Hướng dẫn học sinh Lớp 9 giải bài toán cực trị đại số dạng phân thức

Nội dung text: Hướng dẫn học sinh Lớp 9 giải bài toán cực trị đại số dạng phân thức

1. A - ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường phổ thông Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán cũng giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân. Ở trường THCS, trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khỏi niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Trong chương trình Toán THCS các bài toán cực trị đại số nói chung, bài toán cực trị của các biểu thức dạng phân thức nói riêng rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Để giải quyết bài toán, người ta phải bằng các cách giải tối ưu nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS. Do đó, đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống. Vì vậy để giúp các em khắc phục được những khó khăn đó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán cực trị đại số dạng phân thức ”. 1
2. B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - CƠ SỞ Lí LUẬN Các bài toán cực trị đại số dạng phân thức là rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Chúng ta phải tìm ra cách giải tối ưu nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quyết các bài toán loại này. Đây là dạng toán đại số được sử dụng trong chương trình toán THCS. Tuy nhiên trong sách giáo khoa lại không hướng dẫn phương pháp giải toán một cách cụ thể, vì vậy học sinh thường lúng túng khi gặp dạng toán này. Do đó, việc giải các bài toán cực trị đại số dạng phân thức ở THCS đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ và mới một cách logic có hệ thống. Trong khi đa số học sinh THCS, nhất là học sinh lớp 9 trong độ tuổi phát triển mạnh về tâm sinh lý, lại phân tán ở nhiều môn học, nên việc huy động kiến thức, kết hợp kiến thức cũ và mới, suy nghĩ một cách logic, sáng tạo và có hệ thống là rất khó khăn. Nên đa số các em không có hứng thú với loại toán này, các em cảm thấy khó khăn khi gặp các bài toán cực trị đại số dạng phân thức và không biết vận dụng để giải quyết các dạng bài toán khác. II - THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Tại trường THCS Yên Lâm khi được phân công dạy toán 9A, B ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy băn khoăn trước cách học của học sinh, tôi dùng nhiều hình thức kiểm tra nhận thấy một hiện tượng, học sinh trả lời rõ ràng, mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt, chấp hành đúng nguyên bản. Trng quá trình dạy tôi đưa ra một số ví dụ thì đa số học sinh không biết làm như thế nào. Trong quá trình dạy và bồi dưỡng học sinh lớp 9, bản thân tôi đã tìm hiểu nhiều tài liệu và nhận thấy đây là dạng toán tương đối khó, tuy nhiên phần nhiều các tài liệu chỉ đưa ra bài tập và bài giải mà ít đề cập đến lý thuyết vì vậy học sinh gặp nhiều khó khăn đối với dạng toán này. 2
3. Qua nhiều biện pháp điều tra về việc giải bài toán cực trị đại số dạng phân thức ở hai lớp 9A và 9B, kết quả cụ thể thu được như sau: Giỏi Khá TB Yếu- kém Lớp Tổng số SL % SL % SL % SL % 9A,B 77 03 3,9 11 14,3 39 50,6 24 31,2 III - CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN A. những kiến thức cần sử dụng khi giải toán cực trị đại số. I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Cho biểu thức f(x, y ) xác định trên miền D a. M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x, y ) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau đồng thời được thoả mãn. 1. f(x, y ) | f(x)|2k + m m M - | f(x)|2k M 2. a) |x| 0 b) | x + y | | x| + | y | dấu “=” xảy ra x, y cùng dấu c) | x + y | | x| - | y | dấu “=” xảy ra x, y cùng dấu 3
4. 3. Sử dụng các bất đẳng thức a. Bất đẳng thức Cô si dưới các dạng sau: + (a + b)2 4ab; dấu “=” xảy ra a = b a b + + 2 (a, b > 0); dấu “=” xảy ra a = b b a + a + b 2 ab (a 0; b 0); dấu “=” xảy ra a= b Các hệ quả của bất đẳng thức Côsi. + a > 0; b 0; a + b = k (không đổi) thì tích a.b lớn nhất khi và chỉ khi a=b + a 0; b 0; a.b = k (không đổi) thì tổng a + b nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. + Bất đẳng thức Cô si tổng quát. n a1 + a2 + . + an n a1 an với a1 0; i = 1.n Dấu “=” xảy ra a1=a2 = . = an. b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki a b (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) dấu “=” xảy ra = (a, b, x, y 0) x y Nếu x = 0 xem như a = 0 y = 0 xem như b = 0 Tổng quát: Cho 2 bộ số a1, a2, . an và b1, b2, . bn 2 2 2 2 2 2 2 => (a1b1 + a2b2 + + anbn) (a1 + a2 + . + an ) (b1 + b2 + . + bn ) a a a Dấu “=” xảy ra khi 1 = 2 = . = n b1 b2 bn c. Các bất đẳng thức khác. B. Một số phương pháp giải toán cực trị Phương pháp 1: Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng các dùng các phép biến đổi đồng nhất đưa biểu thức đại số đã cho về dạng có thể xét được cực trị của nó bằng định nghĩa. 4
5. Để tìm Max f(x, y ) trên miền (D) ta phải chứng minh a. f (x, y ) M b. Chỉ ra  (x0, y0 ) D sao cho f (x0; y0 ) = M Để tìm Min f(x) trên miền (D) ta phải chứng minh: a. f(x) m b. Chỉ ra  (x0, y0 ) (D) sao cho f (x0; y0 ) = m Phương pháp 2: Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Trong nhiều bài toán việc đặt ẩn phụ có thể đưa biểu thức phức tạp dạng xét về dạng đơn giản từ đó có thể dễ dàng xét được cực trị. Phương pháp 3: Giải toán cực trị bằng cách sử dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopxki hoặc các bất đẳng thức quen thuộc khác. Phương pháp 4: Giải toán cực trị bằng phương pháp miền giá trị. Giả sử phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x D, có nghĩa là phương trình f(x) = y0 phải có nghiệm. Sau khi giải điều kiện để phương trình có nghiệm (x là biến, y là tham số) thường đưa đến bất đẳng thức sau: m y0 M Từ đó => Min f(x) = m với  x D Max f(x) = M với x D Phương pháp 5: Giải toán cực trị bằng phương pháp đồ thị. Căn cứ vào việc khảo sát đồ thị hàm số bậc 2y = ax2 + bx + c ta có thể tìm được cực trị của nó trên tập xác định [ . ] nào đó. Vì vậy đối với các hàm số bậc 2 hoặc các hàm số có dạng bậc 2 sau khi đặt ẩn số phụ, có thể dùng phương pháp tìm cực trị có hiệu quả đó là dùng đồ thị. 5
6. Phương pháp 6: Phương pháp xét biểu thức phụ. Để tìm cực trị của một biểu thức có khi người ta xét cực trị của một biểu thức khác có thể so sánh được với nó nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị lớn hơn. 1 Ví dụ: Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0 có thể xét biểu thức A Các biểu thức phụ thường xét có thể là: -A, A2, |A| hoặc A + k (k là hằng số) C. Một số dạng bài toán tìm cực trị dạng phân thức. Dạng 1: Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 1 A = x2 6x 17 Giải Ta có: x2 – 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 8 nên tử và mẫu của A là các số dương do đó A lớn nhất 1 nhỏ nhất A x2 – 6x + 17 nhỏ nhất (x - 3)2 + 8 nhỏ nhất. Mà (x - 3)2 0 => (x - 3)2 + 8 8 => Min (x2 - 6x + 17) = 8 x = 3 1 Vậy MaxA = x = 3 8 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 9x 2 6x 5 Giải Ta có: B = - 2. 1 ; để đưa bài toán về dạng đơn giản như ví dụ 1. 9x2 6x 5 Trước hết tìm cực trị của B’ = 1 = 1 9x2 6x 5 (3x 1) 2 4 Ta có: (3x - 1)2 + 4 4 6
7. 1 1 1 Vì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều dương => hay B’ (3x 1) 2 4 4 4 Dấu “ = ” xảy ra 3x – 1 = 0 x = 1 3 1 1 1 Từ đó => - 2. - 2. hay B - (3x 1) 2 4 4 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của B = - 1 x = 1 2 3 Chú ý: lập luận điều kiện để nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức và khi nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm. Qua hai ví dụ trên học sinh đã bước đầu có kỹ năng và hình thành kỹ năng k khi tìm cực trị của biểu thức dạng M = (k, a, b, c là hằng số, a 0) ax 2 by c Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất nếu có) của các biểu thức sau: a. M = 6 (Min M = - 3 x = 2) 4x x 2 6 5 b. N = (Min N = - 20 x = 1 ) x 2 x 1 3 2 c. E = 3 (Max E = 3 x = 1 ) 4x 2 4x 5 4 2 d. D = 1 (Min D = - 1 x = 1) 2x x 2 4 3 Dạng 2: Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 x 1 D = x2 2x 1 Nhận xét: + Tử là tam thức bậc hai. + Mẫu là bình phương của một nhị thức. Cách biến đổi: + Tách D thành tổng của biểu thức không âm với hằng số (phương pháp 1) + Tách D thành các tổng phân thức có dạng: 7
8. mÉu 1 1 D = k1. + k2. + k3. (Với k1, k2, k3 là hằng số) mÉu mÉu mÉu Để từ đó đưa về dạng tam thức bậc hai (Phương pháp 2) Giải (x2 2x 1) (x 1) 1 Cách 1: Ta có D = = 1 - 1 + 1 (x 1)2 x 1 (x 1) 2 2 1 1 3 3 Đặt y = => D = 1 – y + y2 = y + x 1 2 4 4 Vậy Min D = 3 y = 1 1 = 1 x = 1 4 2 x 1 2 2 4x 2 4x 4 (3x 2 6x 3) x 2 2x 1 Cách 2: D = x 2x 1 = = (x 1)2 4(x 1) 2 4(x 1) 2 3(x 1) 2 (x 1) 2 3 (x 1) 2 3 = = + 4(x 1) 2 4 4(x 1) 2 4 Vậy Min D = 3 x = 1 4 Cách 3: Gọi d là một giái trị của biểu thức D. Biểu thức D nhận giá trị d khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau có nghiệm. x2 x 1 D = x2 2x 1 d (x2 + 2x + 1) = x2 + x + 1 (d - 1)x2 + (2d - 1)x + d – 1 = 0 (d 1) Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là 0 Tức là: (2d - 1)2 – 4 (d - 1) (d - 1) 0 4d2 – 4d + 1 – 4 (d - 1)2 0 4d – 3 0 3 d 4 Vậy Min D = 3 x = 1 4 8