Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong dạy học môn Hình học về việc chứng minh định lý

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong dạy học môn Hình học về việc chứng minh định lý

1. MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG DẠY HỌC MÔN HÌNH HỌC VỀ VIỆC CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi dạy học vè định lý giáo viên thường cho học sinh nêu định lý ; rồi ghi giả thiết , kết luận của định lý . Sau đó chứng minh theo hướng dẫn của sách giáo khoa đã trình bày , rất ít giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm ra cách chứng minh hay ; hoặc khai thác tính tư duy , sáng tạo của học sinh Để phát huy tính tích cực của học sinh khai thác tốt tư duy sáng tạo của học sinh giáo viên cần đề ra nhiều phương án vẽ thêm hình phụ để học sinh có thể tìm ra nhiều cách khác nhau khi thực hiện chứng minh một định lý .Biết vận dụng định lý để khai thác một số bài toán có liên quan Điều đó thực sự khó thực hiện được bởi lẽ . Thời gian tren lớp còn hạn chế ; thời gian nghiên cứu của giáo viên không nhiều ; mạt khác một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến vấn đề này , chỉ thực hiện hoàn thành nhiệm vụ trên lớp mà thôi ; đối với học sinh thường mang tính lệ thuộc sách giáo khoa ; hầu hết các em không suy nghĩ đến việc phát hiên và đề xuất cách chứng minh mới Trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa ; hiện đại hóa đất nước . Ngoài nhiệm vụ dạy chữ ; dạy người . Người giáo viên cần phải biết khơi dậy niềm đam mê học toán của học sinh ; có khả năng tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu Đối với việc chứng minh định lý giáo viên cần cho học sinh xem xét một cách toàn diện Vận dụng tốt các kiến thức đã học có liên quan để có thể phát hiện ra một cách chứng minh khác về định lý ; có thể gợi ý cho học sinh phát huy tính sáng tạo bằng cách vẽ thêm hình phụ và đề xuất những hướng chứng minh khác nhau . Từ đó biết xâu chuỗi kiến thức một cách có lô gic và biết vận dụng định lý đó vào việc giải các bài toán có liên quan Sau đây tôi xin trình bày một số cách khác nhau về chứng minh định lý rất mong quý thầy cô tham khảo và có những đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài này tôi xin chân thành cảm ơn
2. B/ NỘI DUNG I/ Một số cách chứng minh định lý : Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diên thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy Không mất tính tổng quát , ta xét tam giác ABC có AD là phân giác ( D thuộc BC ) AB DB ·ABC ·ACB Ta cần chứng minh (*) AC DC Cách 1: (SGK Toán 8 tập 2 trang 66 ) Qua B vẽ BE // AC ( E AD ) A B· EA E· AC ( sole trong ) Mà B· AD D· AC ( gt ) B· AE B· EA nên tam giác ABC cân tại Bµ AB = BE BE DB Ta có ( do BE//AC) B AC DC D C AB DB mà BE = AB AC DC E Cách 2 : Aps dụng tam giác đồng dạng Dựng BE ( E thuộc AD ) sao cho A ·ABE ·ACD Thật vậy ; AB EB ABE : ACD(gg) (1) AC DC ·AEB ·ADC Mà : E ·AEB B· ED ·ADC E· DB( 1800 ) B D C B· ED B· DE BDE cân tại B BE BD ( 2 ) AB DB Từ (1) và (2) AC DC
3. Cách 3 : A Dựng BE  AD; BF  AD (E; F AD) Ta có : ABE : ACF(gg) và AB EB DB BDE : CDF AC FC DC AB BD AC DC B E D F C Cách 4: Dựng AH  BC; DM  AB; DN  AC ( H; M N lần lượt thuộc BC; AB ; AC ) A Aps dụng phương pháp tính diện tích ta có ADM AND ( cạnh huyền góc nhọn ) S(ABD) DM.AB AB N DM DN (1) S(ACD) DN.AC AC M S(ABD) AH.BD DB Ta lại có (2) S(ACD) AH.DC DC AB DB Từ (1 ) và ( 2 ) ta có B C AC DC H
4. Cách 5: Vẽ đường thẳng đi qua B song song với ADcắt đường thẳng AC tại E Khi đó xét CBE có AD// BE ta có E DB AE (1) DC AC Và AD//BE mà AD lại là phân giác của góc BAC Ta dễ dàng chứng minh được ·AEB ·ABE ABE cân tại A suy ra A AB = AE ( 2 ) AB DB Từ ( 1 ) và ( 2 ) AC DC C B D Cách 6 :Qua D dựng các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt AB và AC A tại F và E Ta có : BFD : DEC(gg) suy ra BD BF DF BF DF E ( 1 ) F DC DE CE DE CE Ta lại có : DF // AE ; DE // A F suy ra AEDF là hình bình hành và có đường chéo AD là phân giác AEDF là hình thoi B C Nên : BF + DF = BF + FA = AB D Và : DE +CE = CE + EA = AC (2) DB AB T ( 1 ) và ( 2 ) DC AC Còn một số cách khác các bạn tham khảo cách chứng minh Cách 8 : Trong tam giác ABC dựng hai đường cao CE và BF , chúng lần lượt cắt nhau tại K .Đường thẳng qua C song song với AD cắt BF tại I Cách 9 : Dựng qua B đường thẳng vuông góc với AB .Dựng qua C đường thẳng vuoiong góc với AC , hai đường thẳng này cắt nhau tại K . AD cắt BK; CK lần lượt tại Evà F Dựng qua B đường thẳng song song với AD cắt CK tại G Cách 10 : Qua B; C dựng các đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng qua D song song với AC lần lượt tại F và E . Đường thẳng qua F song song với AB cắt AD tại M
5. II/ VẬN DỤNG CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC VÀO GIẢI TOÁN 1/ Công thức đường phân giác trong của tam giác Để tính độ dài AD = da theo các cạnh BC = a ; AC = b ; AB = c . Trước hết ta tính BD ; CD . Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có BD CD BD CD BC a c b b c b c b c ac ab Từ đó ta có : BD ( 1 ) và CD ( 2 ) b c b c A E F C B D K Trong nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A dựng đoạn thẳng CK ( K AD kéo dài ) ; sao cho B· CK B· AD và ·ABD C· KD ABD : CKD AD CD AD.DK BD.CD BD KD AB AK ABD : AKC AB.AC AD.AK AD AC Từ hai đẳng thức trên ta có : AD . AK – AD . DK = AB . AC – BD . CD Chú ý rằng AK – DK = AD nên AD2 AB.AC BD.CD 2 Hay : da bc BD.CD ( 3 ) a2bc Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) d 2 bc ( 4 ) a (b c)2 a2 Hay : d 2 bc 1 ( 5 ) a 2 b c Để ý rằng b c 2 a2 b c a b c a 2 p 2 p 2a 4 p p a
6. 2 4 p p a bc 2 2 Nên từ ( 5 ) ta có : da hay da bcp p a ( 6 ) b c 2 b c Từ ( 4 ) ; ( 5 ) ; ( 6 ) và chú ý rằng b c 2 4bc Ta có các bất đẳng thức đối với độ dài Đường phân giác của tam giác a2 bc d 2 bc ( 7 ) và d 2 p p a ( 8 ) 4 a a Đẳng thức ( 8 ) xẩy ra khi và chỉ khi AB = AC Đối với db ;dc ta cũng có các công thức tương tự 2Một số bài toán ứng dụng công thức đường phân giác Bài toán 1 : Gọi da ;db ;dc là độ dài ba đường phân giác của tam giác ABC ; với ba cạnh A AB + BC + AC = a + b + c = 2p Chứng minh rằng d F a/ ab + bc + ca - E 1 2 2 2 2 2 2 2 a b c da db dc p 4 d d b/ d d d p 3 a b c B C Hướng dẫn giải : D Từ công thức ( 8 ) ta có 2 2 2 da db dc p p a p p b p p c 3p2 2 p2 p2 Aps dụng công thức ( 7 ) ta được 2 2 2 1 2 2 2 da db dc ab bc ca a b c 4 Áp dụng Bất đẳng thức bu – nhi – a côp –xki Và câu a ta có 2 2 2 2 2 da db dc 3 da db dc 3p Từ đó suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng ở câu a và câu b xẩy ra khi tam giác ABC là tam giác đều Bài toán 2 : Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi hai phân giác trong BE và CF bằng nhau Hướng dẫn giải Ta sử dụng công thức ( 4 )
7. Dựa vào giả thiết ta có 2 2 2 2 b ac c ab db dc db dc ac 2 ab 2 A a c a b c3 b3 a2 c b 2a c2 b2 c b bc 0 2 2 a b a c c b F E = c b bc 0 2 2 a b a c b c B c2 cb b2 a2 2a c b c b 1 bc. 0 C 2 2 a b a c c = b hay AC = AB Trong quá trình giảng dạy bộ môn hình học nói chung . Đặc biệt khi dạy học định lý Ngoài việc cung cấp kiến thức cho học sinh thì cần có ý thức dạy phương pháp tư duy sáng tạo cho học sinh , trong điều kiện và khả năng cho phép giúp học sinh tìm tòi ; phân tích liên hệ các kiến thức liên quan để tìm ra cách chứng minh khác nhau và tìm ra các con đường vận dụng định lý vao giải các bài toán Trong những năm học vừa qua bản thân tôi đã thử nghiệm vấn đề này cho học sinh khối lớp 8 và đã tạo tiền đề để góp phần vào việc bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi huyện cuối năm lớp 9 cho trường . nhưng điều quan trọng hơn là với cách thực hiện đó trước mắt chưa thể hiện kết quả cụ thể về thành tích . Nhưng chắc chắn rằng nó đã giúp cho học sinh phát triển tốt tính tư duy và sáng tạo . Đặc biệt là đáp ứng được yêu cầu việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và việc dạy học toán chứng minh ddingj lý nói riêng trong giai đoạn mới hiện nay Nguyễn Viết Xuân Ngày 25 tháng 12 năm 2010 Người viết Nguyễn Thanh Hiền