Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số

1. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số phần I Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn. Toán học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó có ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội. Toán học giúp cho người học tính toán nhanh, tư duy tốt, tính chính xác cao – lôgic hợp lí, tính khoa học. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người. Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là "Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số". 2. Mục đích nghiên cứu: 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan. Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến của các đồng nghiệm đi trước có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc và trò chuyện với học sinh, trực tiếp đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh; tôi nhận thấy rằng đa số các em còn sử dụng kiến thức về hàm số trong việc giải các bài tập có liên quan còn máy móc, chưa linh hoạt; nhiều em chưa hiểu kĩ được kiến thức cơ bản của mảng kiến thức về hàm số. Chính vì vậy, việc áp dụng cũng như khai thác sâu kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình của học sinh còn gặp nhiều khó khăn – và đây cũng là một vấn đề – môt nhiệm vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu để cuối cùng đưa ra một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài, tôi còn gặp nhiều thiếu sót mong các thầy cô góp ý để đề tài này ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. 4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình toán THCS (lớp 7 và 9) - Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm số; xác định công thức của hàm số; 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số 5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp quan sát sư phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bài tập, khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi như thế nào? trao đổi những gì? - Phương pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy được những vướng mắc của học sinh khi giải một số dạng toán về hàm số. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với các giáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có nhiều kinh nghiệm. - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập và bài kiểm tra của học sinh. - Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục. Phần II Nội dung đề tài Chương I: lý thuyết cơ bản Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trước hết chúng ta và học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số. I. Khái niệm hàm số: Khái niệm hàm số được định nghĩa theo quan điểm hiện đại " Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số" Trước tiên ta làm quen với ánh xạ: 1. ánh xạ: a. Định nghĩa: Cho tập hợp X  và Y  : f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x X với một và chỉ một y Y Kí hiệu: f: X Y x y = f(x) 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f Y là tập đích của ánh xạ f Phần tử y = f(x) Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f b. Các loại ánh xạ: * Đơn ánh ánh xạ: f: X Y x y = f(x) ánh xạ f là đơn ánh  x1, x2 X: x1 x2 thì f(x1) f(x2) Hoặc  x1, x2 X: x1 x2 thì f(x1) = f(x2) thì x1= x2 Ví dụ: f: R R x y = f(x) = 3x * Toàn ánh: ánh xạ f: X Y x y = f(x) ánh xạ f là toàn ánh  y Y thì  x X: (x) = y Hoặc f là toàn ánh phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y Y cho trước Ví dụ: f: R R x y = f(x) = 2x Là một toàn ánh vì phương trình 2x = y luôn có nghiệm x = y với y xác định. 2 * Song ánh: ánh xạ f: X Y x y = f(x) ánh xạ f là song ánh f là đơn ánh và f là toàn ánh 2. Hàm số: a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y. Trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái niệm hàm số được trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (được nhắc lại trong sách giáo khoa lớp 9) như sau: 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x) Người ta viết: f: X Y x y = f(x) X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x. Trong chương trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số" * Chú ý: Như vậy hàm số dù được định nghĩa bằng cách nào cũng đều có thuộc tính bản chất: + X và Y là hai tập hợp số + Sự tương ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định duy nhất một số y Y + Biến thiên: x và y là các đại lượng nhận giá trị biến đổi + Phụ thuộc: x là đại lượng biến thiên độc lập còn y là đại lượng biến thiên phụ thuộc b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp) + Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x X + Chú ý: - Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngược lại - Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) yM= f(xM) c. Cách cho một hàm số: Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các cách: + Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x) + Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị + Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số II. Các hàm số trong chương trình THCS: 1. Hàm số bậc nhất: a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, x R b. Tính chất: + Tập xác định: R + Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R a 0: Hàm số đồng biến trong ( ; + ) và nghịch biến trong (- ; ) 2a 2a b b a < 0: Hàm số nghịch biến trong ( ; + ) và đồng biến trong (- ; ) 2a 2a c. Đồ thị: 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0, x R) là Parabol (P) có đỉnh là D( b b ; - ); nhận đường thẳng x = là trục đối xứng 2a 4a 2a Chương II: Một số dạng bài tập Dạng 1: tìm tập xác định của hàm số 1. Định nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa Vì vậy: - Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R - Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: {x R/ mẫu thức 0} - Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x R/ biểu thức trong căn 0} 2. Ví dụ: + Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R x 2 2 + Ví dụ 2: Hàm số y = có TXĐ: {x R/ x 0} x 1  + Ví dụ 3: Hàm số y = 4x 1 có TXĐ: x R x  4  3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số: a. y = x – 3 x +2 x 2 1 2x 5 b. y = x - 3 x 3 c. y = x 2 4 2 x 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Dạng 2: tìm tập giá trị của hàm số Tập giá trị của hàm số: f: X Y x y = f(x) là tập giá trị y Y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x X 1. Cách giải: + Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y. + Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác định. 2. Ví dụ: * Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x [-1; 1] Giải Ta có x -1 2x -2 2x – 5 -7 hay y -7 x 1 2x 2 2x-5 -3 hay y -3 Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x [-1; 1] là y [-7; -3] * Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 6 7 x Giải x 6 7 x x 6 7 x =1 hay y 1 Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6 7 x với x R là y R, y 1 * Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3 với x [2; 3] Giải: Hàm số y = x2+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1 Vậy với x [2; 3] ta có y(2) y(3) 3 y 6 Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 + 2x + 3 với x [2; 3] là [3; 6] *Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 4 x + 3 Giải: TXĐ của hàm số là R 8