Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản

1. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản Phần a - đặt vấn đề Giáo dục học sinh theo hướng toàn diện là một định hướng chung, song việc bồi dưỡng học sinh mũi nhọn cũng cần phải được quan tâm một cách đúng mức ở mỗi khối lớp Việc hướng dẫn học sinh khá giỏi giải một bài toán để đi đến kết quả với những người thày giáo không gặp khó khăn nhiều. Nhưng việc phát huy tính sáng tạo vốn có của các em học sinh khá giỏi là điều chúng ta cần quan tâm hơn. Qua qua trình dạy học sinh khá giỏi tại trường và dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia thi học sinh giỏi cấp huyện tôi thấy việc nhận thức về tư duy toán học của đa số học sinh còn rất mờ nhạt. Học sinh ít suy nghĩ, tìm tòi giải toán nhất là các bài toán yêu cầu tính kiên trì, sự sáng tạo cao, do đó chưa phát huy hết khả năng, tố chất của các em. Rất nhiều em khá giỏi nhưng khi gặp những bài toán mới, mặc dù chỉ là những bài toán được khai thác, phát triển từ bài toán cơ bản quen thuộc nhưng các em vẫn rất lạ lẫm, lúng túng dẫn đến kết quả của các đội tuyển của chúng ta khi bồi dưỡng chưa được như mong muốn. Do đó, mỗi giáo viên chúng ta luôn trăn trở là làm thế nào để khi bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi có thể phát huy được tối đa tố chất, sự sáng tạo của các em, từ đó có kết quả tốt nhất. Trong phạm vi nhỏ hẹp này, tôi xin mạnh dạn đưa ra ý kiến và trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp cũng như đối với các em học sinh giỏi có điều kiện nghiên cứu, một kinh nghiệm của mình về việc khai thác và phát triển từ một bài toán cơ bản, quen thuộc. 1
2. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản Phần b - giảI quyết vấn đề I . các bài toán cơ bản và một số hướng khai thác, phát triển bằng cách đổi biến. Có nhiều bài toán gốc và càng nhiều cách khai thác, phát triển khác nhau. Sau đây Tôi xin giới thiệu một phương pháp đổi biến thường gặp . Trong kinh nghiệm này Tôi không đề cập đến việc hình thành kỹ năng giải của học sinh và cách trình bày mà chỉ đưa ra hướng khai thác, phát triển bài toán. *Ta bắt đầu từ bài toán cơ bản, quen thuộc sau: Bài toán 1: Cho 3 số a, b, c. Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 ab bc ca a b c Hướng dẫn giải: a 2 b 2 c 2 ab bc ca ⇔ 2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca ⇔ a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 0 2 2 2 ⇔ a b b c c a 0 Vì ( a – b )2 ≥ 0 ; ( b – c)2 ≥ 0 ; ( c- a)2 ≥ 0  a ; b ; c Dấu bằng xảy ra khi : a b 0 a b b c 0 b c a b c c a 0 c a * Để tạo hứng thú cho học sinh, giáo viên đưa ra bài toán mới : 2
3. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản Bài 1.1: Giải hệ phương trình sau: x2 y2 z2 xy yz zx 2007 2007 2007 2008 x y z 3 Hướng dẫn: Như vậy học sinh chỉ cần phát hiện ra từ kết quả của bài toán trước a 2 b 2 c 2 ab bc ca a b c x2 y2 z2 xy yz zx x y z x2007 y2007 z2007 3x2007 3y2007 3z2007 32008 x y z 3 Vậy nghiệm của hệ là: (x; y; z) = ( 3; 3; 3) Học sinh hiểu rằng việc thay vai trò của a, b, c bằng x, y, z để bài toán trở về bài toán quen thuộc. * Từ bài toán này người thày có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ và tạo ra một điều lý thú thông qua bài toán sau: Bài 1.2: Tìm 3 số a , b , c (khác 0) biết rằng: a b c 2abc 1 1 1 Và 2 a 2 b 2 c 2 Hướng dẫn: a b c Từ: a b c 2abc 2 abc 1 1 1 2 bc ac ab 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó suy ra: a 2 b 2 c 2 bc ac ab a b c 3
4. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản 3 a b c 2 ( áp dụng kết quả bài toán 1 ) * Để tạo hứng thú học tập của học sinh ta khai thác bài toán trên bằng cách đổi biến : 1 1 a 2 a 2 x x 1 2 1 Đặt : b b 2 y y 1 1 c c 2 z z 2 Khi đó ta đưa ra bài toán mới: Bài 1.3: 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: x y z 0 x 2 y 2 z 2 xy yz zx Hướng dẫn: 1 a x 1 Dựa vào cách đặt b y 1 c z Bài toán trở về bài toán 1: a2 b2 c2 ab bc ca a b c 1 1 1 Tức là: x y z 0 x y z * Trên cơ sở hằng đẳng thức giáo viên có thể hướng dẫn học sinh khai thác bài toán thông qua chi tiết sau đây: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx 4
5. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản Ta có bài toán sau: Bài 1.4: Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 3 x y z 1 1 1 3 xy yz zx Khi tiếp cận với bài toán đối với học sinh khá giỏi sẽ nhận ra bài toán quen thuộc: ( Thay x; y; z bằng vai trò của a; b; c ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx 1 1 1 9 2.3 x 2 y 2 z 2 1 1 1 3 x 2 y 2 z 2 1 1 1 1 1 1 Do đó: ( 3) x2 y2 z2 xy yz zx Như vậy bài toán trở về bài toán đã biết. 1 1 1 1 1 1 x y z 1 x 2 y 2 z 2 xy yz zx Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) = ( 1; 1; 1 ) 1 1 1 1 1 1 ( áp dụng kết quả: a b c ) a 2 b 2 c 2 bc ac ab * Giáo viên có thể đặt ra bài toán ở một mức độ yêu cầu cao hơn: 5
6. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản Bài 1.5: Giải hệ phương trình sau: abc 1 a b c b 4 c 4 a 4 2 2 2 2 2 2 b c a a b c Hướng dẫn: a x b 2 b 1 1 1 b 4 c 4 a 4 Đặt y 2 2 2 2 2 2 2 c x y z a b c c z 2 a suy ra: xyz abc 1 Bài toán trở về giải hệ phương trình : xyz 1 1 1 1 x y z 2 2 2 x y z Học sinh rễ dàng chỉ ra được kết quả: x y z 1 Bài toán 2: Cho 3 số dương a; b; c. Chứng minh rằng : a b b c c a 8abc Hướng dẫn giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: a b 2 ab(1) 2 2 2 b c 2 bc(2) a b b c c a 8 a b c ( Vì các vế c a 2 ca(3) của các BĐT (1); (2); (3) đều dương) a b b c c a 8abc (đpcm) 6
7. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản Việc học sinh giải bài toán đã cho không gặp nhiều khó khăn đối với học sinh khá giỏi bằng cách các em áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương. Mà vấn đề ở đây là thày cần giúp học sinh khai thác bài toán để đưa ra bài toán mới. * Hãy làm thao tác đổi biến của bài toán trên để được một kết quả lý thú hơn: x a b Đặt: y b c xyz a b b c c a z c a x y z 2b y z x 2c x y z y z x z x y 8abc z x y 2a Như vậy sau khi giải bài toán 2 xong ta đề cập đến bài toán sau: Bài 2.1: Cho x; y; z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: x y z y z x z x y xyz Để giải bài toán 2.1 học sinh chỉ việc đưa về bài toán 2 * Ta thấy bài toán 2.1 thoả mãn với x; y; z là 3 số dương nên ta mở rộng bài toán 2.1 thành bài toán mới: Bài 2.2: Cho x; y; z là 3 số dương. Chứng minh rằng: x y z y z x z x y xyz Hướng dẫn: Để giải bài toán này học sinh phải xét hai trường hợp: Trường hợp 1: x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác ( Học sinh giải quyết như bài toán 2.1) Trường hợp 2: x, y, z không là độ dài 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ xảy ra các khả năng sau: x y z; y z x; z y x; a, Nếu x y z thì: 7
8. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản x y z y z y z 2y y z x y z y z 0 x z y z y z y 2z x y z y z x z x y 0 Mà xyz 0 ( Vì x 0; y 0; z 0 ) Suy ra: x y z y z x z x y xyz b, Nếu y z x Tương tự điều chứng minh trên( phần a,). c, Nếu z y x Tương tự điều chứng minh trên(phần a,). Như vậy bài toán đã được giải quyết một cách nhẹ nhàng hơn. * Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh mở rộng bài toán trên ( Không dừng lại ở độ dài 3 cạnh của một tam giác ) xyz x y z y z x z x y (Chia hai vế cho xyz ) x y z y z x z x y 1 z x y x y z y z x z x y 1 z z z x x x y y y x y y z z x 1 1 1 1 z z x x y y Bài 2.3: Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a.b.c = 1 1 1 1 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 1 b c a Hướng dẫn: x a y y x y z Đặt: b abc   1 z y z x z c x 8
9. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản Bài toán trở về bài toán trên không gặp khó khăn đối với học sinh khá giỏi. Đề xuất một số bài toán áp dụng: Bài 1: Cho 3 số a, b, c dương với: a + b + c = S. s 2 s 2 s 2 1 1 1 83 Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c Bài 2: Giải hệ phương trình: 1 1 1 51 x y z x y z 4 2 2 2 1 1 1 771 x y z 2 2 2 x y z 16 ii. kết quả thực hiện: Sau khi thực nghiệm đề tài: “ Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản”, tôi thấy các em học sinh khá giỏi nắm chắc các dạng bài tập, các em linh hoạt, tự tin, sáng tạo và hứng thú hơn trong học tập. Các em nhìn nhận các bài toán một cách rộng hơn, sâu sắc hơn yêu thích bộ môn toán hơn và đặc biệt các em đã đạt kết quả tốt trong kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp. Để đạt được kết quả như vậy, đầu tiên phải có sự nỗ lực, cố gắng của chính bản thân các em, các em giải bài tập một cách chủ động, tích cực. Bên cạnh đó thầy phải tăng cường đưa ra các bài tập để các em tìm tòi, khám phá, thầy phải định hướng phân dạng, đặc biệt hướng dẫn các em cách phân tích , khai thác và phát triển bài toán, từ các bài toán cơ bản quen thuộc có thể khai thác, phát triển thành những bài toán mới. iii - bài học kinh nghiệm Khi thực nghiệm đề tài này, để đạt hiệu quả cao nhất cần phải có các điều kiện sau: 1. Về phía giáo viên : * Cần có lòng say mê, nhiệt huyết trong việc bồi dưỡng mũi nhọn, chịu khó nghiên cứu tìm tòi, học hỏi, sưu tầm các bài toán hay và khó để rèn luyện tư duy, mở rộng vốn kiến thức của mình. 9
10. SKKN Khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản * Cần chuẩn bị các tình huống có vấn đề gây sự tò mò hứng thú cho học sinh để phát huy trí lực cho các em. * Khi gặp các tình huống có vấn đề cần xử lý linh hoạt, sáng tạo. * Cần kiểm tra thường xuyên sự chuẩn bị của học sinh để động viên khích lệ các em trong quá trình học tập, bồi dưỡng. 2. Về phía học sinh : * Phải chủ động, tự giác, quyết tâm và phát huy tính cực trong học tập của mình. * Cần có vốn kiến thức vững vàng, có tố chất * Cần chuẩn bị thật kỹ bài, đầu tư nhiều thời gian, phải phân tích thật kỹ các bài toán và cần có tính kiên trì trong học tập. 3. Về phía nhà trường: * Phải có nề nếp và phong trào học tập tốt. * Phải quan tâm và đầu tư về mọi mặt cho các hoạt động dạy và học, đặc biệt là đầu tư và quan tâm tốt cho việc bồi dưỡng mũi nhọn. Phần c – Kết luận và kiến nghị * Trong quá trình bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi, giáo viên thường nhận thấy đa số học sinh chỉ lo đi tìm lời giải của từng bài toán cụ thể mà ít đi sâu nghiên cứu, khai thác, phát triển từ các bài toán đó, liên hệ với các bài toán khác . Nhiều em có khả năng suy luận, phán đoán tình huống nhanh nhưng ít khi khai thác và tìm tòi thêm kiến thức mới. Do đó việc khai thác, phát triển và mở rộng kiến thức, từ các bài toán cơ bản nhằm thúc đảy phát triển tư duy toán học là việc mà mỗi giáo viên khi bồi dưỡng mũi nhọn cần quan tâm. Đi theo hướng như vậy, tôi đã giúp đội tuyển học sinh khá giỏi học tập tốt hơn, hiệu quả hơn. Không những thế mà 10