SKKN Vận dụng kiến thức về hình học vectơ và lượng giác trong dạy học Vật lí ở trường Trung học phổ thông

Nội dung text: SKKN Vận dụng kiến thức về hình học vectơ và lượng giác trong dạy học Vật lí ở trường Trung học phổ thông

1. VẬN DỤNG KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC VECTƠ VÀ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC VẬT LÍ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Thực trạng của vấn đề Vật lí học là một môn khoa học thực nghiệm, đây là một môn học không dễ với học sinh THPT. Vấn đề khó ở dây không chỉ về mặt kiến thức vật lí bao quát, trừu tượng, chi phối nhiều hiện tượng liên quan đến đời sống hằng ngày mà còn khó ở chỗ nó liên quan đến những kiến thức toán học phức tạp được xem là công cụ không thể thiếu. Thực tế cho thấy học sinh không học tốt một vật lí (nói riêng) là do bị hỏng những kiến thức về toán học, do vậy đứng trước một bài toán vật lí, học sinh không biết phải giải quyết như thế nào. Vậy phải làm gì để giúp các em học sinh có thể học tốt hơn về môn vật lí? 2. Mục đích yêu cầu Để giải quyết những vướng mắc nêu trên, việc bổ túc cho học sinh những kiến thức cơ bản về toán học là việc làm thực sự cấn thiết. Vì vậy, trước khi bắt đầu học bộ mộ vật lí ở trường THPT, tương ứng với mỗi chủ đề kiến thức, giáo viên cần cung cấp cho học sinh những kiến thức toán học cơ bản có liên quan đến việc giải quyết những bài toán vật lí mà các em sẽ học. 3. Phạm vi của đề tài Kiến thức vật lí có liên quan đến nhiều kiến thức toán học, và đặc biệt là những kiến thức về lượng giác và hình học véc tơ được sử dụng rất rộng rãi. Vì vậy, trong phạm vi của một sáng kiến kinh nghiệm của bản thân rút ra từ thực tế quá trình giảng dạy, tôi xin đưa ra phương pháp của bản thân và một số bài toán vận dụng qua đề tài: “vân dụng kiến thức về hình học vectơ và lượng giác trong dạy học vật lí ở trường trung học phổ thông”. II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Một số kiến thức cơ bản về hình học SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng 1
2. a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông A AB +sin (1) CA CB + cos (2) CA AB C α B + tan (3) CB CB +cot (4) AB B  b.Công thức hình chiếu A α Hình chiếu của véc tơ AB trên trục Ox O ’ ' ' A’ B x là A B được xác định theo công thức: A' B ' =| AB |.cosα =| AB |.sin (5) c. Định lý hàm số cosin B Trong tam giác A,B,C cạnh a,b,c ta luôn có: c a +a2 = b2 + c2 - 2b.c.cos A (6) +b2 = a2 + c2 - 2a.c.cos B (7) A +c2 = a2 + b2 - 2a.b.cos C (8) b C d. Định lý hàm số sin Trong tam giác bên ta có: a b c (9) sin A sin B sinC e. Phép cộng hai véc tơ Cho hai véc tơ a,b gọi c = a b (10) là véc tơ tổng của hai véc tơ đó thì c được xác định theo quy tắc hình bình hành. Gọi α là góc giữa hai véc tơ a,b thì theo định lí hàm số cosin ta có: SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng 2
3. | c |2 = | a |2 + |b |2 -2| a ||b |cos  (11) Hay | c |2 = | a |2 + |b |2 +2| a ||b |cos (12) Suy ra: +Nếu a,b cùng hướng thì: | c | = | a | + |b | (13) +Nếu a,b ngược hướng thì: | c | = || a | - |b || (14) +Nếu a,b vuông góc thì: | c |2 = | a |2 + |b |2 (15) *Nhận xét: Công thức (12) là tổng quát, áp dụng được với mọi góc bất kì, vì vậy giáo viên lưu ý học sinh ghi nhớ để áp dụng. 2. Một số kiến thức về lượng giác a. Đơn vị đo – Giá trị lượng giác các cung. * 10 = 60’ (phút), 1’= 60” ( giây); 10 = (rad); 1rad = (độ) * Gọi là số đo bằng độ của 1 góc, a là số đo tính bằng radian tương ứng với độ khi đó ta có phép biến đổi sau: a = (rad); = (độ) 0 *Đổi đơn vị: 1mF = 10 -3F; 1F = 10-6F; 1nF = 10-9F; 1pF = 10-12F; 1 A = 10-10m. Các đơn vị khác cũng đổi tương tự. * Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt. Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn Cung phụ Cung hơn kém SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng 3
4. ( và - ) và ( - ) kém nhau /2 ( và /2 ( và + ) ( và /2 - ) + ) cos(- ) = cos( - )= - cos( + ) = - cos( /2 - )= cos( /2 + ) = - cos cos cos sin sin sin(- ) = - sin( - ) = sin( + ) = - sin( /2 - ) = sin( /2 + ) = sin sin sin cos cos tan(- ) = - tan( - ) = - tan( + ) = tan( /2 - ) = tan( /2+ )= - tan tan tan cot cot cot(- ) = - cot( - ) = - cot( + ) = cot( /2 - ) = cot( /2 + ) = - cot cot cot tan tan b. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: 2 2 1 2 sin + cos = 1; tan .cot = 1 2 1 cot sin 1 1 tan 2 cos2 c. Công thức biến đổi c.1 Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa tan(a - b) = tan a tan b tan(a + b) 1 tan a.tan b = tan a tan b 1 tan a.tan b c.2 Công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a; sin3a = 3sina – 4sin3a sin2a = 2sina.cosa; cos3a = 4cos3a – 3cosa; tan2a = 2 tan a 1 tan 2 a c.3 Công thức hạ bậc: cos2a = ; sin2a = ; tan2a = ; cotan2a = c.4 Công thức tính sin , cos , tan theo t = tan 2t 1 t 2 2t sin cos tan ( ≠ + k , k Z) 1 t 2 1 t 2 1 t 2 2 c.5 Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = [cos(a-b) + cos(a+b)] sina.sinb = [cos(a-b) - cos(a+b)] sina.cosb = [sin(a-b) + sin(a+b)] c.6 Công thức biến đổi tổng thành tích cosa + cosb = 2cos cos sina + sinb = 2sin cos SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng 4
5. cosa - cosb = -2sin sin sina - sinb = 2cos sin tana + tanb = tana - tanb = (a,b ≠ +k ) 2 d. phương trình và hệ phương trình lượng giác d.1 Các công thức nghiệm – pt cơ bản: x k2 sinx = a = sin cosx = a = cos x = + k2 x k2 tanx = a = tan x = +k cotx = a = cot x = +k d.2 Phương trình bậc nhất với sin và cos: Dạng phương trình: a.sinx + b.cosx = c (1) với điều kiện (a 2 + b2 ≠ 0 và c2 a2 + b2) a b Cách giải: chia cả 2 vế của (1) cho a 2 b2 ta được: sinx + cosx a 2 b2 a 2 b2 = c a 2 b2 a c cos cos .sin x sin .cos x 2 2 2 2 Ta đặt: a b ta được pt: a b b c sin sin(x ) (2) a 2 b2 a 2 b2 Giải (2) ta được nghiệm. d.3 Phương trình đối xứng: Dạng phương trình: a.(sinx + cosx) + b.sinx. cosx = c (1) (a,b,c R) Cách giải: đặt t = sinx + cosx = 2 .cos(x - ), điều kiện - 2 t 2 4 t2 = 1+ 2sinx.cosx sinx.cosx = thế vào (1) ta được phương trình: a.t + b. = c b.t2 + 2.a.t - (b + 2c) = 0 Giải và so sánh với điều kiện t ta tìm được nghiệm x. Chú ý: Với dạng phương trình: a.(sinx - cosx) + b.sinx. cosx = c Ta cũng làm tương tự, với cách đặt t = sinx - cosx = 2 .cos(x + /4). d.4 phương trình đẳng cấp. Dạng phương trình: a.sin 2x + b.cosx.sinx + c.cos2x = 0 (1) SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng 5
6. Cách giải: - b1 Xét trường hợp cosx = 0 2 - b2 Với cosx ≠ 0 ( x = + k ) ta chia cả 2 vế của (1) cho cos x ta được pt: 2 a.tan2x + b.tanx + c = 0 đặt t = tanx ta giải pt bậc 2: a.t2 + b.t +c = 0. Chú ý: Ta có thể xét trường hợp sinx = 0 rồi chia 2 vế cho sin2x. e. Một số hệ thức trong tam giác: e.1. Định lý hàm số cos: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; e.2. Định lý hàm sin: = = e.3 Với tam giác vuông tại A, có đường cao AH: 1 1 1 ; AC2 = CH.CB; AH2 = CH.HB; AC.AB = AH.CB AH 2 AC 2 AB2 3.Một số bài tập vận dụng B 3.1.Bài tập1(Cơ học) Một thanh dài OA có trọng tâm ở giữa thanh và khối lượng m I = 1kg. Đầu O của thanh liên kết với tường bằng bản lề, còn T đầu A được treo vào tường bằng một sợi dây AB. Thanh được Q o giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc α = 30 (hình A vẽ). Lấy g = 10m/s2. Hãy xác định độ lớn lực căng dây và O phản lực Q? G Giải P - Các lực tác dụng lên thanh gồm: +Trọng lực P . F +Phản lưc của bản lề Q 2 T Q +Lực căng dây T - Điều kiện cân bằng của thanh OA là: I P +T +Q = 0 (*) Các lực P ,T ,Q có giá đồng quy nên giá của Q không P vuông góc với tường mà đi qua điểm I( giao điểm của giá các lực P ,T ). SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng 6
7. Di chuyển các lực P ,T ,Q về điểm đồng quy I, như hình vẽ: Đặt F Q T , công thức (*) có thể viết thành F P 0 Theo hình vẽ ta có : F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α vì tam giác AIO cân nên Q = T, ta có: F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α = 2T2(1-cos2α) = 2T2(2sin2α) => T = F/2sinα = P/2sinα = Q 3.2.Bài tập 2 ( Định luật bảo toàn động lượng) Một quả đạn khối lượng m đang bay theo phương ngang với vận tốc v = 5 3 m/s thì nổ thành hai mảnh có khối lượng bằng nhau. Mảnh 1 bay thẳng đứng xuống với vận tốc v1 = 10m/s.Hỏi mảnh 2 bay theo hướng nào với vận tốc bao nhiêu? Bài giải Xét hệ kín gồm m1 = m2 = m/2. Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: p p1 p2 p là đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai cạnh là p1 , p2 như hình vẽ, theo đó 2 2 2 ta có: p2 = p + p1 2 2  (m2.v2) = (m.v) + (m1v1) => v2 = 20m/s o mặt khác ta có: tanα = p1/p = 1/ 3 => α = 30 Vậy mảnh thứ hai bay lệch phương ngang góc 30o lên trên với vận tốc 20m/s 3.3.Bài tập 3.(Điện trường) -6 -6 Cho hai điện tích điểm q 1 = 10 C, q2 = -2.10 C đặt tại hai điểm A,B cách nhau 20cm trong không khí. Xác định véc tơ cường độ điện trường tại điểm M cách đều A,B các khoảng AM = BM = 20cm. Bài giải E Tại M có các véctơ cường độ diện trường E , E do 1 1 2 α q1, q2 gây ra biểu diễn như hình vẽ. Với: M 9 6 k q1 9.10 .10 5 α β E E1 2,25.10 V /m AM2 (0,2)2 E2 kq 9 6 2 9.10.2.10 5 B E2 2 2 4,5.10 V /m A BM (0,2) q2 SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng q 1 7
8. Véc tơ cường độ điện trường tổng hợp tại M là E E 1 E 2 . 2 2 2 o -Theo hình vẽ ta có: E = E1 + E2 - 2E1E2cosα; ΔABM đều α = 60 , thay số tính được E = 3,9.105V/m. -Hướng của véctơ E : theo định lí hàm số sin ta có E E E .sin 1 => sin  1 0,5 => β 30o. sin sin  E Vậy véc tơ E có độ lớn E = 3,9.105V/m; có phương hợp với MB một góc 30o. 3.4.Bài tập 4(Từ trường) Hai dây dẫn thẳng dài đặt trong không khí, song song, cách nhau 10cm, mang dòng điện I1 = 10A; I2 = 20A. Hãy xác định véc tơ cảm ứng từ tại điểm M cách dây dẫn thứ nhất 8cm, cách dây dẫn thứ hai 6cm. Bài giải Tại M có các véc tơ B1 , B2 do I1, I2 gây ra. B1 , B2 được vẽ theo quy tắc nắm bàn tay phải. Dễ thấy ΔAMB vuông tại M nên B1 có giá là AM, B2 có giá là MB. Véc tơ cảm ứng từ tổng hợp B B1 B2 2 2 2 -7 -5 Theo hình vẽ ta có: B = B1 + B2 với B1 = 2.10 I1/MB = 2,5.10 T -7 -5 B2 = 2.10 I2/MA = 6,67.10 T Thay số ta có B 7.10-5T B sin  1 0,357 => β 21o. B Vậy véc tơ cảm ứng từ tổng hợp tại M có: - Độ lớn: B 7.10-5T - hướng hợp với MB một góc β = 21o. SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng 8