Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học

1. Giúp học sinh biết Sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Đặt vấn đề Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn. Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tôi cũng rất quan tâm đến vấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏ qua. Đặc biệt là năm học 2004 – 2005, khi có yêu cầu dạy môn Tự chọn cho học sinh lớp 8 mà tôi được phân công dạy chủ đề “ Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học “ thì ý định tập hợp các kinh nghiệm giảng dạy của mình và của các đồng nghiệp , đồng thời tìm tòi bổ sung thêm những dạng bài tập có liên quan tới phương pháp trên lại càng thúc giục tôi . Học sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính toán vì các em đã được làm quen từ Tiểu học . Nhưng làm thế nào để HS biết sử dụng chúng để chứng minh thì không đơn giản chút nào . Sau đây tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm của mình kết hợp với những vấn đề mình tìm tòi học hỏi được để “ Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học “ Giải quyết vấn đề 1 -Trước tiên phải cho học sinh hiểu được phương pháp diện tích là gì và ích lợi của phương pháp này . Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác Các công thức về diện tích các hình nói trên chủ yếu được các em ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính toán có liên quan đến diện tích . Lên đến THCS, HS lớp 8 lại tiếp tục được học về diện tích của 1
2. Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học các hình này nhưng ở diện rộng hơn và sâu hơn. Tới đây, ta cũng cần cho học sinh thấy được ngoài ứng dụng tính toán, các công thức tính diện tích còn cho ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúng rất có ích trong một số bài toán chứng minh về đại số cũng như hình học. Chẳng hạn : Sách giáo khoa cũ có những bài toán đề cập đến vấn đề này . Ví dụ 1 : Sau khi học về hằng đẳng thức bình phương của tổng hay hiệu , có bài toán yêu cầu dùng hình học để chứng minh công thức (a+b) 2 = a2 + 2ab + b2 và (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 a b b 2 ab b2 b b(a-b) b a 2 (a – b)2 b(a-b) a ab a Ví dụ 2 : Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền B A C 2
3. Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Bài toán này là minh hoạ hình học cho định lí Pytago trong trường hợp tam giác vuông cân . Do đổi mới phương pháp dạy học mà sách giáo khoa mới ít đề cập đến vấn đề này hơn . Nhưng không có nghĩa là vấn đề này không phù hợp với yêu cầu mới , bởi vì nó cũng được đưa vào nội dung của môn học tự chọn . Vậy đây cũng là một phần kiến thức mà học sinh cần tham khảo để bổ sung , hỗ trợ cho việc học tập của các em được tốt hơn . Vì thế , sau khi học sinh được học tính chất của diện tích đa giác , công thức tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông , ngoài các bài tập ở SGK , tôi vẫn đưa các bài tập trên cho HS tham khảo thêm Bài 1 : Trên hình vẽ, các tứ giác ABCD, IOKD, MNPQ, IGHQ là các hình vuông. Bằng công thức tính diện tích hình vuông và hình chữ nhật, em hãy chứng minh các hằng đẳng thức (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 và (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 . a b b M N A B O G E I a D Q P F C H Bài tập này không bắt buộc tất cả học sinh phải làm. Những học sinh nào làm được sẽ được tính điểm vào cột điểm của môn học Tự chọn. Sau đó có thể giới thiệu thêm cho học sinh biết : Từ thời cổ, nhờ công thức diện tích mà người ta khám phá ra công thức bình phương của tổng hay hiệu nói trên. Phương pháp dùng công thức diện tích để chứng minh gọi là phương pháp diện tích. Đây cũng là một phương pháp góp phần thúc đẩy sự phát triển toán học thời cổ . 3
4. Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Như vậy , học sinh đã được tiếp cận với phương pháp diện tích . Để củng cố thêm , sau khi dạy song bài “ Diện tích tam giác “ tôi chọn bài tập số 17 SGK lớp 8 tập I trang 121: Bài toán 2 : Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM . Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức : AB . OM = OA . OB A M O B GV gợi ý cho học sinh : Viết công thức tính diện tích tam giác AOB theo hai cách Học sinh trình bày được lời giải : 1 1 SAOB = . OA . OB = OM. AB AB . OM = OA . OB 2 2 GV giới thiệu : Để chứng minh được hệ thức AB . OM = OA . OB , ta đã sử dụng phương pháp diện tích . 2 - Sau khi cho học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích như nêu ở trên , tôi đưa ra một số bài tập cho học sinh tham khảo và luyện tập với yêu cầu dần dần cao hơn. Nhưng thời gian giảng dạy chính khoá ở trên lớp không có nhiều để giành cho công việc này, nên tôi phải hướng dẫn cho học sinh tự học là chủ yếu bằng cách phát cho các nhóm học sinh phiếu học tập trong đó có ghi sẵn nội dung bài tập và hệ thống câu hỏi dẫn dắt để học sinh tự tổ chức thảo luận nhóm ở nhà . Sau đó hoàn chỉnh bài giải bằng cách điền khuyết . a - Phiếu học tập số 1 4
5. Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Nội dung bài tập và gợi ý cách giải Điền vào chỗ trống để có lời giải hoàn chỉnh Bài 3: Bài 51 trang 132 SBT Toán 8 C A tập I Cho tam giác BAC với ba đường cao C’ AA’, BB’, CC’ . Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng : B’ HA' HB' HC' 1 AA' BB' CC' H Phân tích : AA’, BB’,CC’đều là các đường cao của tam giác ABC. HA’,HB’, B C HC’ lần lượt là ba đường cao của các tam giác HBC , HAC, HAB . Như vậy ta phải tìm ra mối quan hệ về độ dài của chúng thông qua công thức tính diện tích tam giác. Hệ thống câu hỏi dẫn dắt S = ; S = 1)Viết công thức tính diện tích của các HAC HBC S = ; S = tam giác HBC; HAC ; HAB, ABC HAB ABC SHAC = ; SHBC = SHAC SHAB = ; SABC = S ABC 2)Tìm mối quan hệ giữa các tỉ số S HA' HB' HC' HAB ; ; với công thức diện tích S AA' BB' CC' ABC S của các tam giác nói trên . HBC HA' HB' HC' S Các tỉ số ; ; lần lượt bằng ABC AA' BB' CC' SHAC SHBC SHAB SABC tỉ số của diện tích hai tam giác nào ? S HAC S HAB S HBC 3) Viết hệ thức biểu thị mối quan hệ về diện tích của 4 tam giác nói trên S ABC S ABC S ABC 4) Biến đổi tổng S HAC S HAC S HBC ? dẫn đến S ABC S ABC S ABC điều phải chứng minh 5
6. Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Bài 4 : Cho tam giác đều ABC . M là A một điểm thuộc miền trong của tam giác . Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M đên 3 cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . h I K Phân tích : Các khoảng cách MH, M MI,MK đến các cạnh của tam giác lần lượt là đường cao của các tam giác C MBC , MAB, MAC . Như vậy ta phải B H C tìm ra mối quan hệ về độ dài của chúng a thông qua công thức tính diên tích tam giác . Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ -Viết công thức tính diện tích của tam ABC với đường cao là h và độ dài mỗi cạnh là a : SABC = - Viết công thức tính diện tích của các tam giác MBC; MAC ; MAB với AB = AC = BC = a và các đường cao lần lượt là MH , MK , MI Tam giác ABC là tam giác đều cho - Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ trước . Gọi độ dài mỗi cạnh là a ( AB = giữa diện tích của ba tam giác nói trên AC = BC = a) và đường cao là h không và diện tích của tam giác ABC đổi - Suy ra MH + MI + MK bằng đại * SABC = (2) lượng không đổi nào ? SMAC = ; SMBC = SMAB = * Nếu điểm M thuộc cạnh BC và tam * SABC SMAC SMBC SMAB giác ABC cân tại A thì ta cũng chứng = . (1) minh tương tự . Từ (1) và (2) suy ra : MH + MI + MK = không đổi Vậy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác b- Phiếu học tập số 2 : Trong phiếu này , HS đọc kĩ phần nội dung bài tập và gợi ý cách giải rồi tự hoàn chỉnh bài giải . GV có thể chấm điểm một trong hai bài mà HS chọn và cho vào cột điểm Tự chọn để khuyến khích học sinh tham gia . Nội dung bài tập và gợi ý cách giải Bài giải hoàn chỉnh 6
7. Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học Bài 5: Cho tam giác cân ABC . M là một điểm thuộc BC . Từ M , kẻ ME và MF lần lượt vuông góc với AB và AC ( E thuộc AB , F thuộc AC ) . Chứng minh tổng ME + MF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC . A Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ -Viết công thức tính diện tích của tam K ABC với đường cao là ứng với cạnh bên bằng CK = h và độ dài mỗi cạnh E bên là AB = AC a SABC = F - Viết công thức tính diện tích của các tam giác MAC ; MAB với các đường B C cao lần lượt là MF, ME M - Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ HS tự trình bày giữa diện tích của hai tam giác nói trên và diện tích của tam giác ABC - Suy ra MF+ ME bằng đại lượng không đổi nào ? Ví dụ 5 : Các điểm E , F nằm trên các A E B cạnh AB , BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE . Gọi I là giao điểm của AF và CE . Chứng minh rằng ID là tia phân giác của góc AIC . H I Hệ thống câu hỏi dẫn dắt 1) Khi nào thì ID là tia phân giác của K F góc AIC? - Có hai phương án trả lời : D C 1) AIˆD CIˆD và tia ID nằm giữa hai tia IA, IC. Hoặc : Vẽ DH và DK lần lượt vuông góc với IA 2) Điểm D hai cạnh IA và IC và IC (H , K lần lượt thuộc FA , CE ) - Chứng minh theo phương án 1 sẽ rất SADF = SCDE = (1) khó khăn . Ta thử chọn phương án thứ Tam giác ADF và hình bình hành ABCD hai để chứng minh . có chung đáy . và có chiều cao tương Vẽ thêm DH và DK lần lượt vuông góc ứng bằng nhau SADF = .SABCD (2) với IA và IC . Ta phải chứng minh Tam giác DCE và hình bình hành ABCD DK = DH có chung đáy và có chiều cao tương 2) Làm thế nào để chứng minh DK = ứng bằng nhau SCDE = .SABCD (3) DH ? 7
8. Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh các bài toán hình học - Việc chứng minh sẽ rất khó khăn Từ (3) và (2) suy ra .( 4) nếu không biết sử dụng phương Lại có AF = CE ( gt) (5) pháp diện tích . Kết hợp ( ),( ) và ( ) ta có DK = ở đây ta chú ý rằng DK và DH còn là DH. Suy ra điểm D hai tia IAvà IC . đường cao tương ứng với hai cạnh Do đó ID là . của góc AIC bằng nhau của hai tam giác nào ? - Dẫn đến việc cần thiết phải chứng minh SADF = SCDE - Để có kết quả đó , ta phải so sánh diện tích của hai tam giác nói trên với diện tích hình bình hành ABCD . - Tới đây , HS có thể tự trình bày lời giải 3) Sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý Ta lét trong tam giác. Sách giáo khoa Toán 8 đã cho HS thừa nhận , không yêu cầu chứng minh định lí Talét . Đối với những HS khá và giỏi có nhu cầu tìm hiểu , nâng cao thêm kiến thức, tôi phát cho mỗi nhóm học sinh phiếu học tập số 3 để học sinh về nhà tự thảo luận theo nhóm và hoàn chỉnh bài giải . c- Phiếu học tập số 3 Đề bài và nội dung cần thảo luận Điền vào chỗ trống để có lời giải hoàn chỉnh Cho tam giác ABC . D và E lần lượt A thuộc các cạnh AB và AC . Chứng AD AE H D E K minh rằng nếu DE // BC thì AB AC B C - Viết công thức tính SDBE và SCED Vẽ BH và CK vuông góc với DE SDBE = SCED = - Khi DE // BC, hãy so sánh BH và CK DE // BC BH CK ( Bằng khoảng ; S và S ; S và S . cách giữa hai đường thẳng song song DBE CED AEB ADC DE và BC ) S - Từ đó so sánh tỉ số AEB và tỉ số SDBE .SCED S ABC SDBE + = SCED+ . 8