Chuyên đề So sánh phân số

Nội dung text: Chuyên đề So sánh phân số

1. PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH . I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn 11 17 Ví dụ : So sánh & ? 12 18 11 33 17 17 34 33 34 11 17 Ta viết : & ; Vì 12 36 18 18 36 36 36 12 18 Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương . II/CÁCH 2: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn . 2 2 3 3 Ví dụ 1 : vì 5 4; vì7 5 5 4 7 5 2 5 Ví dụ 2: So sánh & ? 5 7 2 10 5 10 10 10 2 5 Ta cĩ : & ; Vì 5 25 7 24 25 24 5 7 3 6 Ví dụ 3: So sánh & ? 4 7 3 3 6 6 6 6 6 3 6 Ta cĩ : & ; Vì 4 4 8 7 7 8 7 4 7 Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương . III/CÁCH 3: (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) a c +Nếu a.d > b.c thì b d a c + Nếu a.d -4.4 nên 4 5 4 4 5 5 3 4 4 5 Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương 3 4 vì chẳng hạn do 3.5 < -4.(-4) là sai 4 5 IV/CÁCH 4: Dùng số hoặc phân số làm trung gian . 1
2. 1. Dùng số 1 làm trung gian: a c a c a) Nếu 1&1 b d b d a c a c b) Nếu M 1; N 1 mà M > N thì b d b d M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho . Phân số nào cĩ phần thừa lớn hơn thì phân số đĩ lớn hơn. a c a c c) Nếu M 1; N 1 mà M > N thì b d b d M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đĩ. Phân số nào cĩ phần bù lớn hơn thì phân số đĩ nhỏ hơn. Bài tập áp dụng : 19 2005 Bài 1: So sánh & ? 18 2004 19 1 2005 1 1 1 19 2005 Giải: Ta cĩ : 1& 1; Vì 18 18 2004 2004 18 2004 18 2004 72 98 Bài 2: So sánh & ? 73 99 72 1 98 1 1 1 72 98 Giải: Ta cĩ : 1& 1; Vì 73 73 99 99 73 99 73 99 7 19 Bài 3 : So sánh & ? 9 17 7 19 7 19 Giải: Ta cĩ 1 9 17 9 17 2.Dùng 1 phân số làm trung gian:(Phân số này cĩ tử là tử của phân số thứ nhất , cĩ mẫu là mẫu của phân số thứ hai) 18 15 18 Ví dụ : Để so sánh & ta xét phân số trung gian . 31 37 37 18 18 18 15 18 15 Vì & 31 37 37 37 31 37 *Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa cĩ tử lớn hơn , vừa cĩ mẫu nhỏ hơn thì phân số đĩ lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ). a c c m a m *Tính bắc cầu : & thì b d d n b n *Bài tập áp dụng : 72 58 Bài 1: So sánh & ? 73 99 Giải 72 72 72 72 58 72 58 -Xét phân số trung gian là , ta thấy & 99 73 99 99 99 73 99 2
3. 58 72 58 58 58 72 58 -Hoặc xét số trung gian là , ta thấy & 73 73 73 73 99 73 99 n n 1 Bài 2: So sánh & ;(n N * ) n 3 n 2 Giải n Dùng phân số trung gian là n 2 n n n n 1 n n 1 Ta cĩ : & ;(n N * ) n 3 n 2 n 2 n 2 n 3 n 2 Bài 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau: 12 13 456 123 a) & ? e) & ? 49 47 461 128 64 73 2003.2004 1 2004.2005 1 b) & ? f) & ? 85 81 2003.2004 2004.2005 19 17 149 449 c) & ? g) & ? 31 35 157 457 67 73 1999.2000 2000.2001 d) & ? h) & ? 77 83 1999.2000 1 2000.2001 1 (Hướng dẫn : Từ câu a c :Xét phân số trung gian. Từ câu d h :Xét phần bù đến đơn vị ) 3.Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian. 12 19 Ví dụ : So sánh & ? 47 77 Giải: Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là 1 . 4 12 12 1 19 19 1 12 19 Ta cĩ : & 47 48 4 77 76 4 47 77 Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 11 16 58 36 12 19 18 26 a) & ;b) & ;c) & ;d) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 e) & ; f ) & ;h) & . 79 204 103 295 63 55 V/ CÁCH 5: Dùng tính chất sau với m 0 : a a a m a a a m * 1 * 1 . b b b m b b b m 3
4. a a a m a c a c * 1 * . b b b m b d b d 1011 1 1010 1 Bài 1: So sánh A & B ? 1012 1 1011 1 1011 1 Ta cĩ : A 1 (vì tử N. 2005 2005 2006 2005 2006 37 3737 Bài 3: So sánh & ? 39 3939 37 3700 3700 37 3737 a c a c Giải: (áp dụng .) 39 3900 3900 39 3939 b d b d VI/CÁCH 6: Đổi ra hỗn số: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh : +Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. +Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo. 134 55 77 116 Bài 1:Sắp xếp các phân số ; ; ; theo thứ tự tăng dần. 43 21 19 37 Giải: 5 13 1 5 Đổi ra hỗn số :3 ;2 ;4 ;3 43 21 19 37 13 5 5 1 55 134 116 77 Ta thấy: 2 3 3 4 nên . 21 43 37 19 21 43 37 19 108 2 108 Bài 2: So sánh A & B ? 108 1 108 3 Giải: 3 3 3 3 A 1 & B 1 mà A B 108 1 108 3 108 1 108 3 4
5. 47 17 27 37 Bài 3: Sắp xếp các phân số ; ; ; theo thứ tự tăng dần. 223 98 148 183 Giải: 223 98 148 183 Xét các phân số nghịch đảo: ; ; ; 47 17 27 37 35 13 13 35 đổi ra hỗn số tương ứng là : 4 ;5 ;5 ;4 47 17 27 37 13 13 35 35 17 27 37 47 a c b d Ta thấy: 5 5 4 4 (vì ) 17 27 37 47 98 148 183 223 b d a c 3535.232323 3535 2323 Bài 4: So sánh các phân số : A ; B ;C ? 353535.2323 3534 2322 Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số A 1) 33.103 3774 Bài 3: So sánh A & B 23.5.103 7000 5217 5
6. 33 3774 :111 34 Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn A & B 47 5217 :111 47 4 3 5 6 5 6 4 5 Bài 4: So sánh A 5 & B 5 ? 7 72 73 74 74 72 7 73 3 6 153 6 5 329 Gợi ý: Chỉ tính & 72 74 74 72 74 74 Từ đĩ kết luận dễ dàng : A N 17 1717 Bài 6: So sánh & ? 19 1919 a c a c 17 1700 Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng .; chú ý : b d b d 19 1900 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101 . 10 10 11 9 Bài 7: Cho a,m,n N* .Hãy so sánh : A & B ? am an am an 10 9 1 10 9 1 Giải: A m n n & B m n m a a a a a a Muốn so sánh A & B ,ta so sánh 1 & 1 bằng cách xét các trường hợp sau: an am a) Với a=1 thì am = an A=B b) Với a 0: • Nếu m= n thì am = an A=B 1 1 • Nếu m n thì am > an A >B am an Bài 8: So sánh P và Q, biết rằng: 31 32 33 60 P . . &Q 1.3.5.7 59 ? 2 2 2 2 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) P . . 2 2 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) 1.3.5 59 Q 2.4.6 60 Vậy P = Q 7.9 14.27 21.36 37 Bài 9: So sánh M & N ? 21.27 42.81 63.108 333 Giải: 6
7. 7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 :37 1 Rút gọn M & N 21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333:37 9 Vậy M = N 21 62 93 Bài 10: Sắp xếp các phân số ; & theo thứ tự tăng dần ? 49 97 140 Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh . 1 x y 1 Bài 11: Tìm các số nguyên x,y biết: ? 18 12 9 4 2 3x 4y 9 Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 C > D. 215 215 315 1 3 5 99 2 4 6 100 Bài tập 13: Cho M . . & N . . 2 4 6 100 3 5 7 101 1 a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: M 10 Giải: Nhận xét M và N đều cĩ 45 thừa số 1 2 3 4 5 6 99 100 a)Và ; ; ; nên M < N 2 3 4 5 6 7 100 101 1 b) Tích M.N 101 1 1 1 c)Vì M.N mà M < N nên ta suy ra được : M.M < < 101 101 100 1 1 1 tức là M.M < . M < 10 10 10 1 1 1 3 4 Bài 14: Cho tổng : S .Chứng minh: S 31 32 60 5 5 Giải: Tổng S cĩ 30 số hạng , cứ nhĩm 10 số hạng làm thành một nhĩm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên. 7
8. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cĩ : S 31 32 40 41 42 50 51 52 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 30 30 30 40 40 40 50 50 50 10 10 10 47 48 4 hay S từc là: S Vậy S (1) 30 40 50 60 60 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: S 40 40 40 50 50 50 60 60 60 10 10 10 37 36 3 S tức là : S Vậy S (2). 40 50 60 60 60 5 Từ (1) và (2) suy ra :đpcm. 8