Sáng kiến kinh nghiệm Giá trị tuyệt đối trong trường THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giá trị tuyệt đối trong trường THCS

1. mục lục Trang A. những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt 3 đối I: Các định nghĩa 3 II: Các tính chất 6 B. các dạng bài toán về giá trị tuyệt đối 9 trong chương trình THCS Chủ đề I: Giải phương trình, hệ phương trình chứa 9 dấu giá trị tuyệt đối I. Kiến thức cần lưu ý 9 II. Bài tập điển hình 10 Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 14 I. Kiến thức cần lưu ý 14 II. Bài tập điển hình 14 Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 17 I. Đồ thị hàm số y = f( x ) II. Đồ thị y = f(x) 17 III. Đồ thị y = f (x) 18 IV. Đồ thị y = f x 19 V. Đồ thị y = f (x) 20 Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu 20 thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 24 I. Kiến thức cần lu ý II. Bài tập điển hình 24 c. Đáp án 24 d. tài liệu tham khảo 26 e.kết luận 30 f. giáo án thực nghiệm 31 32 Phần I: Lời nói đầu
2. Giá trị tuyệt đối là một khái niệm được phổ biến rộng rãi trong các ngành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chương trình Toán ở bậc THCS, k hái niệm giá trị tuyệt đối của một số được gặp nhiều lần, xuyên suốt từ lớ p 6 đến lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm " Giá trị t uyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh nắm được cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bước đầu hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa dần dần đưa vào các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy không có trong chương trình giảng dạy song b ài: " Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối" được rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy đủ cho học sinh nhất là các học sinh khá g iỏi. Đến lớp 9, khi xét các tính chất của căn thức bậc hai, khái niệm giá tr ị tuyệt đối lại có thêm ứng dụng mới( đưa một thừa số ra ngoài căn, đưa một thừa số vào trong căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, ) Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó được sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng như THPT và Đại Học, Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền tảng cơ bản c ần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau. Trước nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng như nâng cao kiế n thức cho người dạy cũng như người học về khái niệm " Giá trị tuyệt đối ", chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS" . Tôi mong rằng đề tài này của tôi sẽ giúp cho giáo viên cũng như học sin h trong quá trình giảng dạy và học tập của mình. Vì hoàn thành trong một thời gian ngắn nên đề tài còn nhiều hạn ch ế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của th ầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. A. nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối 1
3. I. Các định nghĩa 1. 1. Định nghĩa 1 Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ f: R R+ a a với mỗi giá trị a R có một và chỉ một giá trị f(a) = a R+ 1.2. Định nghĩa 2 Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu a là: a nếu a 0 a = -a nếu a < 0 Ví dụ1: 15 15 32 32 0 0 1 1 17 17 *Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), k í hiệu A(x) là: A(x) nếu A(x) 0 A(x) = -A(x) nếu A(x) < 0 Ví dụ 2: 1 2x - 1 nếu 2x- 1 0 2x - 1 nếu x 2 2x 1 = = -(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0 1 - 2x nếu x < 1 2 1.3. Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là a , là số đo( theo đơn vị dài được dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số ( hình 1). -a 0 a -a a Hình 1 Ví dụ 1: 3 a = 3 a 3 2
4. Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng với ha i điểm trên trục số ( hình 2) -3 0 3 Hình 2 a b b b Tổng quát: a ; a b a b 0 b b Ví dụ 2: a 3 nếu a 0 0 a 3 a 3 -3 a 3 -a 3 nếu a < 0 -3 a < 0 Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn  3;3 và trên trục sôd thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đo ạn  3;3 ( hình 3) -3 0 3 Hình 3 Ví dụ 3: a 3 nếu a 0 a 3 nếu a 0 a 3 3 a hoặc a 3 -a 3 nếu a < 0 a -3 v nếu a < 0 Do bất đẳng thức đã đ- ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (- ; 3] và [3; + ) và trên trục số thì đ- ợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tương ứng với các khoảng số đó. (hình 4 ) -3 0 3 Hình 4 a b Tổng quát: a b a b bài tập tự luyện Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a = a 3
5. b) a a d) a = -a e) a a f) a + a = 0 g) a b b Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng: a)  a Z a > 0 b)  a Q a > a c)  a, b Z, a = b a = b d)  a, b Q, a > b a > b Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng a) a = b a = b b) a > b a > b Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau, sau đó biểu d iễn các số tìm được lên trục số: a) a 1 b) a 3 c) a - 6 = 5 d) 1 < a 3 Bài 5: a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho x < 50 b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y = 5 ( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau) c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho x + y < 4 II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối 2.1. Tính chất 1: a 0  a 2.2. Tính chất 2: a = 0 a = 0 4
6. 2.3. Tính chất 3: - a a a 2.4 Tính chất 4: a = a Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối người ta rễ thấy được các tính chất 1, 2, 3, 4. 2.5. Tính chất 5: a b a b Thật vậy: - a a a ; - b a b -( a + b ) a + b a + b 2.6. Tính chất 6: a - b a b a b Thật vậy: a = a b b a b b a b a b (1) a b a ( b ) a b a b a b a b (2) Từ (1) và (2) đpcm. 2.7. Tính chất 7: a b a  b Thật vậy: a b a b (1) b a b a (b a) a b ( a b ) a b (2) a b a b (3) ( a b ) Từ (1), (2) và (3) a b a b (4) a b a b a ( b) a b a b a b (5) Từ (4) và (5) đpcm. 2.8. Tính chất 8: a.b a.b Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0 a.b a.b (1) a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0 a.b a.b a.b a.b a.b (2) a 0 a.b a.b ( a)( b) a.b a.b a.b (3) a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0 a.b a.b a.( b) a.b a.b a.b (4) Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm. 5
7. 2.9. Tính chất 9: a a (b 0) b b a a a Thật vậy: a = 0 0  0 (1) b b b a a a a a > 0 và b > 0 a = a, b = b và 0 (2) b b b b a a a a a a 0 và b < 0 a = a, b = -b và 0 (4) b b b b b Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm. bài tập tự luyện Bài 6: Điền vào chỗ trống các dấu , , = để khẳng đinh sau đúng  a, b a) a b a + b b) a b a - b với a b c) a.b a.b 6
8. a a d) b b Bài 7: Tìm các số a, b thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) a + b = a + b b) a + b = a - b Bài 8: Cho a c 3 , b c 2 Chứng minh rằng a b 5 Bài 9: Rút gọn biểu thức: a) a +a b) a - a c) a .a d) a : a e) 3(x 1) 2 x 3 f) 2 x 3 (4x 1) B. các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chương trình THCS chủ đề i: giải phương trình và hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I. các kiến thức cần lưu ý 7
9. 1.1 A(x) nếu A(x) 0 A(x) = ( A(x) là biểu thức đại số) -A(x) nếu A(x) x0 + Nhị thức trái dấu với a  x 0  x - Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 x2 nếu x1 0 Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức âm). Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dương hay âm( dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai). Dấu của biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu. II. các bài tập điển hình 2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) - x 3 Thật vậy: + Với ( x - 3) 0 hay x 3 thì x 3 = x - 3 + Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì x 3 = -(x - 3) = 3 - x ta xét hai trường hợp ứng với hai khoảng của biến x + Nếu x 3 thì A = 2(3x - 1) - x 3 = 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - 2 - x + 3 = 5x + 1 + Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) - x 3 = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - 2 - 3 + x 8
10. = 7x - 5 2.2 Rút gọn biểu thức B = x 1 - x 5 Thật vậy Với x-1 0 hay x 1thì x 1 =x-1 Với x-1 0 x1 = 1; x2 = 3 Với 1 0 f(x) > 0 Vậy ta xét hai trường hợp ứng với ba khoảng của biến Với 1 < x < 3 thì B = -(x2 - 4x + 3) - 5 = - x2 + 4x - 3 - 5 = - x2 + 4x - 8 Với x 1 hoặc x 3 thì B = ( x2 - 4x + 3) - 5 = x2 - 4x + 3 - 5 = x2 - 4x - 2 2.3. Giải phương trình x 1 x 2 3x 1 Thật vậy: áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 trường h ợp ứng với 3 khoảng. + Nếu x < 1 ta được phương trình: 1 - x + 2 - x = 3x + 1 9