Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục 3.Tác giả: Nguyễn Thị Mai; Giới tính: Nữ Ngày, tháng , năm sinh: 19/06/1996 Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Lê Danh Phương Điện thoại: 0975389452 Email: nguyenmai96dhsptn@gmail.com Tỷ lệ áp dụng sáng kiến: 100% 4. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Lê Danh Phương – Thị trấn Hưng Hà - Thái Bình Địa chỉ: Khu Nhân Cầu 3 - Thị trấn Hưng Hà - Thái BìnhThị trấn Hưng Hà tỉnh Thái Bình 5. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2018 - 2019 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 của dãy tỉ số bằng nhau” với mong muốn học sinh phát hiện và sử dụng kiến thức đúng cách, có phương pháp giải đúng đắn và phát triển tư duy, sáng tạo. Trong những năm học gần đây tôi đã triển khai dạng bài tập này trong các tiết luyện tập, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi kết quả thu được rất khả quan. Qua bài kiểm tra khảo sát lớp 7A7 trong những năm gần đây như sau: Kết quả kiểm tra đợt 1( khi chưa áp dụng sáng kiến ): Năm học 2017 – 2018 Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu SL % SL % SL % SL % 7A7 34 5 14,7 18 52,94 10 29,41 1 2,95 Kết quả kiểm tra đợt 2( đã áp dụng sáng kiến ): Năm 2018 – 2019 Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu SL % SL % SL % SL % 7A7 34 10 29,41% 21 61,76 03 8,83 0 0 Kết quả kiểm tra của lớp 7A 7 ngày càng cao hơn là do học sinh đã biết phân tích đề bài và có phương pháp giải bài tập thích hợp. 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: 3.2.1. Mục đích của giải pháp Tôi nghiên cứu đề tài với mục đích là: ❖ Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sinh. Với mục đích hệ thống, xây dựng cô đọng những phương pháp giải, hướng phát triển các bài toán, vận dụng kết quả của bài toán này vào giải quyết một số bài toán khác, nhằm đưa ra một tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm; giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi của giáo viên được tốt hơn. Tôi mong muốn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 các đồng nghiệp cùng trao đổi, cùng xây dựng để sáng kiến được hoàn thiện hơn, khai thác có hiệu quả hơn tác dụng của đề tài. ❖ Giúp các em hiểu rõ về chuyên đề tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và phương pháp giải các dạng bài tập về chuyên đề đó. - Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năng giải toán cho học sinh, rèn tính linh hoạt, sáng tạo, khả năng liên tưởng và tạo hứng thú học tập tốt bộ môn. 3
3. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 a a a a * Nếu có n tỉ số bằng nhau (n ³ 2 ): 1 = 2 = 3 = = n thì b1 b2 b3 bn a1 a1 + a2 + a3 + + an a1 - a2 + a3 + - an = = = b1 b1 + b2 + b3 + + bn b1 - b2 + b3 + - bn (Nếu đặt dấu “-“ trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “-“ trước số hạng dưới của tỉ số đó). * Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữu kiện của bài toán. 2. Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức. * Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: a c a c a c - Tính chất: Ta luôn có b d b d b d a c e a c e ma nc pe - Tính chất mở rộng: b d f b d f mb nd pf (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Ví dụ 1: Tìm x, y biết: x y và x y 20 2 3 Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x y x y 20 4 2 3 2 3 5 5 ïì x ï = 4 Þ x = 2.4 Þ x = 8 ï Þ í 2 ï y ï = 4 Þ y = 3.4 Þ y = 12 îï 3 Vậy x 8 ; y 12 . Ví dụ 2: Tìm x, y biết: x : 3 y :5 và y x 24 Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau. Giải: Ta có: x y x : 3 y :5 3 5 5
4. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 ïì x ï = 2 Þ x = 2.2 Þ x = 4 ï 2 ï y Þ íï = 2 Þ y = 3.2 Þ y = 6 ï 3 ï z ï = 2 Þ z = 4.2 Þ z = 8 îï 4 Vậy x 4; y 6; z 8. x 1 y 2 z 3 Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết: và x 2y 3z 14 . 2 3 4 Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4 Giải: x 1 y 2 z 3 x 1 2y 4 3z 9 Ta có: 2 3 4 2 6 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x 1 2y 4 3z 9 x 1 2y 4 3z 9 2 6 12 2 6 12 x 2y 3z 6 14 6 1 8 8 ïì x - 1 ï = 1 Þ x - 1 = 2 Þ x = 3 ï 2 ï y - 2 Þ íï = 1 Þ y - 2 = 3 Þ y = 5 ï 3 ï z - 3 ï = 1 Þ z - 3 = 4 Þ z = 7 îï 4 Vậy: x 3; y 5 ; z 7 Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 6: Tìm x, y biết: 7x 9y và 10x 8y 68 Ở bài này, ta viết đẳng thức 7x 9y về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó vận dụng cách làm ở ví dụ 4 Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết: 2x 3y 4z và x y z 169 . Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2x 3y 4z về dạng dãy tỉ số bằng nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1. Cách làm chia các tích cho 12 vì: BCNN 2;3;4 12 sau đó làm như ví dụ 3 Giải: 2x 3y 4z x y z Từ: 2x 3y 4z 12 12 12 6 4 3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x y z 169 13 6 4 3 6 4 3 13 7
5. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 x y x y  2 3 4 6 x y z x 2y 3z  y z y z 4 6 9 4 12 27 2 3 6 9  Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x 2y 3z x 2y 3z 19 1 4 12 27 4 12 27 19 x 1 x 4.1 4 4 y 1 y 6.1 y 6 6 z 1 z 9.1 z 9 9 Vậy x 4 ; y 6; z 9 Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết: y + z + 1 x + z + 2 x + y - 3 1 = = = x y z x + y + z Giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: y + z + 1 x + z + 2 x + y - 3 1 = = = = x y z x + y + z (y + z + 1) + (x + z + 2) + (x + y - 3) x + y + z 2(x + y + z) = = 2 (vì x + y + z ¹ 0). Do đó x + y + z = 0,5. x + y + z Thay kết quả này vào đề bài ta được: 0,5- x + 1 0,5- y + 2 0,5- z - 3 = = = 2 x y z 1,5- x 2,5- y - 2,5- z Tức là = = = 2 x y z 1 5 - 5 Vậy x = ;y = ;z = . 2 6 6 x y x z Ví dụ 12: Tìm x, y, z biết: ; (1) và x3 y3 z3 1009 2 3 4 9 9
6. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm x, y biết. x y x y a) và x y 30 b) và 2x y 34 6 9 19 21 x y x y c) và x.y 180 d) và x2.y2 4 4 5 2 4 x y e) và x4.y4 16 f) 3x 2y và x2 y2 208 2 4 Bài 2: Tìm x, y, z biết. x y z a) và x 3y 4z 62 4 3 9 x 9 y 7 b) ; và x y z 15 y 7 z 3 x y z c) và x.y.z 810 2 3 5 x y z d) và x.y.z 1680 5 6 10 x y z e) và x2 y2 2z2 108 2 3 4 Bài 3: Tìm x, y, z biết. x 7 y 5 a) ; và 2x 5y 2z 100 y 20 z 8 x 1 y 2 z 3 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 12x 15y 20z 12x 15y 20z c) và x y z 48 7 9 11 1 2y 1 4y 1 6y Bài 4: Tìm x biết. . 18 24 6x Bài 5: Tìm các số t1,t2 , ,t9 biết. t 1 t 2 t 3 t 9 1 2 3 9 và t t t 90 9 8 7 1 1 2 9 Dạng II: Chia tỉ lệ. I – Một số chú ý: x y z 1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c x : y : z a :b : c ( Hay ) a b c 1 1 1 2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c x : y : z : : ( Hay ax by cz ) a b c II – Bài tập: Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 3; 4. 11
7. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 µ 0 0 µ 0 0 0 C 3.12 36 C1 180 36 144 µ µ µ 0 0 0 A1 : B1 :C1 96 :120 :144 4 :5: 6 Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 :5: 6 . Ví dụ 3: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ. Phân tích đề bài: Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a 5000b 10000c Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a b c 16 Giải: Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c ( a,b,c Î N* ) Theo bài ra ta có: 2000a 5000b 10000c và a b c 16 a b c Từ: 2000a 5000b 10000c 5 2 1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a b c 16 2 5 2 1 5 2 1 8 a 5.2 10 ; b 2.2 4 c 1.2 2 (TMĐK) Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2 tờ. Ví dụ 4: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển. Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a 2000b 3000c Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a b c 1530. Giải: Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c a,b,c 0 . Theo bài ra ta có: 1500a 2000b 3000c và a b c 1530 a b c Từ: 1500a 2000b 3000c 4 3 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a b c 1530 170 4 3 2 4 3 2 9 a 4.170 680 (TMĐK) b 3.170 510 (TMĐK) c 2.170 340 (TMĐK) Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ. 13
8. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 a2 b2 a2 b2 2601 9 64 225 289 289 a2 64.9 576 a 24 ; b2 225.9 2025 b 45 (TMĐK) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: 24cm, 45cm. 1 Ví dụ 7: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm số 7 1 2 gạo của kho đó, xuất ở kho B đi số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi số gạo 9 7 của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo. Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c 1 1 8a Số gạo ở kho A sau khi thêm số gạo của kho A là: a a . 7 7 7 1 1 8b Số gạo ở kho B sau khi xuất số gạo của kho B là: b b . 9 9 9 2 2 5c Số gạo ở kho C sau khi xuất số gạo của kho C là: c c 7 7 7 Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho 8a 8b 5c bằng nhau nên ta có: 7 9 7 Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có: b a 20 Giải: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c a,b,c 0 . 1 8a Số gạo ở kho A sau khi thêm là: a a (kg) 7 7 1 8b Số gạo ở kho B sau khi xuất là: b b (kg) 9 9 2 5c Số gạo ở kho C sau khi xuất là: c c (kg) 7 7 8a 8b 5c Theo bài ra ta có: và b a 20 7 9 7 8a 8b 5c a b c Từ 7 9 7 35 45 56 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c b a 20 2 35 45 56 45 35 10 a 35.2 70 (TMĐK) b 45.2 90 (TMĐK) c 56.2 112. (TMĐK) Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg. 15
9. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: a c A C Cho = . Để chứng minh tỉ lệ thức = ta có thể làm: b d B D A C Cách 1: Chứng minh tỉ số bằng tỉ số ; hoặc chứng minh AD = BC. B D a c Cách 2: Xuất phát từ , vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để tạo ra được tỉ lệ b d A C thức = . B D II – Bài tập a c Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức với b,c,d 0 . Và c d b d a b c d Chứng minh rằng: b d Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích suy luân ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú ý điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức. a c a b a b b a b c d Có:  Cần CM:  Cần CM: để CM: b d c d c d d b d Giải: a c a b a b Cách1: Từ b d c d c d b a b c d a b d c d d b a b c d hay: (đpcm) b d a c Cách 2: Đặt k ( k ¹ 0 ) thì a = kb,c = kd. Ta có: b d a + b kb + b b(k + 1) k + 1 = = = ; a kb kb k c + d kd + d d(k + 1) k + 1 = = = . c kd kd k a b c d Vậy b d a b c d Ví dụ 2: Cho ( a,b,c,d 0 và a b,c d ). a b c d a c Chứng minh rằng . b d 17
10. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 2 2 a b a c ab a c . 2 c d b d cd b d 2 a b ab Hay 2 (đpcm) c d cd a c Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức với a,b,c,d 0 và c d b d 2014 a b a2014 b2014 Chứng minh: 2014 2014 2014 c d c d Phân tích đề bài: 2014 2014 2014 a c a b a b a b a b   b d c d c d c d c d 2014 2014 a b a2014 b2014 a b a2014 b2014  2014 2014 2014  2014 2014 2014 c d c d c d c d Giải: 2014 2014 2014 a c a b a b a b a b Từ: b d c d c d c d c d 2014 a2014 b2014 a b 2014 2014 2014 (1) c d c d a2014 b2014 a2014 b2014 Mà: (2) c2014 d 2014 c2014 d 2014 2014 a b a2014 b2014 Từ (1) và (2) 2014 2014 2014 (đpcm) c d c d a c Ví dụ 6: Cho với a,b,c 0 c b a a2 c2 Chứng minh rằng: b b2 d 2 Phân tích đề bài: 2 2 a c a c a c a a2 c2 a a2 c2  .  2 2  2 2 c b c b c b b c b b c b Giải: 19
11. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 a c a b 3a 5b 3a 5b 3a 5b 3a 5b 3c 5d    b d c d 3c 5d 3c 5d 3c 5d 3a 5b 3c 5d Giải: a c a b 3a 5b 3a 5b Từ: (1) b d c d 3c 5d 3c 5d 3a 5b 3a 5b Mà: (2) 3c 5d 3c 5d 3a 5b 3c 5d Từ (1) và (2) 3c 5d 3c 5d 3a 5b 3c 5d (đpcm). 3c 5d 3c 5d a c Ví dụ 9: Cho tỉ lệ thức với a,b,c,d 0 và b d 7a2 5ac 7a2 5bd Chứng minh: 7b2 5ac 7b2 5bd Phân tích đề bài: 2 a c a a c a2 ac 7a2 5ac  .  2  2 b d b b d b bd 7b 5bd 7a2 5ac 7a2 5ac 7a2 5ac 7b2 5bd  cm  7b2 5bd 7b2 5bd 7a2 5ac 7b2 5bd Giải: 2 a c a a c a2 a2 ac Từ: . 2 2 b d b b d b b bd 7a2 5ac 7a2 5ac (1) 7b2 5bd 7b2 5bd 7a2 5ac 7a2 5ac Ta có: (2) 7b2 5bd 7b2 5bd 7a2 5ac 7a2 5ac Từ (1) và (2) 7b2 5bd 7b2 5bd 7a2 5ac 7b2 5bd (đpcm) 7a2 5ac 7b2 5bd Bài tập áp dụng: a c Bài 1: Cho tỉ lệ thức 1 với a, b, c, d 0 . Chứng minh rằng: b d 21
12. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 khá giỏi, đã tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác nhau mà không cần quá nhiều sự gợi ý của giáo viên. 3.5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Để thực hiện tốt được sáng kiến trên cần phải có những điều kiện cần thiết sau: ❖ Đối với giáo viên : - Để áp dụng chuyên đề này vào việc giảng dạy đòi hỏi giáo viên thường xuyên trau rồi để nâng cao kiến thức. Trong quá tŕnh giảng dạy ngoài kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, giáo viên cần tìm tòi đưa ra thêm kiến thức và kĩ năng cho học sinh để từ đó nâng cao kiến thức cho học sinh. - Hệ thống hóa kiến thức, các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. - Hướng dẫn học sinh cách tìm tòi và mở rộng thêm vốn kiến thức của mình. - Kiến thức của học sinh chỉ bền vững khi biết vận dụng kiến thức đã học vào việc giải thành thạo các dạng bài tập, vì vậy giáo viên phải rèn luyện cho học sinh ❖ Đối với học sinh: - Học sinh cần phải biết sắp xếp công việc, lịch học của mình sao cho khoa học, phù hợp, linh hoạt, sáng tạo, thích ứng với mọi điều kiện, hoàn cảnh. - Đối với học sinh phải nắm chắc kiến thức, có khả năng phân tích từ những bài tập đơn giản mở rộng ra các bài tập khó hơn. - Không ngừng học hỏi, học thày, học bạn, học qua sách vở, qua nguồn tư liệu phong phú như: sách giáo khoa, sách tham khảo, báo chí, tạp chí, ngân hàng đề thi, đài, ti vi, máy tính, mạng internet 4. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền Tôi xin cam đoan sáng kiến trên là của tôi tự nghiên cứu, không sao chép hoặc vi phạm bản quyền của tác giả khác. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hưng Hà, ngày tháng năm 2019 23