Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 9 sử dụng kiến thức hình học vào giải bài tập đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 9 sử dụng kiến thức hình học vào giải bài tập đại số

1. Hướng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng kiến thức hình học vào giải bài tập đại số A - ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân. Ở trường THCS, trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Trong chương trình Toán THCS các bài toán rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Để giải quyết các bài toán, người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết các bài toán loại này. Do đó, đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống. Vì vậy để giúp các em khắc phục được những khó khăn đó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 9 sử dụng kiến thức hình học vào giải bài tập đại số” 1
2. Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài toán sau: Cho phương trình : x2 – 2 (m – 1)x + 2m – 7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm phương trình trên là các kích thước của một hình chữ nhật. Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hướng được cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như thế nào, dẫn đến các em không giải được bài toán trên, có phải học sinh khi gặp bài toán đại số này đã nghĩ ngay đến những kiến thức, những công cụ trong môn đại số hay không? Nhưng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước của hình chữ nhật là những số dương nên câu hỏi của bài toán có thể hiểu là: Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm dương. Với câu hỏi này thì chắc chắn bài toán trên sẽ trở thành rất quen thuộc đối với học sinh . Như vậy chỉ cần lưu tâm đến những kiến thức nhỏ của hình học trong bài toán này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng hơn. Không những bài toán trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp cũng rất bỡ ngỡ. Nhưng nếu các em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ trong hình học thì bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn. Vì lý do đó cho nên qua một thời gian công tác giảng dạy ,tôi đã đúc rút kinh nghiệm về “Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số”. Qua nhiều biện pháp điều tra về việc giải bài toán đại số bằng kiến thức hình học ở hai lớp 9A và 9B, kết quả cụ thể thu được như sau: Giỏi Khá TB Yếu- kém Lớp Tổng số SL % SL % SL % SL % 9AB 72 03 4,2 08 11,1 37 51,4 24 33,3 2
3. PHẦN II: NỘI DUNG I.Nhận thức cũ và thực trạng trong dạy học môn đại số trong nhà trường: - Nhận thức cũ: Đa số học sinh khi giải một bài tập đại số thông thường hay dùng các kiến thức đại số làm công cụ.Trong khi đó một số bài tập đại số cần lưu ý đến các kiến thức hình học mới giải được. - Việc làm cũ: Khi gặp một bài toán đại số học sinh thường sử dụng các kiến thức đại số làm công cụ, nên dẫn tới nhiều bài toán học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí không giải được. - Giải pháp mới: Để giải quyết dễ dàng hơn khi gặp những dạng bài toán này thì học sinh cần biết khai thác, vận dụng các kiến của hình học , và sau đây xin giới thiệu một số ví dụ. II. Các giải pháp: 1. Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại. - Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi MA + MB = AB (tức là A, B, M thẳng hàng) - Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+ MB AB (tức là A, B, M không thẳng hàng). Ví dụ1: Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Lời giải: Ta có AB = ( 1 2)2 ( 3 3)2 = 45 = 3 5 3
4. AC = (3 2)2 (5 3)2 = 5 BC = (3 1)2 (5 3)2 = 80 = 4 5 Ta có : AB + AC = 3 5 + 5 =4 5 =BC. Vậy A, B, C thẳng hàng. Nhận xét: Nhiều em học sinh khi gặp ví dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng không biết chứng minh theo cách nào. Nhưng ở trong hình học học ta biết 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi xảy ra một trong ba trường hợp: AC = AB + BC AB = AC + BC BC = AB+ AC Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hướng là đi tính độ lớn các đoạn thẳng trên và so sánh tổng 2 đoạn thẳng với đoạn còn lại. Như vậy ta có lời giải bài trên thật là ngắn gọn. Từ ví dụ trên ta có thể chứng minh 3 điểm không thẳng hàng như ví dụ sau: Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) .Chứng minh ba điểm trên không thẳng hàng. Lời giải: MN = (2 1)2 (5 2)2 = 10 NP = (1 0)2 (2 1)2 = 2 MP = (2 0)2 (5 1)2 = 20 Từ đó ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nên M, N, P không thẳng hàng. 4
5. Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài toán mới như ví dụ sau: Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2). Chứng minh M là trung điểm của AB. Lời giải. Ta có: MA = (1 4)2 ( 4 2)2 = 45 = 3 5 MB = (7 4)2 (8 2)2 = 45 = 3 5 AB = (1 7)2 ( 4 8)2 = 180 = 6 5 Ta có: 3 5 + 3 5 = 6 5 hay MA + MB = AB . Vậy điểm M nằm giữa A và B. Ta lại có: MA = MB = 3 5 nên M là trung điểm của AB. Như vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa hai điểm còn lại ta đã giải quyết được rất nhiều bài toán. 2. Sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác. - Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC. - Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta luôn có AB AC + BC. Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài toán. Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999- 2000) Lời giải: Đặt x = a + b - c 5
6. y = b + c - a z = c + a - b Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > 0 Ta có: b = x y , c = y z , a = z x 2 2 2 x y y z z x Bất đẳng thức trên tương đương với: xyz ( )( )( ) 2 2 2 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 zx Mà ( )( )( ) ( )( )( ) = xyz (áp dụng bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 Côsi) x y y z z x Vậy: xyz ( )( )( ) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (đpcm) 2 2 2 Ở bài này để áp dụng được bất đẳng thức Côsi thì phải lý luận để x, y , z > 0 mà điều này có được do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên vô nghiệm. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002- 2003) Lời giải: = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên: a – (b + c) < 0 b – (a + c) < 0 c – (a + b) < 0 Vì vậy: 6
7. = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < 0 nên phương trình trên vô nghiệm. Nhận xét: Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới chứng minh được < 0 . Ví dụ 6: Với a, b, c, d là những số dương , chứng minh: a2 b2 + c2 d 2 (a c)2 (b d)2 Lời giải: y Chọn hệ trục tọa độ xOy. Trên trục Ox ở chiều dương, Q B lấy ON = a, MN = c trên trục Oy ở chiều dương lấy d OP = b, PQ = d. Ta có: P A OA = a2 b2 b AB = c2 d 2 OB = (a c)2 (b d)2 O a N c M x Ta có: OA + AB OB Nên a2 b2 + c2 d 2 (a c)2 (b d)2 (Điều phải chứng minh) Nhận xét: Ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì AB AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên. Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng quát nhờ cách chứng minh tương tự như trên. Với x1, x2 xn và y1, y2, yn là những số dương thì ta cũng luôn có bất đẳng thức sau: 7
8. 2 2 2 (x1 y1) + (x2 y2 ) + + (xn yn ) 2 2 (x1 x2 xn ) (y1 y2 yn ) 3. Sử dụng định lý Pitago. - Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago) - Nếu BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý Pitago) Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau. Ví dụ 7: Cho 2 đường thẳng: y = 3x- 2 ( d1) 1 y = x + 8 (d2 ) 3 Chứng minh 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau. (d2) Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: C Nếu 2 đường thẳng vuông góc với nhau thì tam giác ABC Là tam giác vuông. Từ đó ta sẽ xác định tọa độ A, B, C A B (d1) sau đó sẽ tính độ dài AB, AC, BC và áp dụng định lý đảo định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông. Lời giải: Gọi A(x0;y0) là giao điểm của 2 đường thẳng ta có: y0 = 3x0 - 2 1 y0 = x0 + 8 3 Giải ra ta được: x0 = 3 và y0 = 7. Vậy A (3;7). Trên (d2) lấy C (6;6), trên (d1) lấy điểm B (0;-2): 8
9. AC = (6 3) 2 (6 7) 2 = 10 AB = (0 3) 2 ( 2 7) 2 = 90 BC = (0 6) 2 ( 2 6) 2 = 100 Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 hay tam giác ABC vuông tại A (Định lý đảo định lý Pitago), nên 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau. Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh được rằng nếu đường thẳng y=ax+b vuông góc với đường thẳng y = cx + d thì ac =-1 và nguợc lại như ví dụ sau: Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng: y = ax + b (a 0) (d 1 ) y = cx +d (c 0) (d 2 ) Chứng minh rằng: Nếu (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) thì ac = -1 Lời giải: Ta có y = ax + b song song hoặc trùng với y = ax (d 3 ) y = cx + d song song hoặc trùng với y = cx (d 4 ) Ta có nếu (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) thì ta cũng có (d 3 ) vuông góc với (d 4 ). (d 3 ) A O B (d 4 ). Gọi O là giao điểm của (d 3 ) và (d 4 ) dễ dàng ta tìm được O (0; 0). Trên (d 3 ) lấy một điểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a). Trên (d 4 ) lấy một điểm bất kỳ khác O,ví dụ B(1; c) 9