SKKN Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

Nội dung text: SKKN Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

1. Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Tên đề tài: "Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực" Năm học 2008 - 2009
2. Sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài "Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực" I- Đặt vấn đề Chương trình toán THCS, nhất là chương trình Đại số lớp 8 và 9 khi giải một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực học sinh gặp nhiều khó khăn vì các em chưa vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy công cụ để giải phương trình và hệ phương trình loại không mẫu mực. Một trong những công cụ để giải quyết các phương trình và hệ phương trình không mẫu mực là vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki. Vì vậy cần phải đưa ra một số bài toán cụ thể áp dụng kiến thức đó để trên cơ sở đó các em có thể vận dụng linh hoạt giải các bài toán khác tương tự. II- Các số liệu điều tra khảo sát Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, cũng như qua bản thân thấy được từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu đưa ra một số bài toán phù hợp với trình độ học sinh THCS để cho các em tiếp cận làm quen với phương pháp giải phương trình và hệ phương trình dựa vào bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki. Một số liệu cụ thể để chứng minh cho việc khi áp dụng đề tài này: - Khi chưa học chuyên đề, số học sinh vận dụng được đề tài là 10%. - Khi đã học chuyên đề, số học sinh vận dụng được đề tài là 55%. "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 1 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
3. Sáng kiến kinh nghiệm III- Nội dung đề tài 1. Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki. * Bất đẳng thức Cauchy. Cho n số không âm: a1, a2, a3, , an-1, an a a a a a Ta luôn có: 1 2 3 n 1 n n a a a a a n 1 2 3 n 1 n Dấu bằng xẩy ra khi a1 = a2 = = an. Bất đẳng thức Cauchy còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân. * Bất đẳng thứcBunhiacôpxki Cho n số: a1, a2, a3, , an-1, an và: b1, b2, b3, , bn-1, bn Ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 a 1b1 a 2 b 2 a n b n a 1 a 2 a n b1 b 2 b n a a a Dấu bảng xẩy ra khi: 1 2 n b1 b 2 b n Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy- Schwarz. 2. Nội dung: * Vận dụng bất đẳng thức trên vào giải các phương trình và hệ phương trình. Bài toán 1: Giải phương trình x 2 4 x x 2 6x 11 ĐK: 2 x 4 "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 2 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
4. Sáng kiến kinh nghiệm Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 2 x 2 4 x (1 + 1)(x - 2 + 4 - x) = 4 x 2 4 x 2 (1) vì x 2 4 x 0 x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 2 (2) Từ (1) và (2) dấu "=" xẩy ra khi x 2 4 x 2 x 3 2 x 6x 11 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 3 Bài toán 2: Giải phương trình x 2 2x 2x 1 3x 2 4x 1 x2 + 2x 0 x -2 hoặc x 0 1 ĐK: 2x - 1 0 x 2 1 3x2 + 4x + 1 0 x -1 hoặc x - 3 1 Kết hợp các điều kiện trên ta có: x 2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy x , 1 , x 2 , 2x 1 ta có: 3x2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) ( x . x 2 1. 2x 1) 2 1 x (1) Vậy ta có: 2 2 2 3x 4x 1 x 2x 2x 1 (2) Dấu "=" trong (2) với điều kiện (1) xẩy ra khi: "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 3 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
5. Sáng kiến kinh nghiệm x 1 1 và x x 2 2x 1 2 1 2x 2 x x 2 và x 2 x2 - x - 1 = 0 1 5 1 1 5 x với x x là nghiệm của pt. 2 2 2 Bài toán 3: Giải phương trình x 2 1 5x 3 3x 2 3x 2 3x 2 2 2 2 x x 1 5x 2 x x 1 5x 2 (1) 2 2 1 3 Ta có: x2 + x + 1 = x > 0 với x nên ĐK (1) có nghĩa khi 2 4 2 5x - 2 0 x (2) 5 Theo (2) và bất đẳng thức Cauchy Dấu "=" xẩy ra khi x2 + x + 1 = 5x - 2 x 1 2 x - 4x + 3 = 0 x 3 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = 3 Bài toán 4: Giải phương trình 1 5 8x2 x 2 ĐK: x > 0 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 4 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
6. Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 8x2 8x2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: 1 1 8x2 x x 4 1 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 4 Bài toán 5: Giải hệ phương trình 2x 2 2 y 1 x 2y 2 2 z 1 y 2z 2 2 x 1 z Nhận xét x = 0, y = 0, z = 0 là một nghiệm của hệ Vế trái các phương trình của hệ đều là các số không âm x > 0, y > 0, z > 0 nhân vế với vế các phương trình của hệ ta có: 2x 2y 2z . . = 1 1 x 2 1 y 2 1 z 2 (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyz x, y, z > 0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x2 + 1 2x dấu bằng xẩy ra khi x = 1 y2 + 1 2y dấu bằng xẩy ra khi y = 1 z2 + 1 2z dấu bằng xẩy ra khi z = 1 Nhân vế với vế ta có: (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) 8xyz "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 5 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
7. Sáng kiến kinh nghiệm Dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = 1 Vậy hệ có nghiệm x = 0, y = 0, z = 0 hoặc x = 1, y = 1, z = 1 Bài toán 6: Giải hệ phương trình: x 2 y 2 2x y 2 0 2 3 2x 4x 3 y 0 Từ hệ đã cho ra suy ra: 2x y2 = (1) 1 x 2 2(x - 1)2 + 1 + y3 = 0 (2) Từ (1) hệ có nghiệm khi x 0 2x Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + x2 2x 1 1 x 2 Từ (1) y2 1 -1 y 1 Vì y -1 1 + y3 0 và (x - 1)2 0 Vậy 2(x - 1)2 + 1 + y3 0 1 y 3 0 x 1 Dấu "=" xẩy ra trong (2) khi 2 (x 1) 0 y 1 Vậy hệ có nghiệm x = 1 ; y = -1 Bài toán 7: Giải hệ phương trình: x 3 2y 2 4y 3 0 (1) 2 2 x x y 2y 0 (2) Từ (1) x3 = -1 - (2y2 - 4y + 2) = -1 -2 (y - 1)2 - 1 (3) 2y Từ (2) x2 = y 0 1 y 2 "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 6 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
8. Sáng kiến kinh nghiệm 2y Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2y 1 + y2 1 1 y 2 Vậy x2 1 -1 x 1 (4) x 1 Từ (3) và (4) y 1 Vậy hệ có nghiệm x = -1; y = 1 Bài toán 8: Giải hệ phương trình: x 3 y 9 3x y 6 Giả sử x0, y0 là nghiệm tuỳ ý của hệ khi đó ta có: 3 x 0 y 0 9 3x 0 y 0 6 Từ (1) x0 , y0 cùng dấu, từ (2) x0 , y0 cùng là các số dương, theo bất đẳng thức Cauchy: 4 3 3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 4 x 0 y 0 6 4 9 3 2 3 hay 1,5 3 điều này vô lý. Vậy hệ vô nghiệm. Bài toán 9: Giải hệ 2 x 4 32 x y 3 (1) 4 x 32 x 6y 24 (2) ĐK: 0 x 32 Cộng phương trình (1) và (2) ta có: x 32 x 4 x 4 32 x = y2 - 6y + 21 (3) "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 7 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
9. Sáng kiến kinh nghiệm Do y2 - 6y + 21 = y2 - 6y + 9 + 12 = (y - 3)2 + 12 12 Dấu "=" xẩy ra khi y - 3 = 0 y = 3 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 2 x 32 x (1 + 1) (x + 32 - x) x 32 x 8 Dấu "=" xẩy ra khi x 32 x x = 32 - x x = 16 Lại theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 2 4 x 4 32 x (1 1) x 32 x 2 4 x 4 32 x 2.8 = 16 4 x 4 32 x 4 Dấu "=" xẩy ra khi x = 16 Vậy x 32 x 4 x 4 32 x 12 Dấu "=" xẩy ra khi: x 32 x 4 x 4 32 x 12 x 16 y 2 6y 21 12 y 3 Vậy x = 16 và y = 3 là nghiệm của hệ. Bài toán 10: Tìm x, y > 0 biết: 1 4 3 (1) x y x y 3 (2) 1 4 Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (x + y) ( ) 9 x y "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 8 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
10. Sáng kiến kinh nghiệm Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 2 1 2 1 4 x y 9 = (x + y) x y x y 1 2 y 1 2 Dấu "=" xẩy ra khi x y = 2x x y x y 3x 3 x 1 Thay vào (2) ta có: y 2x y 2 Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = 2 Bài toán 11: Tìm x, y, z > 0 biết: 1 4 9 3 (1) x y z x y z 12 (2) Nhân vế với vế của (1) với (2) ta được: 1 4 9 (x + y + z) 36 x y z Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 2 1 2 3 1 4 9 36 = x y z (x + y + z) x y z x y z 1 2 3 y 1 2 3 Dấu "=" xẩy ra khi x z 6x = 3y = 2z x y z x y z Thay vào (2) khi x + y + z = 12 ta có x = 2 , y = 4 , z = 6 "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 9 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
11. Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 12: Giải hệ: 2 2 x y 1 3 5 125y 125y 6 15 Hệ tương đương với: x 2 y 2 1 x 2 1 y 2 x 2 1 y 2 (1) 2 3 3 2 6 15 3 2 6 15 6 4 2 .3 y (1 y ) y x y x (2) 125 125 55 3 3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho y2 , y2 , y2 , x 2 , x 2 ta có: 2 2 23 .33 y 6 x 4 55 3 Dấu "=" xẩy ra khi y2 = x 2 (3) 2 10 x 3 2 5 Từ (3) và (1) x2 + x = 1 2 15 y 5 Một số bài tập vận dụng: Giải các phương trình: Bài 1: 6 x x 2 x2 6x 13 Bài 2: x2 2x 4 3 x3 4x 36 1 Bài 3: 28 4 x 2 y 1 x 2 y 1 Bài 4: 2x2 11x 21 33 4x 4 "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 10 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
12. Sáng kiến kinh nghiệm Giải các hệ phương trình: x y z 12 Bài 5: xy xz xt yz yt zt xyzt 27 x, y, z,t 0 Bài 6 2009 1 x1 1 x2  1 x2008 2008 2008 2007 1 x1 1 x2  1 x2008 2008 2008 x3 9y2 27y 27 0 3 2 Bài 7: y 9z 27z 27 0 3 2 z 9x 27x 27 0 x y z 3 y z x y z x Bài 8: 3 x y z xyz 1 "Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki 11 để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"