Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

1. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân MỤC LỤC× Phần I: Sơ yếu lý lịch Trang 2 Phần II: Nội dung đề tài Trang 3 A. Tên đề tài Trang 3 B. Lý do chọn đề tài Trang 3 C. Phạm vi, thời gian thực hiện Trang 4 D. Quá trình thực hiện đề tài Trang 4 I. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài Trang 4 II. Những nội dung biện pháp đã thực hiện Trang 5 1. Phương pháp chung Trang 5 2. Các dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp Trang 6 Phần III. Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài Trang 23 Phần IV: Kết luận Trang 24
2. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm 2013- 2014 PHẦN I: SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ và tên: Đỗ Thị Xuân Ngày sinh: 10- 6- 1972 Năm vào ngành: 9/ 1993 Chức vụ: Tổ trưởng tổ khoa học tự nhiên Đơn vị công tác: Đại học Ngày vào Đảng: 01- 07- 1996 Nhiệm vụ được giao: Dạy toán lớp 9A1, 9A5 Thành tích: Năm học 2013- 2014: Lao động tiên tiến.
3. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI A. TÊN ĐỀ TÀI: “Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số” B. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Học toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừ tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong đó quá trình học toán ở trường THCS. Trong môn toán trong trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán, phải cố gắng hướng dẫn cách học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có nhiều thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có long tận tâm và phương pháp đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để trang bị cho học sinh một số tri thức, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện phát triển ở các em năng lực tư duy. Biết ra đề cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh. Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần thiết phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện. Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán, bài tập trong học tập ta phải tìm một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều cách thử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc kết hợp nhiều cách giải cho một bài tập. Nhưng không ai cũng biết được hết cách giải các bài toán trong toán học, ngoài ra biết rồi còn phải áp dụng chúng như thế nào lại là một vấn đề khó. Nhằm cung cấp cách giải cho các dạng toán tìm cực trị của biểu thức đại số tôi tiến hành nghiên cứu đề tài “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số”. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này.
4. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân Để giải các bài toán cực trị đại số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các biểu thức biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng đơn giản đến phức tạp. Biết sử dụng một cách linh hoạt bất đẳng thức Côsi. Bởi thế, có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp hai tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số. C. PHẠM VI, THỜI GIAN THỰC HIỆN. - Phạm vi: Học sinh lớp 9A1, 9A45 - Thời gian: 2 năm. D. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI. I. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài. 1. Đặc điểm tình hình: - Thuận lợi: + Các em đều có ý thức học toán, muốn tìm tòi các dạng toán mới. + Có đầy đủ các loại sách tham khảo. - Khó khăn: Dạng toán tìm cực trị đòi hỏi phải sử dụng các phép biến đổi khác nhau, các em khó phát hiện ra phương pháp giải. Chính vì vậy khi gặp dạng toán tìm cực trị các em rất lúng túng và dẫn tới chán nản. 2. Bảng điều tra bài kiểm tra 15’: Điểm Điểm Điểm Điểm Lớp Sĩ số 0 -> 2,5 3 -> 4,5 5 -> 7,5 8 -> 10 9A1 44 2 10 26 6 9A4 31 12 11 8 0
5. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân II. Những nội dung biện pháp đã thực hiện: 1. Phương pháp chung khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Nếu với mọi giá trị của biến thuộc khoảng xác định nào đó mà giá trị của A ≥ k (≤ k) và tồn tại giá trị biến để A = k thì k gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc khoảng xác định trên. Để tìm GTNN của biểu thức A ≥ k với k là hằng: - Chứng minh rằng A ≥ k với k là hằng số. - Chỉ ra trường hợp dấu “ = “ có thể xảy ra. Min A là GTNN của A. Để tìm GTLN của biểu thức A ta cần. - Chứng minh rằng A ≤ k với k là hằng số. - Chỉ ra trường hợp dấu “ = “ có thể xảy ra. Max A là GTLN của A. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Giải: Chú ý: (x – 1)2 ≥ 0(1) ; (x – 3)2 ≥ 0(2) Nhưng không thể kết luận được giá trị nhỏ nhất của A bằng 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2) Ta có: A = (x – 1)2 + (x - 3)2 = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2x2 – 8x + 10 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 Vì (x – 2)2 ≥ 0 nên 2(x – 2)2 ≥ 0 A ≥ 2 Do đó: A = 2 khi x – 2 = 0 ↔ x = 2 Vậy: Min A = 2 khi x = 2.
6. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân 2. Các dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp: Dạng 1: Tìm GTNN, GTLN của tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của A= 3x2 - 30x + 88 Giải ĐKXĐ: x R A = 3x2 - 30x + 88 A = 3(x2 - 10x) + 88 A = 3(x2 - 10x + 25) – 75 + 88 A = 3(x - 5)2 + 13 min A = 13 ↔ x = 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của B = - 7x2 + 12x – 3 Giải: ĐKXĐ:  x R 12 B = - 7(x2 - p x) – 3 7 B= - 7(x2 - 12 x + 36 ) + 36 - 3 7 49 7 2 6 15 15 B = - 7 x 7 7 7 15 6 6 Max B = x - x = 7 7 7 Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta làm như sau: + Bước 1: Tìm ĐKXĐ + Bước 2: Nhóm các hạng tử chứa ẩn + Bước 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung + Bước 4: Thêm bớt vào trong ngoặc để bài toán trở thành bình phương một nhị thức và một hạng tử tự do
7. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân + Bước 5: Dựa vào “ phương pháp chung” kết luận GTNN, GTLN * Tổng quát: Cho tam thức bậc hai: P = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Giải: 2 2 2 2 b b b P = ax + bx +c = a(x + x) + c = a x c a 2a 4a 2 Đặt k = c - b 4a 2 b Do x ≥ 0 nên: 2a 2 b Nếu a ≥ 0 thì a x ≥ 0 P ≥ k 2a b b Do đó Min P = k khi x = 0 x = - 2a 2a 2 b Nếu a ≤ 0 thì a x ≤ 0 P ≤ k 2a b b Do đó Max P = k khi x = 0 x = - 2a 2a Dạng 2: Đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x(x – 3)(x - 4)(x - 7) Giải: ĐKXĐ: x R Ta có: A = x(x – 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt t = x2 – 7x + 6 Nên: x2 – 7x = t – 6 và x2 – 7x + 12 = t + 6 Do đó: A = (t - 6)(t + 6) = t2 – 36 ≥ - 36 Vậy Min A = - 36 Khi t = 0 ↔ x2 – 7x + 6 = 0 ↔ x = 1 hoặc x = 6
8. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 2x – x 3 Giải ĐKXĐ: x – 3 ≥ 0 x ≥ 3 Đặt t = x 3 (t ≥ 0) Ta có: t2 = x – 3 x = t2 + 3 Do đó B = 2(t2 + 3) – t B = 2t2 – t + 6 2 1 1 47 B = 2 t 2 16 8 2 1 47 47 B = 2 t 4 8 8 47 1 1 1 Vậy max B= t - = 0 t = t2 = 8 4 4 16 1 49 : x – 3 = x = (thỏa mãn) 16 16 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = y4 – 6y2 – 7 Giải Đặt y2 = x ≥ 0 Vậy C = x2 – 6x – 7 = (x2 – 6x + 9) – 9 – 7 = (x – 3)2 – 16 ≥ - 16 Vậy min C = - 16 khi x – 3 = 0 x =3 (thỏa mãn) Do đó y2 = 3 y = 3 Tổng quát: Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các dạng đa thức đặc biệt ta có thể đặt ẩn phụ bằng cách thực hiện các bước sau: + Bước 1: Tìm điều kiện xác định + Bước 2: Tìm mối lien hệ đặt ẩn phụ và đặc biệt chú ý điều kiện của ẩn phụ.
9. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân + Bước 3: Đưa về dạng tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) rồi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức. + Bước 4: Kết luận (chú ý các điều kiện xảy ra dấu “ = ”) Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ 5 Giải: Đặt │3x - 1│= y (y ≥ 0) thì A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ 5 = y2 – 4y +5 = (y – 2)2 +1 ≥ 1 Vậy Min A = 1 Khi y = 2 (Thỏa điều kiện) Do đó: │3x - 1│= 2 ↔ x = 1 hoặc x = - 1 3 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = │x - 2│+ │x - 3│ Giải: * Xét khoảng x - 4 Do đó 5 – 2x > 5 – 4 Vậy B > 1 (1) * Xét đoạn 2 ≤ x ≤ 3 thì B = x – 2 + 3 – x = 1 (2) * Xét khoảng x > 3 thì B = x – 2 + x – 3 = 2x – 5 Do x > 3 nên 2x > 6 Do đó 2x – 5 > 6 – 5 Vậy B > 1 (3) So sánh (1), (2), (3) ta được Min B = 1 khi 2 ≤ x ≤ 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |x – 2y + 1| + |x – 2y| Giải Ta có C = |x – 2y + 1| + |x – 2y| = |x – 2y + 1| + |2y – x| ≥ |x – 2y + 1 + 2y – x | = 1 Do đó Min C = 1 khi (x – 2y + 1)(2y – x) ≥ 0 2y – 1 ≤ x ≤ 2y Nhận xét: Qua các Ví dụ trên, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối ta có thể làm như sau:
10. Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Xuân Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng các tính chất của dấu giá trị tuyệt đối. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số dựa vào “Phương pháp chung”. Dạng 4: Tim giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c >0) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của B = - x4 + 4x3 – 5x2 + 4x – 4 Giải B = - x4 + 4x3 – 5x2 + 4x – 4 = - x2 (x2 – 4x + 4) + 4x2 – 5x2 + 4x – 4 = - x2 (x-2)2 – (x2 – 4x + 4) = - x2 (x – 2)2 - (x – 2)2 0 x Vậy Max B = 0 x (x – 2) = 0 x = 2 x – 2 = 0 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x – 8 Giải A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x – 8 = x2 (x2 + 2x + 1) – x2 + 2x2 + 2x + 1 – 9 = x2 (x+1)2 – (x + 1)2 – 9 - 9  x x(x 1) 0 x 1 Vậy Min A = -9 x 1 0 Nhận xét: Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng: P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c >0) ta làm như sau: Bước 1: Biến đổi 2 2 b 2 P = ax x x cx dc e a