóm nhiều hạng tử. Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thước thành nhân tử. Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử. 2 2 M1 = 3a - 3b + a - 2ab + b = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử. 2 2 M2 = a - b - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bước sau đây: + Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức. Nguyễn Phỳ hà 4 Trường THCS Tuy Lộc
5. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử + Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào không ? + Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 M3 = 5a + 3(a + b) - 5b Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên: 2 2 2 M3 = (5a - 5b ) + 3(a + b) . Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức: 2 2 2 M3 = 5(a - b ) + 3 (a + b) Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a + b): 2 M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b) . M3 đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung. M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a – 2b) Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b). Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. 3 2 3 2 2 M4 = 3x y - 6x y - 3xy - 6xy z - 3xyz + 3xy. Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ? Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy. + Đặt nhân tử chung. 2 2 2 M4 = 3xy (x - 2x - y - 2yz - z + 1) Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không? 2 2 2 + Nhóm hạng tử: M4 = 3 xy x - 2x + 1 ) - (y + 2y z + z  Nguyễn Phỳ hà 5 Trường THCS Tuy Lộc
6. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2 2 + Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1) - ( y + z)  xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào? + Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đã được phân tích các đa thức thành nhân tử. Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa). II. Một số phương pháp phân tích đa thức khác. Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp các phương pháp sau để làm các bài toán khó. + Phương pháp tách hạng tử. + Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử. + Phương pháp đặt ẩn phụ. + Phương pháp tìm nghiệm của đa thức. + Phương pháp dùng hệ số bất định. + Phương pháp xét giá trị riêng. Cụ thể: 1: Phương pháp tách hạng tử. Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + 8. Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử) = a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại. Nguyễn Phỳ hà 6 Trường THCS Tuy Lộc
7. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1) = (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức) = (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức) = (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) Cách 3: N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử) = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử) Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là thông dụng nhất; - Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3). - Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1) Ví dụ 6: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử. Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c Trong thực hành ta làm như sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách + Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất) (như cách 3) 2) Phương pháp thêm bớt hạng tử. 4 Ví dụ 6: Phân tích đa thức P1 = x + 4 thành nhân tử Nguyễn Phỳ hà 7 Trường THCS Tuy Lộc
8. Sáng kiến kinh nghiệm: Đại số 8: Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 4 P1 = x + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng hằng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) 4 Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a + 64 thành nhân tử. 4 2 2 2 2 P2 = (a + 16a +64) - 16a (thêm 16a , bớt 16a ) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình phương của 1 tổng hay hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt để được. 2 ở ví dụ 6, P1 đã có bình phương hạng tử (x ) và bình phương hạng tử (2). Vậy muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử đó. Do đó ta thêm 2.x2.2 = 4x2 thì đồng thời phải bớt 4x2. 3) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung) Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có: 2 D1 = y + 4y - 12 Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt 2 D1 = (y - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung) D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung) Nguyễn Phỳ hà 8 Trường THCS Tuy Lộc