Sáng kiến kinh nghiệm Bằng cách xét vị trí tương đối của tiếp tuyến và đồ thị hàm số suy ra một bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Bằng cách xét vị trí tương đối của tiếp tuyến và đồ thị hàm số suy ra một bất đẳng thức

1. Phần 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đối với học sinh THPT, việc hiểu một khái niệm là điều cần thiết. Song để học sinh hiểu sâu và có hứng thú cần cho học sinh thấy được ý nghĩa và tác dụng của khái niệm, đặc biệt cần vận dụng khái niệm đó vào giải một số bài toán cụ thể. Trong chương trình toán học lớp 12, khái niệm tiếp tuyến; tính lồi, lõm của đồ thị hàm số khá trừu tượng. Các bài tập liên quan đến chúng tuy nhiều (thường là viết phương trình tiếp tuyến, xét tính lồi lõm của đồ thị hàm số) nhưng ít có bài tập ứng dụng hai khái niệm này. Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đưa ra một kĩ thuật đơn giản (đó là dùng tiếp tuyến kết hợp với tính lồi, lõm của đồ thị hàm số để chứng minh bất đẳng thức) nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Điều quan trọng là học sinh có thể được định hướng cách giải ngay từ đầu. Ý tưởng của phương pháp này là: “Bằng cách xét vị trí tương đối của tiếp tuyến và đồ thị hàm số ta suy ra một BĐT”. Để làm được điều này ta có thể dựa vào tính lồi, lõm của đồ thị hàm số hoặc tính toán trực tiếp. Theo phương pháp này ta có thể chứng một cách đơn giản BĐT Jenxen. Hơn thế, nó còn giải quyết được những bài toán mà BĐT Jenxen không xử lí được (như bài 5, bài 6, bài 7). Như vậy phương pháp này mạnh hơn hẳn BĐT Jenxen. Xuất phát từ những lí do nêu trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm này với hy vọng cung cấp cho học sinh một phương pháp có hiệu lực để chứng minh BĐT. Đề tài cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, vì điều kiện thời gian có hạn và cách trình bày có thể chưa thật tốt nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các bạn độc giả đọc và góp ý cho tôi. 1
2. Phần 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I. Cơ sở lí thuyết 1. Khái niệm về tính lồi, lõm của đồ thị hàm số Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). a) Đồ thị của hàm số được gọi là lồi trên khoảng (a;b) nếu tại mọi điểm M(c; f (c)),c (a;b) tiếp tuyến của đồ thị hàm số nằm phía trên của đồ thị hàm số. b) Đồ thị của hàm số được gọi là lõm trên khoảng (a;b) nếu tại mọi điểm M(c; f (c)),c (a;b) tiếp tuyến của đồ thị hàm số nằm phía dưới của đồ thị hàm số. 2. Dấu hiệu lồi, lõm của đồ thị hàm số Cho hàm số y f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b). a) Nếu f ''(x) 0 với mọi x (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng (a;b). b) Nếu f ''(x) 0 với mọi x (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng (a;b). 3. Nhận xét a) Cho các hàm số y f (x) và y g(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đồ thị lần lượt là (C) và (G). Khi đó (C) nằm trên (G) f (x) g(x),x (a;b) b) Nếu đồ thị hàm số y f (x) lồi trên khoảng (a;b) và y f '(c)(x c) f (c) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(c; f (c)), c (a;b) thì f (x) f '(c)(x c) f (c), x (a;b) (1) c) Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức ngược lại. Bất đẳng thức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức f (x) thông qua biểu thức bậc nhất. Hơn nữa, ta có thể chọn c sao cho dấu đẳng thức xảy ra theo đúng yêu cầu của bài toán. 2
3. II. Bài tập áp dụng Bài 1 (BĐT Cô - si). Cho a1, a2, , an là các số không âm. Chứng minh rằng a a a 1 2 n n a a a n 1 2 n Chứng minh. Nếu có một số ai = 0 (i = 1, 2, , n) thì bđt là hiển nhiên. Bây giờ ta xét trường hợp ai > 0, i {1, 2, , n}. Chia hai vế cho a1 a2 an ta được 1 a1 a1 a1 n . n a1 a2 an a1 a2 an a1 a2 an ai Đặt xi , i {1, 2, , n} thì xi > 0 thoả mãn x1 x2 xn 1 và bđt a1 a2 an 1 1 trở thành n x x x hay ln x ln x ln x nln 1 2 n n 1 2 n n 1 1 Xét hàm số y f (x) ln x, x 0. Ta có f '(x) , f ''(x) 0,x 0 suy ra đồ x x2 thị hàm số lồi trên khoảng (0;+ ) . 1 1 1 Tiếp tuyến của đths tại điểm ;ln có phương trình là y nx 1 ln suy ra n n n 1 ln x nx 1 ln , x (0; ) (1) n Áp dụng bđt (1) cho x1, x2, , xn và cộng vế lại ta được 1 ln x ln x ln x n(x x x ) n nln 1 2 n 1 2 n n Kết hợp với x1 x2 xn 1 ta có điều phải chứng minh. 1 Đẳng thức xảy ra khi x x x hay a a a . 1 2 n n 1 2 n Bài 2 (BĐT Jenxen) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng (a;b). a) Nếu f ''(x) 0,x (a;b) thì x1, x2 , , xn (a;b) và  1, 2 , , n [0;1] thoả mãn 1 2 L n 1 ta có f ( 1x1 2 x2 L n xn ) 1 f (x1 ) 2 f (x2 ) L n f (xn ) (1) 3
4. b) Nếu f ''(x) 0,x (a;b) thì ta có bất đẳng thức ngược lại. Chứng minh. a) Đặt x 1x1 2 x2 L n xn thì x (a;b). Tiếp tuyến của đths y f (x) tại điểm (x; f (x)) có phương trình là y f '(x)(x x) f (x) . Do f ''(x) 0,x (a;b) nên đồ thị hàm số lõm trên khoảng (a;b). Bởi vậy tại điểm (x; f (x)) tiếp tuyến nằm dưới đồ thị. Từ đó suy ra f (x) f '(x)(x x) f (x),x (a;b) Thay x xi ta được f (xi ) f '(x)(xi x) f (x) . Nhân hai vế với i 0 ta được i f (xi ) i f '(x).xi i f '(x).x i f (x),i 1,2, ,n . Cộng vế n BĐT ta được n n n n  i f (xi ) f '(x) i xi f '(x).x i f (x) i i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n Bởi x  i xi và  i 1 nên ta được  i f (xi ) f ( i xi ) đó là đpcm. i 1 i 1 i 1 i 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 L xn b) Chứng minh tương tự. 1 Trường hợp đặc biệt: Nếu L thì BĐT (1) trở thành 1 2 n n f (x1 ) f (x2 ) L f (xn ) x1 x2 L xn f n n Nhận xét. Đây là cách chứng minh ngắn gọn và dễ hiểu nhất so với các cách chứng minh đã biết trong các tài liệu. Ngoài ra, dùng tiếp tuyến ta còn có thể giải được các bài toán mà BĐT Jenxen không giải quyết được. Bài 3 (BĐT Bécnuli). Cho x 1 và số thực . Chứng minh rằng a) (1 x) 1 x,  ( ;0)  (1; ) b) (1 x) 1 x,  (0;1) Chứng minh. Xét hàm số y f (x) (1 x) . Ta có f '(x) (1 x) 1, f ''(x) ( 1)(1 x) 2 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (0 ; 1) có pt là y x 1. Nếu ( ;0)  (1; ) thì f ''(x) 0,x 1, do đó đths lõm trên khoảng ( 1; ) Suy ra (1 x) x 1, x 1. 4
5. Nếu 0 1 thì f ''(x) 0,x 1, do đó đths lồi trên khoảng ( 1; ) Suy ra (1 x) x 1, x 1. Đẳng thức xảy ra khi x 0 hoặc 0 hoặc 1 Bài 4 (ĐH 2003) Cho các số dương x, y và z thoả mãn x + y + z 1. Chứng minh rằng 1 1 1 x2 y2 z2 82 x2 y2 z2 1 Giải. Xét hàm số f (x) x2 , x (0;1) . Vì rằng đẳng thức xảy ra khi x2 1 x y z nên chúng ta xét đồ thị của hàm số f (x) và tiếp tuyến của nó tại điểm 3 1 x4 1 1 80 x . Ta có f '(x) f '( ) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 1 3 82 x3 x2 x2 1 82 80 162 hàm số tại điểm ; là y x . 3 3 82 3 82 6 2 2 6 f ''(x) x x 0, x 0 suy ra đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0; ) . 2 1 2 1 x 2 x 2 x x 1 82 Do đó tại điểm ; tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị, bởi vậy ta có 3 3 1 80 162 x2 x , x 0 . Tương tự đối với y, z và cộng lại ta được x2 82 3 82 1 1 1 80 162 x2 y2 z2 (x y z) 82 (do x y z 1). x2 y2 z2 82 82 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z . 3 Nhận xét. Cái hay của kĩ thuật này ở chỗ: - Thứ nhất, ta có thể đánh giá một biểu thức thông qua biểu thức bậc nhất. - Thứ hai, ta có thể chọn vị trí của tiếp tuyến sao cho bất đẳng thức xảy ra dấu bằng. 5
6. Bài 5 (India, 1995) Cho x1, x2 , , xn là n số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng x x x n 1 2 L n , n ¥ ,n 2 1 x1 1 x2 1 xn n 1 x Giải. Xét hàm số f (x) , x (0;1) . Vì rằng đẳng thức xảy ra khi 1 x 1 x x L x nên chúng ta xét đồ thị của hàm số f (x) và tiếp tuyến của nó 1 2 n n 1 1 2 x 1 (2n 1) n tại điểm ; . Ta có f '(x) f ' . n n(n 1) 2(1 x) 1 x n 2(n 1) n 1 1 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ; có phương trình là n n(n 1) (2n 1) n 1 y x 2(n 1) n 1 2(n 1) n(n 1) 4 x f ''(x) 0, x (0;1) suy ra đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0;1) 4(1 x)2 1 x 1 1 và do đó tiếp tuyến của nó tại điểm ; nằm phía dưới đồ thị. Bởi vậy n n(n 1) x (2n 1) n 1 ta có x , x (0;1). Áp dụng bất đẳng 1 x 2(n 1) n 1 2(n 1) n(n 1) thức này cho x1, x2 , , xn và cộng vế lại ta được x1 xn (2n 1) n n n L (x1 L xn ) 1 x1 1 xn 2(n 1) n 1 2(n 1) n(n 1) n 1 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x x L x . 1 2 n n Bài 6. Chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có 3 3 sin A sin B sinC 2 Chứng minh. Xét hàm số f (x) sin x, x (0; ). Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng 3 khi A B C nên ta xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ; . Ta 3 3 2 có 6
7. 1 1 3 f '(x) cos x f ' nên tiếp tuyến có phương trình là y x . 3 2 2 2 6 f "(x) sin x 0, x (0; ) nên đồ thị hàm số lồi trên khoảng (0; ) . Do vậy tại 3 điểm ; tiếp tuyến nằm phía trên đồ thị, từ đó ta có 3 2 1 3 sin x x , x (0; ) . Áp dụng bất đẳng thức này cho A, B, C và cộng 2 2 6 vế lại ta được 1 3 3 3 3 sin A sin B sinC (A B C) sin A sin B sinC 2 2 2 2 Nhận xét. - Bằng cách này ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản cho các hàm số sin x, cos x, tan x, cot x. - Các bất đẳng thức trên có thể được chứng minh dựa vào BĐT Jenxen. Tuy nhiên BĐT Jenxen không được đề cập đến trong chương trình toán học phổ thông (có thể vì sự chứng minh BĐT này khá phức tạp). Bây giờ, dùng tiếp tuyến ta sẽ chứng minh BĐT Jenxen một cách đơn giản. Bài 7. Cho các số dương a, b, c thoả mãn 4(a b c) 9 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b c a S = a a2 1 b b2 1 c c2 1 Giải. Ta có lnS bln a a2 1 cln b b2 1 aln c c2 1 Xét hàm số f (x) ln(x x2 1), x 0 (1). Do đặc thù của bài toán nên ta có thể 3 dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi a b c . Vì vậy ta sẽ so sánh vị trí của 4 3 đồ thị với tiếp tuyến của nó tại điểm ( ;ln 2) . 4 1 3 4 Đạo hàm f '(x) f '( ) . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm x2 1 4 5 3 4 3 ( ;ln 2) có phương trình y x ln 2 . 4 5 5 7