Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS

1. Phần I : Đặt vấn đề Giải toán là một nghệ thuật thực hành . Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập Toán và tìm ra được quy luật bài toán phải qua quá trình luyện tập . Tuy rằng không phải cứ giải bài tập là có kỹ năng hay tìm ra được quy luật. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả , nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự , nhằm vận dụng một tính chất nào đó hay khái quát được cách giải chocho loại bài tập cùng dạng hoặc có dạng tương tự. Thực tế cho thấy học sinh học Toán thường không chú ý đến đặc điểm bài toán, phương pháp giải nên khi gặp bài toán có sử dụng phương pháp giải tương tự còn gặp nhiều khó khăn ,lúng túng,thậm chí không biết cách giải như thế nào.Điều đó càng khẳng định rằng “không thầy đố mày làm nên”.Nếu như không có sự hướng dẫn của giáo viên thì người học không có được một phương pháp hay một kết quả tốt.Chứng tỏ phương pháp học đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong học tập. Chính vì vậy để nâng cao chất lượng bộ môn toán và lôi cuốn được niềm đam mê,sự yêu thích dành cho bộ môn Toán tôi đã tiến hành soạn ra đề tài : “Khai thác các ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS”. Phần II. Giải quyết vấn đề 1. Cơ sở lý luận của đề tài : Giải bài tập toán là một quá trình suy luận ,nhằm khám phá ra các quá trình logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) .Nhưng các quy tắc suy luận cũng như các chứng minh chưa được tường minh .Do đó , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập . Thực tiễn dạy học cũng cho thấy : học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức ,phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệmvà từ đó có thể tìm ra được quy luật cho bài toán. ; còn học sinh trung bình, yếu , kém gặp nhiều lúng túng . Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình rèn luyện. Tuy rằng ,không phải cứ giải nhiều bài tập là học sinh nào cũng có thể tìm ra được quy luật của bài toán . Việc luyện tập có nhiều hiệu quả ,nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự ,nhằm vận dụng một tính chất nào đó ,nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó . Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng , song quan trọng hơn là khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải .Sự thực là khi giải bài tập không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loại vấn đề nào đó . Vì vậy , hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó . Nếu ta chú ý mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của một vấn đề nào đó là gì thì ta có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và mở rộng ra : “ Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác “ . Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý hướng khai thác,cách giảivà quy luật bài toán 2. Thực trạng của vấn đề: * Đối với giáo viên: 1
2. Đa số giáo viên luôn quan tâm,nghiên cứu,tìm tòi để có phương pháp hay truyền đạt kiến thức đến các em một cách dễ hiểu nhất.Bên cạnh đó vẫn còn giáo viên chưa đi sâu tìm hiểu đối tượng học sinh,chưa tìm tòi nghiên cứu để tìm ra phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh lớp dạy, còn có cách nghĩ chủ quan,áp đặt đối với học sinh dẫn đến nội dung dạy chỉ bám sát vào sách giáo khoa và chuẩn kiến thức mà chưa nâng cao mở rộng,hoăc có đưa ra dạng toán nâng cao mở rộng thì chưa phong phú dạng bài hoặc chỉ đưa ra để giới thiệu chứ chưa đi sâu ,chưa hướng dẫn các em cách khai thác dạng toán có phương pháp giải tương tự,chưa chỉ ra cho các em phương pháp khai thác,tìm đặc điểm của bài toán ,vận dụng,tìm mối liên hệ giữa các bài toán,dạng toán tương tự. *Đối với học sinh: Thực tế là đa số học sinh khi giải bài tập toán chỉ đơn thuần là tìm ra đáp số hay giải đúng là được ,kể cả học sinh khá giỏi hay trung bình yếu. Các em chưa có thói quen quan sát đặc điểm bài toán rồi mới đưa ra phương pháp giải,chứ chưa nói đến việc mà các em biết tìm mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác ,để từ đó có phương pháp giải hợp lý nhất hay vận dụng phương pháp từ bài toán này sang bài toán khác có dạng tương tự,khai thác từ bài toán này sang bài toán khác,vận dụng kết quả từ bài toán này sang bài toán khác , .Vì vậy,qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy tôi thấy để học sinh đạt được kết quả học tập tốt thì các em phải có phương pháp giải toán tốt .Đó là biêt quan sát, biêt dụng ,biêt khai thác bài toán có dạng tương tự,từ đó tìm ra quy luật chung. Do đó,khi chưa hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS mà chỉ hướng dẫn một bài cụ thể.Đa số các em khi gặp loại toán tương tự không biết cách áp dụng mà loai hoay không biết cách giải,kêt quả cụ thể : Lớp TS Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 6A 15 0 0 0 0 4 26,67 4 26,67 7 46,66 8A 15 0 0 0 0 4 26,67 3 20 8 53,33 3.Giải pháp và biện pháp thực hiện: a)Giải pháp: Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh có được phương pháp giải toán tốt người giáo viên cần phải giúp các em có thói quen quan sát đặc điểm bài toán trước khi giải và có ý thức liên hệ ,vận dụng,khai thác từ bài toán này sang bài toán khác. b)Biện pháp thực hiện : Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy dạng bài tập có nhiều ứng dụng trong giải các dạng toán như : -Ứng dụng trong dạng tính toán ,toán rút gọn,toán chứng minh đẳng thức . -Ứng dụng trong dạng toán chứng minh bât đăng thức. -Ứng dụng trong dạng toán giải phương trình,bât phương trình 2
3. Vì thế tôi chọn dạng bài tập có quy luật để khai thác các ứng dụng để hướng dẫn học sinh để tìm ra quy luật. Xét bài toán sau: 1 1 1 a) Chứng tỏ rằng với n N,n 0: (1) n(n 1) n n 1 b) Áp dụng kết quả trên để tính được tổng sau: 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 • Hướng dẫn: 1 1 n 1 n 1 a) Biến đổi vế phải : n n 1 n(n 1) n(n 1) b) Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a: vế phải có mẫu là một tích hai biểu thức 1 1 1 cách nhau 1; 1 chính là tử thì có . Tương tự với đặc điểm n n 1 n(n 1) như vế phải ở câu a, ta có : 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 = =1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 Cách phát biểu khác của bài toán: a) Viết phân thức 1 thành hiệu của hai phân thức có tử bằng một n(n 1) b) Vận dụng kết quả câu a hãy rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 I. Khai thác bài tập trên trong tính toán ,trong toán rút gọn ,toán chứng minh đẳng thức: Bài 1 : Tính : 1 1 1 1 1 1 a) 2 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 * Hướng dẫn : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 2 2 3 3 4 4 5 99 100 =1 - 1 = 99 100 100 Từ đó có bài toán tổng quát : 1 1 1 1 1 1 c) Tính tổng: với n 1 2 2.3 3.4 4.5 5.6 n(n 1) 1 n * hướng dẫn : Tương tự câu a ,ta có kết quả:1 n 1 n 1 Nhận xét : Đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán khác ; các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng : mẫu là một tích 3
4. hai nhân tử cách nhau một đơn vị chính bằng tử .Vậy mẫu là tích hai nhân tử cách nhau 2,hay 3,hay 4, thì giải bài toán như thế nào ? Chẳng hạn: 1 1 1 1 1 a) 1.3 3.5 5.7 7.9 2005.2007 1 1 1 1 1 b) 2.5 5.8 8.11 11.14 (3n 2)(3n 5) *Hướng dẫn: a) Viết mỗi hạng tử dưới dạng hiệu hai phân thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ); ( ) 1.3 2 1 3 5.7 2 5 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ); ( ); ; ( ) 3.5 2 3 5 7.9 2 7 9 2005.2007 2 2005 2007 1 1 1 1 1 Vậy: 1.3 3.5 5.7 7.9 2005.2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1003 = ( ) (1 ) 2 1 3 3 5 5 7 7 9 2005 2007 2 2007 2007 b)Phương pháp làm tương tự câu a: 1 1 1 1 Xét hạng tử tổng quát: ( ) (3n 2)(3n 5) 3 3n 2 3n 5 1 1 1 1 1 nên ,ta có 2.5 5.8 8.11 11.14 (3n 2)(3n 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 = ( ) = ( ) 3 2 5 5 8 8 11 3n 2 3n 5 3 2 3n 5 2(3n 5) - Tương tự như vậy ta có thể đề xuất một bài toán cùng loại và giải quyết với cùng phương pháp. * Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát hơn ;tử là một số (biểu thức) bất kỳ ,mẫu là tích của 2 số (biểu thức) cách đều nhau thì làm như thế nào ? Chẳng hạn: Bài 2: Tính tổng: 5 5 5 5 5 a) 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n n b) a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 ak ak 1 với a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = = ak+1- ak = b Hướng dẫn :Phương pháp làm :Viết các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu 5 5 1 1 5 5 1 1 (tương tự bài 1). Ta có : ( ) ; ( ) 2.4 2 2 4 4.6 2 4 6 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 ( ) ; ( ) ; ; ( ) 6.8 2 6 8 8.10 2 8 10 98.100 2 98 100 5 5 5 5 5 Do đó : 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 5 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 49 = ( ) = ( ) 2 2 4 4 6 6 8 98 100 2 2 100 40 4
5. b)Phương pháp làm tương tự câu a. Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ bài toán trên .Vậy ta xét các trường hợp sau: - Trường hợp 1: Nếu a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = = ak+1- ak = n Bài toán này được giải dễ dàng theo cách phân tích của bài 1,vì khi đó : n 1 1 a1a2 a1 a2 n 1 1 a2a3 a2 a3 . n 1 1 ak ak 1 ak ak 1 n n n n n 1 1 Cộng vế với vế ta có : = a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 ak ak 1 a1 ak 1 -Trường hợp 2: Nếu a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = = ak+1- ak = b n n n n n n Ta có : a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 ak ak 1 n b b b b b = ( ) b a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 ak ak 1 Bài toán này thực chất đã đưa về bài 2; bài 3. Do đó ta có kết quả là: n 1 1 ( ) b a1 ak 1 Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp cách đều nhau thì sao ? Từ đó ta có bài toán khó hơn: Bài 3: Tính tổng : 1 1 1 1 1 A = với n 1,n N 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 (n 1).n.(n 1) 1 1 1 1 1 B = với n 2,n N 1.3.5 3.5.7 5.7.9 7.9.11 (2n 1)(2n 1)(2n 3) *Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài toán trên:viết các hạng tử dưới dạng hiệu 2 1 1 *Nhận xét: . Do đó ta có : (n 1).n.(n 1) (n 1)n n(n 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = ( )= ( ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 (n 1).n n(n 1) 2 2 n(n 1) 4 1 1 *Nhận xét: .Do đó ta có (2n 1).(2n 1).(2n 3) (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B= ( ) 4 1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 (2n 1).(2n 1) (2n 1)(2n 3) 1 1 1 = ( ) 4 3 (2n 1)(2n 3) 5