Sáng kiến kinh nghiệm Một số hướng nhìn nhận mới về định lí Vi-ét

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số hướng nhìn nhận mới về định lí Vi-ét

1. MỞ ĐẦU Sự xuất hiện của trường số phức C đã khép lại quá trình nghiên cứu phương trình Đại số. Người ta đã chứng minh được tất cả các phương trình dạng đa thức bậc n có đủ n nghiệm trên C, điều này cũng có nghĩa là tất cả các đa thức bậc n đều phân tích được thành tích của n nhân tử bậc nhất. Sự ra đời của định lí cơ bản của Đại số này đã trả lời được một phần câu hỏi: với những giá trị nào của n thì phương trình Đại số dạng đa thức bậc n có thể giải được bằng căn thức. Vấn đề này đã được các nhà Toán học Gauss và Abel giải quyết một cách trọn vẹn thông qua lí thuyết trường và lí thuyết Galois, ở đó người ta đã chứng minh được tất cả các phương trình đa thức bậc lớn hơn 4 đều không giải được bằng căn thức. Như vậy những phương trình đa thức bậc lớn hơn 4 đều không có quy trình chung để giải, tuy nhiên nhờ có định lí về sự phân rã, người ta có thể biểu diễn được mối liên hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức bất kì. Một trong những nhà Toán học thành công nhất trong quá trình biểu diễn mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức là Viét. Viét đã nêu được các mối liên hệ mang tính đối xứng giữa các nghiệm của phương trình. Mặc dù các câu hỏi lớn về phương trình Đại số dạng đa thức đã được trả lời, tuy nhiên trong phạm vi Toán học phổ thông thì các bài toán về đa thức và nghiệm của đa thức vẫn luôn có tính thời sự. Các bài toán về đa thức và nghiệm của đa thức luôn chiếm một vị trí xứng đáng trong các bài thi học sinh giỏi các cấp và gây ra nhiều khó khăn cho học sinh. Trong đề tài này chúng tôi quan tâm đến vấn đề: Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học. Ở đây chúng tôi không có ý định xây dựng lại các bài toán tìm điều kiện để phương trình đa thức bậc n có nghiệm thoả mãn một tính chất nào đó. Nội dung của đề tài gồm có hai phần. Phần thứ nhất là cho một phương trình đa thức bậc n có nghiệm thoả mãn một tính chất nào đó, chúng tôi xây dựng các bất đẳng thức về các hệ số của phương trình. Phần thứ hai chúng tôi ứng dụng định lí Viét vào Số học, kết quả thu được là chúng tôi xây dựng được một lớp các bài toán phương trình nghiệm nguyên dạng bậc hai, và các bài toán về lí thuyết chia trên tập hợp các số nguyên. Đề tài được hoàn thành tại trường THPT chuyên Phan Bội Châu. Trong quá trình thực hiện đề tài chúng tôi nhận được nhiều sự chỉ bảo của các thầy cô giáo đi trước về bố cục, nội dung. Nhân đây cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán- Tin trường THPT chuyên Phan Bội châu. Cuối cùng, do nhiều nguyên nhân, đề tài hoàn thành không tránh khỏi được những sai sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các độc giả để ngày càng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học và viết các đề tài. 1
2. I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình dạy học ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là hai nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên.Vì lí do thời lượng chương trình và đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học sinh nên chương trình sách giáo khoa phổ thông chỉ mới đáp ứng được một phần kiến thức. Chính điều này đã làm hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinh khá và giỏi. Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng tôi luôn quan tâm đến hai vấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi. Thông thường các em học sinh chỉ mới có khả năng giải quyết trực tiếp các bài toán mà không có khả năng nhìn nhận bài toán đó từ những góc độ khác nhau, từ đó dẫn đến một hiện tượng thường thấy trong nghiên cứu khoa học là: “chỉ thấy cây, không thấy rừng”. Học sinh chỉ có khả năng giải quyết các vấn đề một cách rời rạc mà không có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một mảng kiến thức lớn. Chính vì thế việc rèn luyện và phát triển các tư duy tương tự hoá và tổng quát hoá là hết sức cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc làm này giúp các em tích luỹ được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận và phát hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao. Có nhiều hướng khác nhau để rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Trong đề tài này chúng tôi tập trung phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc áp dụng định lí Viét trong chương trình Đại số lớp 10. Trong chương trình Đại số lớp 10, định lí Viét chỉ được phát biểu cho phương trình bậc hai. Tuy nhiên để đáp ứng được yêu cầu của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng tôi giới thiệu định lí Viét dạng tổng quát và “nhúng” vào các lĩnh vực khác nhau của Toán học. Xuất phát từ cách nhìn vấn đề theo chiều ngược: Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có nghiệm thực thì b2 4ac chúng tôi đã xây dựng được một lớp các bài toán bất đẳng thức về hệ số của các phương trình dạng đa thức. Thông thường thì định lí Viét được phát biểu cho nghiệm phức. Tuy nhiên trong đề tài này chúng tôi hạn chế tập nghiệm của phương trình bậc hai trên tập hợp các số nguyên và từ đó có các bài toán về phương trình nghiệm nguyên. Từ những ý tưởng trên và tầm quan trọng của việc phát triển các tư duy tương tự hoá và tổng quát hoá cho học sinh, chúng tôi quyết định chọn đề tài: Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học. 2
3. II. NỘI DUNG 1.Sử dụng định lí Viét để xây dựng các bài toán bất đẳng thức, cực trị giữa các hệ số của phương trình dạng đa thức. a) Xây dựng các bài toán bất đẳng thức, cực trị cho các hệ số của phương trình bậc hai. Chúng ta biết rằng nếu phương trình bậc hai: ax 2 bx c 0 có b2 4ac 0 thì phương trình có nghiệm thực. Tuy nhiên chúng ta cũng có thể nhìn vấn đề theo chiều ngược lại: nếu phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 có nghiệm thực thì 0 b2 4ac . Từ cách nhìn nhận này chúng ta có thể ràng buộc thêm các điều kiện cho các nghiệm của phương trình bậc hai để từ đó xây dựng nên các bài toán bất đẳng thức, cực trị về các hệ số của phương trình. Chẳng hạn chúng ta bắt đầu với bài toán sau: 2 Ví dụ 1. Cho phương trình x bx c 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 1.Chứng minh rằng: 1 a) c . 4 9 b) b2c 2c 2 b c. 2 c) b(c 1) 5c. Chứng minh. 2 x1 x2 1 a) Ta có c x1x2 . 2 4 b) Thay b x1 x2 ,c x1x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 9 x x 2 x x 2x 2 x 2 x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 9 x1 x2 x1 x2 2 Ta có: 1 1 1 1 1 1 3 1 1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 8x1 8x1 8x2 8x2 4 x1 x2 3
4. 3 3 3 4 3 9 3 . 4 4 4 x1 x2 2 2 c) Thay b x1 x2 ,c x1x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: (x1 x2 )(x1x2 1) 5x1x2 1 1 x1 x2 5 x1 x2 Ta c ó: 1 1 1 1 3 1 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4x1 4x2 4 x1 x2 3 4 1 1 5. 4 x1 x2 Đây là điều cần chứng minh. Bây giờ trong Ví dụ 1 chúng ta cho phương trình bậc hai dạng tổng quát b c ax 2 bx c 0và thay b bởi và thay c bởi chúng ta có Ví dụ 2 như sau: a a 2 Ví dụ 2. Cho phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm thực dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 1.Chứng minh rằng: c 1 a) . a 4 b2c c 2 b 9 c b) 2 . a3 a 2 a 2 a b c c c) 1 5 . a a a Lời giải của Ví dụ 2 hoàn toàn tương tự Ví dụ 1. 2 Ví dụ 3. Cho phương trình x bx c 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 1. 1 a) Chứng minh rằng: b2 2c . 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2bc b3 3b 1. 4
5. Lời giải. a) Thay b x1 x2 ,c x1x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 1 x x 2 2x x x 2 x 2 1 2 1 2 2 1 2 2 Ta có: 1 1 x 2 x 2 x x 2 . 1 2 2 1 2 2 b2 a) Theo giả thiết ta có: b 1,c nên 4 b3 1 5 P 3b 1 3 1 . 2 2 2 5 1 Vậy P khi b 1,c . MAX 2 4 2 Ví dụ 4. Cho phương trình x bx c 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 1. a) Chứng minh rằng: b2 4. 3b2 4c b 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . b2 1 Lời giải. 2 2 a) Ta có: b (x1 x2 ) 4x1x2 4. 2 b) Do phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 1 nên b 4c , và b 2 suy ra: 2b2 b 2 P . b2 1 2b2 b 2 Đặt f (b) . b2 1 2 ' b 1 Ta có f (b) 2 0 , với mọi b 2 b2 1 8 nên f (b) f ( 2) . 5 5
6. 8 Vậy P khi b 2,c 1. min 5 2 Ví dụ 5. Cho phương trình bậc hai ax x c 0 có hai nghiệm thực dương x1, x2 thoả a 2 c mãn x x 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(a,c) . 1 2 a 2c a3 Lời giải. 1 Từ giả thiết của bài toán suy ra: a 1,0 c . 4a Trước hết chúng ta xem P(a,c) như một hàm của biến c , ta có: 2 3 4 2 3 ' a c a a a c a (1 a) P (a,c) 2 2 0,a 1. a 2c a3 a 2c a3 Vậy P(a,c) là hàm nghịch biến đối với biến c nên: 1 4a3 1 P(a,c) P a, . 4a a 2 4a 4 4a3 1 Đặt f (a) . a 2 4a 4 Ta có: 6 4 3 ' 16a 4a 16a 2a f (a) 2 0,a 1. a 2 4a 4 4 1 Vậy f (a) là hàm đồng biến trên 1; do đó: P(a,c) 1. 1 4 1 Dấu đẳng thức xẩy ra khi: a 1,c . 4 Qua các ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rằng việc xây dựng các bất đẳng thức xung quanh các hệ số của phương trình bậc hai đã tạo ra sự hứng thú, say mê học tập của học sinh. Học sinh có thể tự đưa ra các ràng buộc cho các nghiệm của phương trình bậc hai và từ đó tự xây dựng lên các bất đẳng thức mới. 6
7. b. Xây dựng các bất đẳng thức về hệ số của phương trình bậc ba. Chúng ta đã biết rằng phương trình bậc ba bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm thực. Sau khi nghiên cứu xong ứng dụng của đạo hàm, chúng ta có điều kiện cần và đủ để phương trình bậc ba f (x) ax3 bx 2 cx d 0 : - Có đúng một nghiệm thực là: phương trình f ' (x) 0 vô nghiệm thực hoặc có nghiệm ' kép thực hoặc phương trình f (x) 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thoả mãn f (x1 ) f (x2 ) 0. - Có đúng hai nghiệm thực phân biệt là phương trình f ' (x) 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thoả mãn f (x1 ) f (x2 ) 0. - Có đúng ba nghiệm thực phân biệt là phương trình f ' (x) 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thoả mãn f (x1 ) f (x2 ) 0. Tuy nhiên việc đưa ra một hệ thức liên hệ giữa các hệ số a,b,c,d sao cho phương trình bậc ba có một, hai, hay ba nghiệm theo kiểu tường minh như phương trình bậc hai là hết sức phức tạp và không cần thiết. Trong mục này chúng ta sẽ gắn cho các nghiệm của phương trình bậc ba thoả mãn một tính chất nào đó và xây dựng các bất đẳng thức liên hệ giữa các hệ số a,b,c,d dưới dạng hệ quả. Trước hết chúng ta có các đẳng thức quan trọng sau: Đặt S x1 x2 x3 , P x1x2 x3 ,Q x1x2 x2 x3 x1x3. Thế thì: 2 2 2 2 x1 x2 x3 S 2Q. 3 3 3 2 x1 x2 x3 S(S 3Q) 3P. 4 4 4 2 2 2 x1 x2 x3 (S 2Q) 2(Q 2SP). Theo định lí Viét đảo thì phương trình X 3 SX 2 QX P 0 nhận các số thực x1 , x2 , x3 làm nghiệm. Bây giờ chúng ta gắn cho x1 , x2 , x3 các điều kiện và từ đó xây dựng các bất đẳng thức về mối quan hệ giữa S, P,Q. Chúng ta bắt đầu với Ví dụ sau: Ví dụ 1. Cho phương trình x3 sx 2 qx r 0 có ba nghiệm thực không âm. Chứng minh rằng: 7