Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng tốt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán Lớp 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng tốt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số dạng toán Lớp 7

1. KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG TỐT TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LỚP 7 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Bối cảnh của đề tài Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THCS đặc biệt là lớp 7, khi học về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi nhận thấy việc áp dụng lí thuyết vào giải một số bài tập còn nhiều hạn chế: chưa linh hoạt trong quá trình giải bài tập, học sinh ít đi sâu nghiên cứu kiến thức đã học, việc giải bài tập còn nhiều lúng túng, vận dụng kiến thức không phù hợp. Xuất phát từ thực tế này, tôi đã tiến hành phân loại các bài toán theo những đặc trưng riêng của nó, đưa ra cách giải chung nhất cho từng dạng toán nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế trên. Hơn nữa để giúp học sinh chuyên cần hơn, yêu thích, say mê môn học hơn, trong quá trình giảng dạy, tôi thấy cần thiết phải khai thác, phát triển, mở rộng kiến thức cơ bản. Với lượng kiến thức của học sinh mới vào lớp 7, các em đã có trong tay một số kĩ năng giải toán như biến đổi các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa. Nhưng rất nhiều khó khăn mà các em sẽ gặp phải khi học và làm các bài tập đòi hỏi khả năng phân tích, sự tư duy, sáng tạo. Như vậy, rất cần thiết phải trang bị tri thức, phương pháp để các em không còn cảm thấy lúng túng, ngại khó khi gặp một số bài toán khá phức tạp. 2. Thực trạng của vấn đề Qua thực tế giảng dạy môn Toán 7, đặc biệt khi hướng dẫn học sinh giải các dạng bài tập về dãy tỉ số bằng nhau, tôi nhận thấy ở học sinh còn tồn tại một số hạn chế sau: - Chưa vận dụng hợp lí kiến thức đã học vào các dạng bài tập cụ thể. - Thường tỏ ra lúng túng, ngại suy nghĩ khi gặp các dạng bài tập mới, đòi hỏi khả năng tư duy, lập luận logic, tính sáng tạo, tổng hợp kiến thức. - Chưa hiểu rõ tính chất, chưa nắm được một số kiến thức cơ bản dẫn đến việc nhầm lẫn trong quá trình biến đổi, thiếu sót khi kết luận. - Nhiều em chưa xác định được các bài toán cùng dạng, chưa tổng quát được bài toán để tìm ra cách giải chung cho từng dạng toán. - Khả năng quan sát bài toán chưa tốt, chưa linh hoạt vận dụng kiến thức, hướng giải quyết bài toán còn hạn chế. 3. Lí do chọn đề tài Trước thực trạng trên, tôi đã luôn trăn trở, tìm hiểu và nghiên cứu để tìm ra được biện pháp nhằm khắc phục những hạn chế trên, giúp học sinh đạt được kết quả tốt hơn trong học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. 2
2. 2. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm của hoạt động sư phạm. - Phương pháp nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giáo dục. - Phương pháp nêu và giải quyết vấn đề. - Nghiên cứu hệ thống các bài tập cùng dạng, phát triển tư duy học sinh. 3. Mục đích nghiên cứu - Phát huy những tiềm năng toán học ở học sinh. - Nâng cao chất lượng học tập môn toán. - Được trau dồi kiến thức, rèn luyện kĩ năng, nâng cao về chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm. - Được chia sẻ, trao đổi với đồng nghiệp trong cùng bộ môn. 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu Phạm vi triển khai: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả các giáo viên dạy Toán cấp THCS, học sinh yêu thích bộ môn toán. Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Các vấn đề được trình bày trong đề tài này là các chuyên đề sắp xếp theo từng dạng toán, mỗi dạng có phương pháp giải và một số bài tập áp dụng mà tôi đã tích lũy được trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu. Đối tượng áp dụng: Tất cả các đối tượng học sinh từ trung bình đến những học sinh khá, giỏi với một hệ thống bài tập đã được sắp xếp từ dễ đến khó. 5. Nội dung thực hiện 5.1. Ôn tập kiến thức cơ bản 5.1.1 Tỉ lệ thức a) Định nghĩa a c Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số . b d Trong đó: a,b,c,d là các số hạng. a,d gọi là ngoại tỉ. b,c gọi là trung tỉ. b) Tính chất Tính chất 1 a c Nếu thì a.d b.c . b d Tính chất 2 Nếu a.d b.c và a,b,c,d 0 thì ta có: a c a b d c d b ; ; ; b d c d b a c a 4
3. a c Cách 2: Đặt k a k.b , c k.d b d Khi đó: a kb kb k a b kb b b k 1 k 1 c kd kd k c d kd d d k 1 k 1 a c Vậy: a b c d a c Cách 3: Có ad bc ac ad ac bc a c d c a b b d a c a b c d Đối với cách 3, thông thường học sinh khó nhận ra được trong quá trình biến đổi. Tuy nhiên, giáo viên cũng cần hướng dẫn nhằm giúp những học sinh khá giỏi có thêm hướng biến đổi trong việc giải toán về chứng minh tỉ lệ thức. a c 2a 3b 2c 3d Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng: b d 2a 3b 2c 3d Ở dạng bài này, để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, học sinh cần phải vận dụng được một số tính chất cơ bản để biến đổi trước một bước như sau: a c a b 2a 3b Có b d c d 2c 3d Nếu học sinh chưa phát hiện ra cách làm, giáo viên có thể hướng dẫn sau đó yêu cầu học sinh áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để suy ra điều phải chứng minh. Hướng dẫn Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2a 3b 2c 3d 2a 3b 2c 3d Vậy 2a 3b 2c 3d a2 b2 a Ví dụ 3: Cho b2 ac . Chứng minh rằng: b2 c2 c Ở bài này, học sinh dễ dàng nhận biết được b2 b.b, từ đó giáo viên có thể gợi ý cho học sinh áp dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau để suy ra điều phải chứng minh. n n a c a c Giáo viên có thể gợi ý thêm nếu n N . b d b d 6
4. 5 x x x x x x x x x x Giáo viên gợi ý để học sinh suy ra 1 . 2 . 3 . 4 . 5 1 2 3 4 5 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x4 x5 x6 5 x1 x1 x2 x3 x4 x5 Từ đó suy ra x6 x2 x3 x4 x5 x6 Qua các ví dụ trên, tôi nhận thấy với dạng bài tập này, học sinh cần phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, kết hợp với dữ kiện đã cho để đi đến điều phải chứng minh. Có nhiều cách để chứng minh một tỉ lệ thức, song giáo viên cần lựa chọn cách phù hợp nhất với khả năng nhận thức của từng đối tượng học sinh giúp các em dễ hiểu, dễ trình bày. 6.1.3. Bài tập tự luyện a c 5a 3b 5a 3b Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: . b d 5c 3d 5c 3d a b c a Bài 2: Chứng minh rằng: nếu a2 bc thì . a b c a a c a2 b2 ab Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: . b d c2 d 2 cd a c 7a2 3ab 7c2 3cd Bài 4: Cho với a,b,c,d 0. Chứng minh rằng: . b d 11a2 8b2 11c2 8d 2 Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu a c 2b và 2bd c b d . a b c a3 b3 c3 a Bài 6: Cho . Chứng minh rằng: . b c d b3 c3 d 3 d 2 2 Bài 7: Cho bốn số khác 0 là: a1,a2 ,a3,a4 thỏa mãn a2 a1.a3 và a3 a2.a4 . 3 3 3 a1 a2 a3 a1 Chứng minnh rằng: 3 3 3 . a2 a3 a4 a4 k m n k Bài 8: Cho k,m,n N* . Chứng minh rằng: Nếu k 2 m.n thì . k m n k 6.2. Dạng 2: Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau 6.2.1. Phương pháp giải - Chủ yếu áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau (tùy vào điều kiện đã cho của bài toán). - Trong nhiều trường hợp, chúng ta cần áp dụng các tính chất của tỉ lệ thức để biến đổi điều kiện đã cho sau đó mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau một cách dễ dàng hơn. - Trong quá trình biến đổi cần lưu ý đến dấu của số cần tìm, trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích của hai số để tránh tìm ra đáp án không thỏa yêu cầu của bài toán. Cũng cần lưu ý đến các trường hợp có thể xảy ra để tránh bỏ sót những giá trị cần tìm. 6.2.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm hai số x, y biết: 8
5. x2 4 x2 25.4 100 x 10 25 y2 4 y2 16.4 64 y 8 16 Vậy: x 10 , y 8 hoặc x 10, y 8 Lưu ý: Trong trường hợp này, x và y cùng dấu nhằm giúp học sinh có kết luận chính xác về các giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết: y z a) x và 4x 3y 2z 36 2 3 Ở dạng bài này, giáo viên gợi ý cho học sinh làm xuất hiện 4x , 3y , 2z . Khi đó, bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Hướng dẫn y z 4x 3y 2z Có x 2 3 4 6 6 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4x 3y 2z 4x 3y 2z 36 9 4 6 6 4 6 6 4 Do đó: x 9 y 9 y 2.9 18 2 z 9 z 3.9 27 3 Vậy x 9 , y 18 , z 27 x y y z b) ; và x y z 69 5 6 8 7 Bài này có đến hai dãy tỉ số bằng nhau. Giáo viên cần hướng dẫn để học sinh đưa về một dãy tỉ số bằng nhau, từ đó học sinh có thể tự áp dụng tính chất để tìm ra đáp án. Hướng dẫn x y x y Có 5 6 20 24 y z y z và . 8 7 24 21 x y z Do đó: 20 24 21 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x y z 69 3 20 24 21 20 24 21 23 Vậy: x 20.3 60 , y 24.3 72 , z 21.3 63 c) 2x 3y; 5y 7z và 3x 5z 7y 30 10
6. x y a) và x4 y4 16 2 4 Hướng dẫn x y Đặt k x 2k , y 4k 2 4 4 4 4 1 Vì x4 y4 16 nên 2k . 4k 16 8k 2 24 8k 2 2 k 2 1 1 1 Với k x 2. 1, y 4. 2 2 2 2 1 1 1 Với k x 2. 1, y 4. 2 2 2 2 Vậy x 1, y 2 hoặc x 1, y 2 Giáo viên cũng có thể hướng dẫn theo cách: làm xuất hiện x4 , y4 sau đó giải theo phương pháp tìm hai số khi biết tích và tỉ số của chúng. Tuy nhiên, dù giải theo cách nào thì giáo viên cũng cần giúp học sinh nhận xét được “ x và y là hai số cùng dấu” để có kết luận chính xác. y2 x2 x2 y2 b) và x10 y10 1024 3 5 Đây là dạng toán khá khó đối với học sinh, có thể dùng để dạy nâng cao cho những học sinh khá, giỏi. Hướng dẫn Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 x2 x2 y2 x y y x x y y x 3 5 5 3 5 3 2y2 2x2 y2 x2 y2 4x2 8 2 4 5 Vì x10 y10 1024 nên x10. 4x2 1024 1024 210 x20 1 45 210 x 1 y 2 Giáo viên cần gợi ý cho học sinh nhận xét được hai số x , y có thể cùng dấu hoặc trái dấu để có kết luận đầy đủ các giá trị cần tìm. Vậy x 1, y 2 hoặc x 1, y 2 hoặc x 1, y 2 hoặc x 1, y 2 2x 1 3y 2 2x 3y 1 c) 5 7 6x Đề bài chỉ cho một dãy tỉ số bằng nhau mà không có thêm một mối quan hệ của hai số x và y như các dạng bài đã gặp. Học sinh có thể sẽ thấy trở ngại về điều đó và vị trí của x trong dãy tỉ số bằng nhau. Giáo viên gợi ý để học sinh nhận xét được mối quan hệ giữa 2x 1, 3y 2 và 2x 3y 1, khi đó bài toán gần như đã được giải quyết. 12
7. 6.3. Dạng 3: Bài toán có lời văn 6.3.1. Phương pháp giải - Dùng dãy tỉ số bằng nhau để chuyển lời văn của bài toán thành biểu thức đại số để tính toán. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tìm ra đáp án. - Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết của bài toán thì cần đặt điều kiện và đơn vị (nếu có) của kí hiệu đó. Khi tìm được kết quả cần đối chiếu với điều kiện xem nó có thỏa mãn không để có kết luận chính xác nhất. 6.3.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Một cửa hàng có ba tấm vải dài tổng cộng 126m. Sau khi bán đi 1 2 3 tấm vải thứ nhất, tấm vải thứ hai và tấm vải thứ ba thì số vải còn lại ở ba 2 3 4 tấm vải bằng nhau. Hãy tính chiều dài của mỗi tấm vải lúc ban đầu. Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở để học sinh tìm lời giải. Sau đó yêu cầu học sinh gọi các kí hiệu là dữ liệu cần tìm. Chú ý với học sinh về đơn vị và điều kiện của kí hiệu đó. Hướng dẫn Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a(m), b(m), c(m) (a, b, c > 0). Giáo viên yêu cầu học sinh xác định số mét vải còn lại ở mỗi tấm vải sau khi bán và dùng dãy tỉ số bằng nhau để diễn đạt lại bài toán. 1 Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ nhất là: a (m) 2 1 Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ hai là: b (m) 3 1 Số mét vải còn lại ở tấm vải thứ ba là: c (m) 4 1 1 1 Theo đề bài ta có: a b c và a b c 126 2 3 4 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a b c 126 14 2 3 4 2 3 4 9 Do đó : a 14 a 2.14 28 2 b 14 b 3.14 42 3 c 14 c 4.14 56 4 Lưu ý với học sinh đối chiếu lại điều kiện của các kí hiệu đã gọi để có kết luận chính xác. Vậy chiều dài của mỗi tấm vải lúc ban đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m. 14
8. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a a x a x a x 1 b b x b x b x Đây là một dạng toán khó đối với học sinh, ngay cả với những học sinh khá giỏi, khó ở việc dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại lời văn của bài toán. Giáo viên cần phải kiên trì hướng dẫn từng bước, từ việc phân tích ban đầu để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng, rồi đến cách gọi kí hiệu kèm thêm đơn vị và điều kiện của kí hiệu, đặc biệt là kết luận phải chính xác với yêu cầu của đề bài. 6.3.3. Bài tập tự luyện Bài 1: Số học sinh của ba khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh của mỗi khối, biết rằng số học sinh của khối 8 ít hơn số học sinh của khối 6 là 50 học sinh. Bài 2: Học sinh của lớp 7A được chia thành ba tổ tỉ lệ với 2, 3, 4. Tìm số học sinh mỗi tổ, biết lớp 7A có 45 học sinh. Bài 3: Một trường có ba lớp 6. Biết rằng 2 số học sinh của lớp 6A bằng số học 3 sinh của lớp 6B và bằng 4 số học sinh của của lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít 5 hơn tổng số học sinh của hai lớp kia là 57 học. Tính số học sinh của mỗi lớp. Bài 4: Ba thửa đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Chiều rộng của các thửa thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 22,5m; 20m; 18m. Chiều dài thửa thứ nhất kém chiều dài thửa thứ hai là 5m. Hãy tính chu vi của mỗi thửa đất đó. Bài 5: Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau. Công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc với thời gian lần lượt là 9 giờ, 6 giờ, 7 giờ 30 phút. Hỏi trong 1 giờ mỗi công nhân sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng trong 1 giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều hơn công nhân thứ nhất là 3 sản phẩm. 6.4. Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức 6.4.1. Phương pháp giải - Chủ yếu áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi biểu thức và tìm ra giá trị của biểu thức. - Ở dạng toán này đòi hỏi cần có khả năng quan sát, dự đoán kết quả, từ đó tìm ra được hướng biến đổi phù hợp. 6.4.2. Một số ví dụ x y z Ví dụ 1: Cho x, y, z thỏa mãn: ( x, y, z 0 ). 2 5 7 x y z Tính: P = x 2y z 16
9. Đây là một dạng bài toán khó. Học sinh chỉ quen với cách tính trên dãy tỉ số bằng nhau, mà biểu thức M thì không phải ở dạng này. Giáo viên có thể hướng dẫn bài này để giúp cho những học sinh khá, giỏi có thêm kiến thức về tính giá trị của biểu thức. Hướng dẫn x y z t Có: y z t z t x t x y x y z x y z t 1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z x y z t x y z t x y z t x y z t hay y z t z t x t x y x y z Nếu x y z t 0 thì y z t z t x t x y x y z x y z t x y y z z t t x Khi đó: M = 1 1 1 1 4 z t t x x y y z Nếu x y z t 0 thì x y (z t) và y z (x t) x y y z z t t x Khi đó: M = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 z t t x x y y z Vậy: M = 4 khi x y z t 0. M = 4 khi x y z t 0 . Các dạng bài tập về tính giá trị của biểu thức như trên gây khá nhiều khó khăn cho học sinh bởi những suy luận logic và tính phức tạp của nó. Song với sự nhiệt tình, kiên trì hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ có được cảm giác của người khám phá ra những điều thú vị, cảm xúc của người chiến thắng. Điều đó góp phần kích thích học sinh, tạo sự hứng thú cho các em trên con đường chinh phục các bài toán tiếp theo. 6.4.3. Bài tập tự luyện x 2y 3z Bài 1: Cho A= . Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3. x 2y 3z a b c b c d c d a d a b Bài 2: Cho 4 tỉ số bằng nhau: d a b c Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên. a b b c c d d a Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: N = c d d a a b b c 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Biết rằng: a b c d 6x2 y2 x y Bài 4: Giá trị của biểu thức A với ; x, y 0 . Tính A. 15x2 3y2 5 2 8x 2y 5z Bài 5: Cho P với x : y : z = 3 : 2 : 1. Tính giá trị của biểu thức P. 6x 4y 7z 18