Sáng kiến kinh nghiệm Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình

1. “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ I. phần mở đầu I.1. Lý do chọn đề tài. Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà người thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn. Người học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác. Nhưng nếu Học sinh đứng một mình trước một bài toán mà không có giúp đỡ nào, hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì được. Mặt khác nếu thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải làm. Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và như vậy để học sinh có một công việc hợp lý. Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thường gặp bài toán giải phương trình, hệ phương trình không chính tắc, chúng thường được thiết kế dưới ý tưởng của một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó. Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là sự phối hợp nhiều luồng kiến thức, kĩ năng giải toán. Bài toán đòi hỏi người làm toán phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng. Người làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức, đồng thời tập cho chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học. Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp lại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
2. “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh, gọn và tiết kiệm được thời gian . Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập. Với các lý do nêu trên tôi có ý tưởng xây dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình”. I.2.Tính cần thiết của đề tài. Theo đề tài này khi đưa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau: Nhằm nâng cao chất lượng “Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp dùng bất đằng thức”. Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao trong các kỳ thi, kỳ thi học sinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ túi khối THCS, học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng toán giải phương trình và hệ phương trình. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán và các bộ môn khác ngày càng cao hơn. I.2. Mục đích nghiên cứu. Học sinh đạt được Giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp bất đẳng thức . I.3. Đối tượng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu. 4.1. Đối tượng nghiên cứu: - Các dạng toán giải phương trình, hệ phương trình và các bất đẳng thức trong chương trình THCS. 4.2. Phạm vi nghiên cứu: Học sinh các lớp khối 8 khối 9 ở trường THCS Mạo Khê II - Đông Triều - Quảng Ninh Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
3. “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ 4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007; 2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010. I.4. Đóng góp mới về mặt lý luận và thực tiễn I.4.1. Cơ sở lí lụân Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật. Do đó đòi hỏi người giáo viên cần có năng lực sư phạm vững vàng, phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích cực giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Việc tạo cho học sinh niềm hứng thú trong học tập “Giải phương trình hệ phương trình bằng phương pháp dùng bất đằng thức” hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực sư phạm của giáo viên . Ngoài việc lên lớp người giáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để làm sao có thể truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả năng tiếp thu của từng đối tượng học sinh. Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay ở trường THCS là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt là trong năm học này toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc vận động “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ” thì việc tạo hứng thú học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin trong học tập, khơi dậy trong các em ý thức “mỗi ngày đến trường là một niềm vui” I.4.2. Cơ sở thực tiễn Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, Toán trên máy tính tại trường THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng: Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
4. “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ - Đối với học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp dùng “bất đẳng thức” các em rất tích cực vì một số điều như kết quả nhanh, chính xác, làm được nhiều bài tập trong khoảng thời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán. - Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm. Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi người cùng một suy nghĩ rằng - cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học. - Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải cho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng được”. - Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình. Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên song không vận dụng được vào cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành. II. phần nội dung II.1.1. Một số thành tựu Thực tế qua theo dõi chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở khối 8, 9 có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên thì tôi thấy rằng đa số các em tích cực tư duy, hứng thú với bài tập mới, kiến thức mới hơn so với các lớp còn lại. Đặc biệt là trong lớp luôn có sự thi đua tìm ra cách giải hay nhất, nhanh nhất. Không khí lớp học luôn sôi nổi, không gò bó, học sinh được độc lập tư duy. Điều hứng thú hơn là phát huy được trí Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
5. “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ lực của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học hứng thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới. II.1.2. Một số tồn tại và nguyên nhân Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng trong hai khối 8 và khối 9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học sinh còn thiếu động cơ học tập, lười học, không tích cực học tập vì cho rằng đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậy việc phát huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế. Hơn nữa những học sinh trên ít được sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi hỏi sự cố gắng tận tâm của người thầy dần giúp các em hòa nhập với khả năng nhận thức chung cuả môn học. II.13. Vấn đề đặt ra Rèn luyện “Giải phương trình hệ phương trình bằng phương pháp dùng bất đằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năng mới cho học sinh phương pháp luyện tập thông qua bài tập là quan trọng để nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn. Với học sinh họat động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau: - Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu được qua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức được nhớ lâu khi được vận dụng thường xuyên. - Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong phú, hấp dẫn. - Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt nhất kiến thức đã học. - Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh. II.2.áp dụng trong giảng dạy II.2.1.các bước tiến hành Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
6. “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy tính nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm được những công việc sau: - Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn những em học khá Toán trở lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán. - Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán. - Soạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi phải hệ thống, phân loại được từng dạng Toán ở khối được phân công bồi dưỡng - Lên kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi theo từng tuần . - Thường xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quan trên mạng internet. Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi : Dạy từ 2 – 3 buổi trong một tuần. Ii.2.2. Quá trình thực hiện I)- áp dụng bất đẳng thức Cauchy 1. Kiến thức Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc đối cới hầu hết học sinh. Tuy nhiên, người ta vẫn xây dựng được nhiều bài toán mới hay khó. Bất đẳng thức cauchy được phát biểu: Cho dãy số không âm a1,a2, an. Ta có bất đẳng thức: a a a 1 2 n n a a a n 1 2 n Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =an Bất đẳng thức được chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép không trình bày chứng minh trong bài viết này. 2. Một số ví dụ. Phương trình, hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức cauchy rất phong phú và đa dạng. Thông qua các ví dụ điển hình mong rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán. Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
7. “Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “ Ví dụ 1: Giải phương trình: x y z 4 2. x 2 4. y 3 6. z 5 (Tuyển sinh 10, THPT Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh - 1993 - 1994) * Lời giải: Điều kiện có nghĩa: x 2 ; y 3 ; z 5. áp dụng Bất đẳng thưc Cauchy, ta có: 2 x 2 x 2 1 (1) 4 y 3 y 3 4 (2) 6 z 5 z 5 9 (3) Cộng (1), (2), (3), ta có: 2 x 2 4 y 3 6. z 5 x y z 4 Đẳng thức xảy ra: x - 2 = 1 Khi y - 3 = 2 z - 5 = 3 Vậy nghiệm của phương trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8) Nhận xét: Đây là phương trình vô tỷ không chính tắc, bài toán còn có những cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng thức Cauchy là dụng ý của người viết. Đây là bài toán cơ bản, chúng ta có thể tạo nhiều bài tương tự với một chút biến đổi. Ví dụ 2: Giải phương trình: 16x4 5 63 4x3 x Lời giải: Điều kiện có nghĩa: Vì 16x4 + 5 > 0 nên 3 4x3 x > 0 x > 0 Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II