Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI

1. PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học. Trong dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh. Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộng, đặc biệt là với học sinh THCS. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy khi dạy toán bất đẳng thức đó là: Bất đẳng thức Côsi là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh bài toàn bất đẳng thức và còn ứng dụng trong giải các dạng toán khác, tuy nhiên học sinh có hiểu biết về bất đẳng thức này cũng như những ứng dụng của nó rất hạn chế. Trong các kì thi học sinh giỏi học sinh thường mất điểm đối với các bài toán liên quan đến bất đẳng thức. Vì vậy: Để giải góp phần quyết vấn đề này, mặt khác nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn đề tài:" Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI" nhằm trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức C, đặc biệt là với các học sinh khá giỏi. Từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải ,chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. Qua những bài toán về về bất đẳng thức mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như: - Kiểm tra cách làm. Xem xét lại các lập luận, xem lại kỹ năng áp dụng Bất đẳng thức Côsi trong bài đó. - Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu các bài toán ở dạng khác có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi được hay không? Có thể khai thác giả thiết bài toán như thế nào cho phù hợp? Các dạng của Bất đẳng thức Côsi được sử dụng trong mỗi bài toán có mối liên hệ như thế nào với nhau? Mỗi bài toán đã giải được cũng như một kiến thức toán học sử dụng trong bài toán đó liệu có thể sử dụng để giải các bài toán khác hay không? 1
2. Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức. 3. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trường. Nghiên cứu qua mạng Internet. - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp. - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp. 4. Kết quả cần đạt. - Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi với trình độ nhận thức của học sinh THCS. - Trang bị cho học sinh một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Côsi trong chứng minh bất đẳng thức. - Rút ra một số nhận xét và chú ý khi sử dụng các kỹ năng đó. -Thấy được vai trò to lớn của bất đẳng thức Côsi trong giải các bài tập toán khác. Vận dụng giải toán bất đẳng thức Côsi vào giải toán cực trị, giải một số phương trình dạng dặc biệt. B. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI 1. Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY). Nếu a1, a2, , an là các số thực không âm thì a a a 1 2 n n a a a n 1 2 n Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức COSI(CAUCHY). Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Côsi. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Côsi. 3
3. b. Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm Cho x1, x2, x3 , ,xn không âm ta có: x x x Dạng 1: 1 2 n n x x x n 1 2 n n Dạng 2: x1 x2 xn n x1 x2 xn n x1 x2 xn Dạng 3: x1 x2 xn n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x1 x2 xn C. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Côsi 1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Chúng ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân.Vì vậy trong chứng minh bất đẳng thức chúng ta thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi này chính là đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Dưới đây là một số ví dụ thể hiện sự đánh giá đó. Ví Dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 8a 2b2c2 Phân tích : Trong bất đẳng thức trên thì vế trái là tích của các tổng các số không âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho mỗi tổng và nhân các kết quả theo vế với vế. Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 2 x2 y2 = 2|xy| ta có: a 2 b2 2 ab 0 2 2 b c 2 bc 0 c2 a 2 2 ca 0 Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được: a2 b2 b2 c2 c2 a2 8|a2b2c2| 8a2b2c2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Chú ý: - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều ( kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. 5
4. Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng : 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc Lời giải x y z Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng 3 xyz cho ba số 3 không âm. Ta có: 1 a 1 b 1 c 1 ab bc ca a b c abc 3 1 33 a2b2c2 33 abc abc 1 3 abc 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra a = b= c Ví dụ 5.1: Cho các số thực dương a , b ,c , d Chứng minh rằng a b a b c a b c d 2 64 abcd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a b a b c a b c d 64abcd Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi dạng x y 2 4xy, ta có a b c d 2 4d a b c 0 a b c 2 4c a b 0 a b 2 4ab 0 Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế,ta suy ra a b 2 a b c 2 a b c d 2 64abcd a b a b c . 1 Từ đó bằng cách đơn giản cả hai vế của (1) cho a b a b c , ta thu được ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d a b c c a b d 2c 4b 4a 0 a b 7
5. Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khá giống với ví dụ 1.2. Vì vậy một cách tự nhiên ta có thể biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho và đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Lời giải Ta có cần chứng minh tương đương với: c a c c b c 1 ab ab x y Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy cho các số dương ta được: 2 c a c c b c 1 c a c 1 c b c 1 a b 1 ab ab 2 b a 2 a b 2 a b Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 2c. Ví dụ 3.2: Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng: 1 3 abc 3 1 a 1 b 1 c Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau: 3 1.1.1 3 abc 3 1 a 1 b 1 c 1.1.1 abc 3 3 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1.1.1 abc 3 3 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 a b c 3 1 a 1 b 1 c 3 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 .3 1 3 1 a 1 b 1 c 3 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 4.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 1 8 Chứng minh rằng: abc a b b c c a 729 9
6. a2 2 Ví dụ 2.3: Cho số thực a. Chứng minh rằng: 2 a2 1 Phân tích: Ở bất đẳng thức cần chứng minh trên ta chưa thấy cặp nghịch đảo vì vậy ta cần biến đổi vế trái để tạo ra cặp nghịch đảo. Để ý rằng a2 2 a2 1 1 1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 Lời giải Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có: a2 2 a2 1 1 1 1 a2 1 2 a2 1 2 a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 a2 1 a2 1 1 a 0 a2 1 Ví dụ 3.3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a b. 1 Chứng minh rằng: a 3 b a b Phân tích: Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta cần ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương, để ý rằng muốn triệt tiêu được hết biến ta cần ghép nghịch đảo 1 cho c số dương sau b, a b , . b a b Lời giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau : 1 1 1 a b a b 3 3 b. a b . 3 b a b b a b b a b Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 2 và b = 1 Ví dụ 4.3: Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng: c a b 3 a b b c c a 2 Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần biến đổi tương đương để sử dụng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương. Lời giải 11
7. các bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh tìm tòi chứng minh các bài toán bất đẳng thức , người giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy rằng trong bất kỳ đánh giá nào ( trong chuỗi đánh giá của mình ) không bảo toàn được dấu bằng thì bài toán chứng minh sẽ bị phủ nhận hoàn toàn. Hãy xét một số ví dụ dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dang được đề cập Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điền kiện a b c 1 . Chứng minh rằng: a b b c c a 6 . Lời giải Khi giải bài toán này học sinh thường gặp sai lầm như sau: a b 1 a b a b .1 2 b c 1 b c b c .1 2 c a 1 c a c a .1 2 2 a b c 3 5 a b b c c a 6. 2 2 Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Nguyên nhân sai lầm: Dấu “ = ” xảy ra a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c = 2. Điều này trái với giả thiết. Phân tích: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi 1 2 của bất đẳng thức sẽ là a b c từ đó ta có a + b = b + c = c + a = , như 3 3 2 vậy để sử dụng dược bất đẳng thức Côsi ta cần nhân them hằng số là . Vậy lời 3 x y giải đúng là : Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy cho hai số không 2 âm ta có: 13
8. 1 1 1 Chứng minh rằng : 1. 2x y z x 2y z x y 2z Lời giải 3 Từ hai lời giải trên với dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại x y z , 4 1 1 4 nên ta có thể tách 2x x x và áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng a b a b cho hai số dương. Ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2x y z (x y) (x z) 4 x y x z 16 x y z tương tự ta có: 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2x y z x 2y z x y 2z 16 x y z x y z x y z 1 1 1 1 4 1 16 x y z Bất đẳng thức được chứng minh. 1 1 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4. x y z Ví Dụ 4.4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz 1. x2 y2 z2 3 Chứng minh rằng: 1 y 1 z 1 x 2 Phân tích: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x y z 1. x2 1 y x2 1 y 1 2 Vì vậy khi áp dụng Cosi cho và thì 4 1 y 1 y 2 Lời giải x y Áp dụng bất đẳng thức COSI dạng xy ta có: 2 x 2 1 y y 2 1 z z 2 1 x x; y; z 1 y 4 1 z 4 1 x 4 x2 y2 z2 1 3 (x y z) (x y z) 1 y 1 z 1 x 4 4 15
9. 2 a b c b c a a b c b c a b2 4 2 b c a c a b b c a c a b c2 4 2 c a b a b c c a b a b c a 2 4 Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 2.5. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca a b c c a b Phân tích: Bài toán này có dạng X + Y + Z A + B + C với ab bc ca ab bc X ,Y ,Z ,A a,B b,C c . Để ý rằng hai biểu thức và c a b c a là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như nhau). Do đó, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta sẽ thử chứng minh ab bc 2b c a Lời giải Bất đẳng thức này là hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Côsi ab bc ab bc 2  2b c a c a ca ab ca ab bc ab bc ab Tương tự ta có: . 2a; . 2c b c b c a c a c Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được bc ca ab a b c . a b c Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c. Từ đó, bài toán được giải quyết hoàn toàn. Ví Dụ 3.5. Cho các số thực a,b,c,d 0 thỏa mãn điều kiện : 1 1 1 1 1 3. Chứng minh rằng abcd 1 a 1 b 1 c 1 d 81 Lời giải 17
10. x y 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng xy , ta được 4 2 2 2 2 x y x y x2 xy y2 x y 3xy x y 3 4 4 Bổ đề được chứng minh. Để ý rằng a, b, c là tam giác thì hiển nhiên ta có: a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > 0 Áp dụng bổ đề, ta có: 3 3 3 a b c b c a a b c b c a 2b3 4 3 b c a c a b 3 3 3 b c a c a b 2c 4 3 3 3 c a b a b c c a b a b c 2a3 4 Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế và rút gọn cả hai vế của bất đẳng thức thu được cho 2, ta có: a b c 3 b c a 3 c a b 3 a3 b3 c3. Theo giả thiết thì dấu bằng xảy ra a b c Điều này chứng tỏ tam giác đã cho là tam giác đều. 1 1 1 Ví dụ 5.5. Cho x, y, z > 2 và 1 Chứng minh rằng : x y z x 2 y 2 z 2 1 Lời giải Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 c 2 a 2 b 2 2 a 2 2 b 2 a b ab 2 a 2 2 b 2 b 2 c 2 1 ca 1 bc Tương tự , b 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 Nhân ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được 19
11. t 1 t 4 Từ đó ta được 0, bài toán được giải quyết hoàn toàn. t Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 y2 x y 1 1 1 Ví dụ 2.6: Cho x, y, z > 2 và 1 Chứng minh rằng : x y z x 2 y 2 z 2 1 Lời giải Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0. Bài toán quy về chứng minh abc 1 với a, b, c > 0 thỏa mãn 1 1 1 a b c 1 1 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a b c Đến đây ta đặt tiếp m ,n ,p m n p 1 a 2 b 2 c 2 1 a 2 2 2 1 n p 2m Ta có: 1 1 a m a a a m m n p 2n 2p Tương tự: b , c p m m n Do đó bất đẳng thức trở thành 2m 2n 2p   1 m n n p p m 8mnp n p p m m n Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có m n n p p m mn.2 np.2 pm 8mnp Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m n p a b c 1 x y z 3 Ví dụ 3.6: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab = cd = 1. Chứng minh rằng: a b c d 4 2 a b c d Lời giải Đặt x = a + b, y = c + d, thì bất đẳng thức bốn biến cần chứng minh tương đương đã được quy về dạng hai biến đơn giản hơn là: xy 4 2 x y x y 2 2 2 y 0 y 2 x 2 0 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có: 21