Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài tập về "Giá trị của dãy số"

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài tập về "Giá trị của dãy số"

1. Phần thứ nhất Cơ sở lý luận Toán học là một môn học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trường phổ thông nói chung, ở bậc THCS nói riêng. Dạy Toán là dạy cho học sinh các phương pháp suy luận khoa học - lô gíc. Học Toán tức là rèn khả năng tư duy và ứng dụng nhằm trang bị những vốn kiến thức hoàn chỉnh. Chính vì vậy việc giải các bài toán là phương tiện tốt trong giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo. Thực tiễn giảng dạy ở nhà trường phổ thông có rất nhiều dạng bài Toán khác nhau, giành cho các đối tượng học sinh Khá giỏi. Nhưng không phải dạng bài Toán nào Giáo viên đưa ra mà học sinh cũng đều nắm bắt kiến thức và vận dụng được ngay. Nhất là đối với học sinh lớp 6, 7, mức độ tiếp thu còn nhiều hạn chế. Vì vậy, người thầy cần cho các em được tiếp cận nhiều bài toán ở cùng dạng, đó chính là hình thức giảng dạy theo các chuyên đề. Từ đó các em sẽ dần được trang bị hoàn chỉnh về mặt kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải toán. Qua nhiều năm học tập cũng như giảng dạy, tôi nhận thấy có một mảng kiến thức tương đối quan trọng đó là: "Dãy số", các bài tập đưa ra được trải rộng từ khối 6 đến các khối lớp cao hơn, và hầu như chưa bị dừng lại ở một vị trí. Mặt khác, trong quá trình giảng dạy tôi thấy các em thường rất ngại mỗi khi "nhìn" thấy "một dãy" số có đến "n phần tử", đôi khi gặp bài toán phức tạp thì lại không biết bắt đầu từ đâu. Do tính đa dạng muôn màu muôn vẻ của toán học, thật khó lòng đúc kết được các nguyên tắc, dựa vào đó mà tìm được "chìa khóa" để giải quyết được mọi vấn đề nêu ra. Dẫu sao đây cũng là một ý tưởng để hình thành cho các em biết hình thành và khai thác tối đa những kiến thức mới, khó của số học, vận dụng những kĩ năng cần thiết để giải được những bài tập mới là điều thành công ở các em. Thiết nghĩ dạng toán này nếu được khai thác triệt để thì phạm vi ảnh hưởng cũng như tác dụng của nó là khá lớn. Chính vì vậy tôi mạnh dạn sưu tầm các bài tập để trình bày chuyên đề một số bài tập về "Giá trị của dãy số" để các đồng nhiệp tham khảo và đóng góp ý kiến, Trong khuôn khổ cho phép chỉ xin trình bày trong phạm vi ở khối lớp 6 - 7. Vì
2. Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + + 98 + 99 có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau: B = 1 + (2 + 3 + 4 + + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc. Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau: Cách 2: B = 1 + 2 + 3 + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + 3 + 2 + 1 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: 1 = 2.1 - 1 3 = 2.2 - 1 5 = 2.3 - 1 999= 2.500- 1 Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng. áp dụng cách 2 của bài trên ta có: C = 1 + 3 + + 997 + 999 +
3. n(n 1) Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + + n 2 Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lời giải Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + (1011 9899).98 + 9899) + 9910 9910 = 485495 + 9910 = 495405 2 E = 4954,05 (9899 1011) (Ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là 1 98 ) 101 Bài 5. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Lời giải Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: a (a 4006) S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = .2004 (a 2003).2004 . 2 Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004. Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 Nhận xét: Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi vì đó là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó khăn khi tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút. Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều. Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) Lời giải Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó: Gọi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
4. 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = 3(2n 2)n n(n 1)(n 2) 3(2n 2)n n(n 1)(n 5) = n(n + 1)(n + 2) + C= = 2 3 2 3 Bài 4. Tính D = 12 + 22 + 32 + + n2 Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + + n2 ) + (1 + 2 + 3 + + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có: n(n 1)(n 2) n(n 1) A = và 1 + 2 + 3 + + n = 12 + 22 + 32 + + n2 = = 3 2 n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(2n 1) - = 3 2 6 Bài 5. Tính E = 13 + 23 + 33 + + n3 Lời giải Tương tự bài toán trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E: Ta có: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + + (n3 - n) = = (23 + 33 + + n3) - (2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - n(n 1) - (1 + 2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - 2 n(n 1) (n 1)n(n 1)(n 2) (13 + 23 + 33 + + n3) = B + Mà ta đã biết B = 2 4 E = 13 + 23 + 33 + + n3 = (n 1)n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1) 2 = + = 4 2 2 Cách 2: Ta có: 3 2 A1 = 1 = 1 3 3 2 A2 = 1 + 2 = 9 = (1 + 2) 3 3 3 2 A3 = 1 + 2 + 3 = 36 = (1 + 2 + 3) 3 3 3 3 2 Giả sử có: Ak = 1 + 2 + 3 + + k = (1 + 2 + 3 + + k) (1) Ta chứng minh:
5. n(n 1) 2 Còn: P = 13 + 23 + 33 + + n3 = . Ta tính S = 23 + 43 + 63 + + (2n)3 2 như sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + + n3) lúc này S = 8P, Vậy ta có: S = 23 + 43 + 63 + + (2n)3 = 2 n(n 1) 8.n2 (n 1)2 = 8 2n2 (n 1)2 2 4 áp dụng các kết quả trên, ta có bài tập sau: Bài 7. a) Tính A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 Lời giải a)Theo kết quả bài trên, ta có: 12 + 22 + 32 + + (2n)2 = 2n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) = 6 3 Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 + + (2n)2 - 23 + 43 + 63 + + (2n)2 = n(2n 1)(4n 1) 2n(n 1)(2n 1) 2n2 (2n 1) = - = 3 3 3 b) Ta có: 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + + (2n)3 - - 23 + 43 + 63 + + (2n)3 . áp dụng kết quả bài tập trên ta có: 13 + 23 + 33 + + (2n)3 = n2(2n + 1)2. 3 3 3 3 2 2 2 2 Vậy: B = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n (2n + 1) - 2n (n + 1) = = 2n4 - n2 Nhận xét: Trên đây là các dạng bài tập cơ bản về sự liên quan giữa hai loại tổng: Tổng bình phương (hoặc lập phương) của các số tự nhiên liên tiếp với tổng các bình phương (hoặc lập phương) của các số tự nhiên chẵn liên tiếp. Chúng ta có thể sử dụng để quy định mức độ phát triển bài toán tới đâu để cho học sinh giải. * Một số bài tập dạng khác 2 3 63 Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 Lời giải Cách 1: 2 3 63 Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 (1)
6. Cách 2: áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29 (1) 2A = 2 + 22 + 23 + + 29 + 210 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + + 29) = 210 - 1 hay A = 210 - 1 Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A Lời bình: Đối với cách làm thứ nhất chỉ phù hợp với các bài tập với số ít các số hạng. Do vậy, khi gặp bài tập ở dạng trên nhưng có nhiều số hạng thì ta nên áp dụng cách làm thứ hai. Tuy nhiên giáo viên cần gợi ý cho học sinh thấy được: ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với B mà không gặp mấy khó khăn. Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + + 100.699 (1) Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 + + 99.699 + 100.6100 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + + 699) (*) Đặt S' = 6 + 62 + 63 + + 699 6S' = 62 + 63 + + 699 + 6100 6100 6 6100 6 499.6100 1 S' = thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 - = 5 5 5 499.6100 1 S = 25 Bài 5. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào? Lời giải Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp: Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như vậy từ 1 đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261.
7. 4 4 4 4 B = vận dụng cách làm của phần nhận 3.7 7.11 11.15 95.99 xét, ta có: 7 - 3 = 4 (đúng bằng tử) nên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 B = = 3 7 7 11 11 15 95 99 3 99 99 72 72 72 72 Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C = 2.9 9.16 16.23 65.72 Nhận xét: Ta thấy: 9 - 2 = 7 ≠ 7 2 ở tử nên ta không thể áp dụng cách làm của các bài trên (ở tử đều chứa 72), nếu giữ nguyên các phân số đó thì ta không thể tách được thành hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên được. Mặt khác ta 7 1 1 thấy: , vì vậy để giải quyết được vấn đề ta phải đặt 7 làm thừa số chung 2.9 2 9 ra ngoài dấu ngoặc, khi đó thực hiện bên trong ngoặc sẽ đơn giản. Vậy ta có thể biến đổi: 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 C = 7. = 7. = 2.9 9.16 16.23 65.72 2 9 9 16 16 23 65 72 1 1 35 29 = 7. 7. 3 2 72 72 72 3 3 3 3 Bài 4. Tính giá trị của biểu thức D = 1.3 3.5 5.7 49.51 Lời giải Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 ≠ 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào đó ta đưa 3 ra ngoài và đưa 2 vào trong thay thế. 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 Ta có: D = = 2 1.3 3.5 5.7 49.51 2 1.3 3.5 5.7 49.51 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 50 25 = = g 2 1 3 3 5 5 7 49 51 2 1 51 2 51 17 1 1 1 1 1 1 Bài 5. Tính giá trị của biểu thức E = 7 91 247 475 775 1147 Lời giải Ta thấy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 Tương tự bài tập trên ta có:
8. 1 1 1 1 1 1 = . 1 = 16 2 1984 17 18 2000 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000 1 1 1 1 1 1 = 1 16 2 16 1985 1986 2000 Vậy A = B 1 1 1 1 1 Bài 7. Chứng tỏ rằng: với mọi n N 5 13 25 n2 n 1 2 2 Lời giải Ta không thể áp dụng ngay cách làm của các bài tập trên, mà ta thấy: 1 2 1 2 1 2 1 2 ; ; ta phải so sánh: với: 5 2.4 13 4.6 25 6.8 n2 (n 1)2 2n(2n 1) 1 1 1 2 1 1 Thật vậy: = còn n2 (n 1)2 n2 (n 1)2 2n2 2n 1 2n(2n 2) n(2n 2) 2n2 2n 1 2 nên hiển nhiên < n N . n2 (n 1)2 2n(2n 1) 1 1 1 1 2 2 2 2 Vậy ta có: 5 13 25 n2 n 1 2 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 Mà: ; ; nên: 2.4 2 4 4.6 4 6 6.8 6 8 2n(2n 2) 2n 2n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2 2 2n 2 2 là hiển nhiên với mọi số tự nhiên n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy: hay 5 13 25 n2 (n 1)2 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2 1 1 1 1 1 5 13 25 n2 (n 1)2 2 3 5 2n 1 Bài 9. Tính giá trị của biểu thức M = (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có ngay: M = 12 22 22 32 (n 1)2 n2 n2 (n 1)2 1 (n 1)2 1 (n 1)(n 1) 1 n2 2n 1 1 n2 2n n(n 2) = 1 = (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2
9. 1 1 1 1 1 1 1 1 A = = 1 = 1.2 3.4 2005.2006 2 3 4 2005 2006 1 1 1 1 1 1 1 = 1 = 3 5 2005 2 4 6 2006 1 1 1 1 1 1 1 = 1 - 2 = 2 3 4 2006 2 4 2006 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 - 1 = 2 3 4 2006 2 3 4 1003 1 1 1 = 1004 1005 2006 2 1 1 1 A 3010 Còn B = 1505 Z 3010 1004 1005 2006 B 2 Như vậy, ở phần này ta đã giải quyết được một lượng lớn các bài tập về dãy số ở dạng phân số. Tuy nhiên đó là các bài tập nhìn chung không hề đơn giản. Vì vậy để áp dụng có hiệu quả thì chúng ta cần linh hoạt trong việc biến đổi theo các hướng sau: 1 - Nếu mẫu là một tích thì bằng mọi cách biến đổi thành hiệu các phân số, từ đó ta rút gọn được biểu thức rồi tính được giá trị. 2 - Đối với các bài tập chứng minh ta cũng có thể áp dụng cách làm về tính giá trị của dãy số, từ đó ta có thể biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng quen thuộc Một số bài toán khác n2 n 1 Bài 8. Với n N *, kí hiệu a ( 1)n  . n n! Hãy tính tổng a1 + a2 + a3 + + a2007 Lời giải 2 2 n n n 1 n n n 1 n n n 1 Ta thấy: n N * thì: an ( 1)  = ( 1)  ( 1)  n! n! n! (n 1) n! 2 3 3 4 2006 2007 Do đó: a1 + a2 + a3 + + a2007 = a1 + - 1! 2! 2! 3! 2005! 2006! 2006 2007 2 2007 2007 - 3 1 2005! 2006! 1! 2006! 2006! 1 2 3 1992 Bài 9. Xét biểu thức: S = Chứng minh rằng S < 4 20 21 22 21991 Lời giải 2 4 3 4 1992 2 1 3 1 1991 1 Ta có: 2S = 0 1 1 2 1990 4 2 2 990 1990 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
10. 1 1 1 1 1 8. Chứng minh rằng: S = 22 42 62 2002 2
11. Kết luận Trên đây là một số bài toán cơ bản về giá trị của dãy số, đó là một vấn đề tương đối khó đối với học sinh khá ở lớp 6, 7. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, sau khi tôi cho các em được tiếp xúc, được giải các bài tập một cách có hệ thống những bài tập trong chuyên đề này thì các em đã không gặp phải khó khăn trong việc vận dụng kiến thức để giải toán. Nhất là việc giải các bài tập ở cùng thể loại nhưng ở các mức độ cao hơn, ở các khối lớp 8; 9 và các bậc học sau thì đây là những cơ sở vững chắc để các em có thể làm chủ được kiến thức về phần dãy số. Qua quá trình giảng dạy cũng như sự trao đổi với các đồng nghiệp, tôi nghĩ rằng việc phổ biến chuyên đề này cũng sẽ góp phần trang bị thêm cho các em một mảng kiến thức tương đối quan trọng ở bậc học, tạo những suy luận mang tính lôgíc, tổng quát hoá các bài toán (một vấn đề quan trọng trong việc học toán). Hình thành năng lực sáng tạo, phát triển tư duy, không ngừng thúc đẩy việc tạo nên những bài toán mới, tạo nên sự suy nghĩ theo những chiều hướng khác nhau có lợi trong việc tìm ra lời giải một bài toán. Trên đây là một số bài toán và một số kinh nghiệm trong việc góp phần bồi dưỡng kiến thức toán học cho các em học sinh. Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu, sưu tầm và trình bày không tránh khỏi nhiều hạn chế, rất mong sự đóng góp của các đồng nghiệp và nhều độc giả, tôi xin chân thành cảm ơn! Ngày tháng năm 2007 tác giả