SKKN Ứng dụng phần mềm Mathcad và Geogebra giải một số bài toán hình giải tích

Nội dung text: SKKN Ứng dụng phần mềm Mathcad và Geogebra giải một số bài toán hình giải tích

1. SKKN : ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD VÀ GEOGEBRA GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH GIẢI TÍCH PHẦN MỞ ĐẦU I. Bối cảnh của đề tài : Trong các năm học gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động và khuyến khích việc đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, đẩy mạnh ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào giảng dạy, do đĩ mỗi thầy cơ giáo cả nước đang cố gắng làm và phát huy việc ứng dụng cơng nghệ thơng tin để hỗ trợ cho việc dạy và học. Mỗi giáo viên cần phảI cĩ những biện pháp, phương tiện thích hợp để cảI tiến việc dạy và học sao cho kết quả đạt được ngày càng nhiều hơn, ít tốn thời gian hơn, và học sinh ham thích học tập hơn. Hồ vào xu thế đĩ , tơi cố gắng ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào việc giải tốn là nghiên cứu dùng các phần mềm tốn học Mathcad, GeoGebra để giải một số bài tốn một cách tự động, tạo ra các bài tốn tương tự cĩ thể dùng làm các đề trắc nghiệm khác nhau nhưng cĩ chất lượng như nhau, sáng tạo ra các bài tốn mới dành cho thi đại học, thi học sinh giỏi, thi máy tính bỏ túi II. Lý do chọn đề tài - Bài tốn hình giải tích cĩ liên quan về đường phân giác, trung tuyến, đường cao trong tam giác là một bài tốn thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi thường được cho với nhiều dạng khác nhau . Học sinh đã được trang bị kiến thức về phương trình đường thẳng từ lớp 10 nhưng đến lớp 12 thì đã quên khá nhiều và các em rất lúng túng trong cách giải quyết và thậm chí là mất khá nhiều thời gian vẫn khơng giải quyết được. - Trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi xin đĩng gĩp một số bài tốn và phương pháp giải quyết các bài tốn hình giải tích cĩ liên quan đến đường phân giác trong tam giác; sử dụng phần mềm Mathcad để tạo ra các bài tập tương tự cho học sinh luyện tập, dùng phần GeoGebra để kiểm chứng, từ đĩ nâng cao được khả năng giải quyết các bài tốn thuộc dạng này. III. Phạm vi và đối tượng của đề tài : Đối tượng nghiên cứu của tơi là một số bài tốn và phương pháp giải quyết các bài tốn hình giải tích cĩ liên quan đến đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của gĩc tạo bởi hai đường thẳng, đường phân giác của gĩc nhọn, gĩc tù và vận dụng giải tốn hình giải tích phẳng ở đề thi đại học. Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 10, lớp12 luyện thi đại học. IV. Mục đích nghiên cứu : - Gĩp phần giải quyết một số các bài tốn hình giải tích cĩ liên quan đến đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của gĩc tạo bởi hai đường thẳng, đường phân giác của gĩc nhọn, gĩc tù và vận dụng giải tốn hình giải tích phẳng ở đề thi đại học; sử dụng phần mềm Mathcad, GeoGebra để tạo ra các bài tập tương tự 1
2. cho học sinh luyện tập từ đĩ nâng cao được khả năng giải quyết các bài tốn thuộc dạng này trong các đề thi Đại học. - Đề tài cũng quan tâm đến vấn đề tạo bài tập tương tự bằng các phép biến hình. Việc này cũng rất cần thiết cho giáo viên tự tạo ra các bài tốn cĩ độ khĩ tương đương nhằm tạo nguồn bài tập cho học sinh thực hành, tạo thư viện bài tốn cho học sinh kiểm tra trắc nghiệm với các bài tốn tương đương . Việc này giúp giáo viên hạn chế được sự sao chép bài làm kiểm tra lẫn nhau giữa các học sinh , gĩp phần phản ánh đúng trình độ học sinh hơn V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu : - Ứng dụng được phần mềm Mathcad, GeoGebra để giải quyết bài tốn hình học giải tích nĩi chung và lớp bài tốn về đường phân giác, trung tuyến, đường cao trong tam giác trong tam giác nĩi riêng đối với một số bài tốn thi đại học, thi học sinh giỏi máy tính cầm tay. -Ứng dụng được phần mềm Mathcad , GeoGebra sáng tạo được các bài tốn mới, nhanh chĩng, hiệu quả và cho kết quả chính xác. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : I.1.Thực trạng của vấn đề : Xin nêu ra một số bài tốn hình giải tích cĩ liên quan đến đường phân giác trong tam giác trong một số đề thi đại học : Bài 1 : Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác cĩ phương trình lần lượt là : x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 . (Trích đề thi đại học Huế 2001) Bài 2 : Trong mặt phẳng cho ba điểm A(-1;7), B(4; -3), C(- 4;1). Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC. ( Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2001) Bài 3 : Cho tam giác ABC cĩ A(2; -1) và các đường phân giác trong gĩc B và C lần lượt cĩ phương trình : x – 2y +1 = 0; x+y + 3 = 0. Tìm phương trình đường thẳng BC . (Trích đề thi Học viện Quan hệ Quốc tế – 2000) 4 Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường trịn ():(Cx−+= 2)22 y 5 và hai đường thẳng Δ−=1:xy 7 0, Δ2:xy−= 0 .Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường trịn ()C1 ; biết đường trịn ()C1 tiếp xúc với các đường Δ1, Δ2 và cĩ tâm K thuộc đường trịn ()C . ( Trích đề thi đại học khối B 2009) Bài 5 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong gĩc A cĩ phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A cĩ hồnh độ dương. (Trích đề thi ĐH khối B _2010) 2
3. Thực tế giảng dạy nếu giáo viên khơng ơn tập cho học sinh một cách cĩ hệ thống các kiến thức về phương trình đường thẳng ở lớp 10 thì các em sẽ khơng giải được những bài tốn dạng trên. Những bài tốn này phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học ở lớp 10 mà đa số học sinh lớp 12 đã quên hoặc chỉ nhớ mơ hồ . Do đĩ việc dành thời gian nhất định để ơn tập cho các em là rất cần thiết. I.2.Cơ sở lý luận : Học sinh cần ơn tập lại các kiến thức về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và một số kiến thức sau : a) Tính chất của đường phân giác trong tam giác : AD là phân giác trong, AE là phân giác ngoài góc A của tam giác ABC thì DB AB EB⎫ JJJG AB JJJG JJJGJJJG AB =⇒=−=⎬ DBDCEBEC; DC AC EC⎭ AC AC b) Tính chất của phép đối xứng qua đường phân giác: Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AC , gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân giác AD hoặc AE thì M’ phải thuộc về đường thẳng AB. c) Phương trình các đường phân giác của một gĩc : Trong mp Oxy cho hai đường thẳng d1 và d2 cĩ phương trình : daxbyc1:111++= 0 ; daxbyc 1: 222 ++= 0 cắt nhau thì phương trình các đường phân giác của gĩc tạo bởi d1 và d2 là : ax++ by c ax ++ by c 111222=± 22 2 2 ab11++ ab 2 2 d) Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng : Trong mp Oxy cho đường thẳng daxbyc:0+ += và hai điểm Mx(;),(;)M yMNN Nx y . M và N nằm khác phía đối với d ⇔ ().()0axMM+ by+++ c ax NN by c III. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề : 3
4. III.1 Các bước tiến hành : • Đối với bài tốn phải xác định chân đường phân giác : Trong mp Oxy cho tam giác ABC đã biết tọa độ A, B, C. Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC Ta cĩ thể tìm tọa độ điểm D từ cơng thức : JJJGAB JJJG DBDC=− AC Gọi E là chân đường phân giác ngồi kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC Ta cĩ thể tìm tọa độ điểm E từ cơng thức : JJJGJJJGAB EBEC= AC • Tìm phương trình đường phân giác gĩc tạo bởi hai đường thẳng : Một số trường hợp : • Xác định phương trình các đường phân giác của gĩc tạo bởi hai đường thẳng ΔΔ12, : ax+ by+++ c ax by c Dùng cơng thức 111222=± 22 2 2 ab11++ ab 2 2 ta tìm được phương trình hai đường phân giác là d1 và d2. • Xác định phân giác gĩc nhọn, phân giác gĩc tù của gĩc tạo bởi hai đường thẳng ΔΔ12, : cĩ nhiều phương pháp , ở đây chỉ nêu một phương pháp chẳng hạn : ta tìm phương trình hai đường phân giác là d1 và d2 0 sau đĩ tính số đo gĩc giữa Δ1 và d1; nếu số đo này nhỏ hơn 45 thì d1 là phân giác gĩc nhọn ; nếu số đo này lớn hơn 450 thì d1 là phân giác gĩc tù . Ngồi ra cũng cĩ thể dùng véc tơ đơn vị để tìm phương trình phân giác gĩc nhọn hay tù của gĩc tạo bởi 2 đường thẳng : JJJ GJJJG Giả sử ΔΔ12, cắt nhau tại A, trên Δ12, Δ ta lấy các véc tơ đơn vị ABAC, 4
5. JJJG Sau đĩ dựng hình thoi ABDC thì AD là véc tơ chỉ phương của đường phân JJJG JJJG JJJG giác trong d1 ( nếu AB.0 AC > thì gĩc BnAC là gĩc nhọn ), cịn CB là véc tơ chỉ phương của đường phân giác d2. Từ đĩ viết được phương trình của d1 và d2. • Đối với bài tốn phải xác định phương trình đường trịn nội tiếp tam giác : Cách 1: cĩ thể tìm phương trình phân giác trong AD, phương trình phân giác trong BK của tam giác ABC , tâm đường trịn nội tiếp là giao điểm của AD và BK. Bán kính đường trịn nội tiếp là khoảng cách từ I đến BC. Cách 2: cĩ thể tìm tọa độ điểm D, gọi I là tâm đường trịn nội tiếp thì I là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABD nên ta cĩ JJGBD JJG IDA=− I BA từ đây suy ra tọa độ điểm I. • Đối với bài tốn phải xác định tọa độ đỉnh hoặc phương trình cạnh của tam giác: Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường phân giác: chẳng hạn nếu điểm M nằm trên đường thẳng AC , gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân giác AD hoặc AE thì M’ phải thuộc về đường thẳng AB; từ đĩ kết hợp với các giả thiết cịn lại của bài tốn như đường trung tuyến, đường cao, diện tích, trọng tâm, chân đường cao , để tìm ra các đỉnh hoặc các cạnh mà đề bài yêu cầu. III.2 Các ví dụ minh họa : Vấn đề 1 : Tìm toạ độ chân đường phân giác trong và ngồi gĩc A của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy Đầu tiên ta lập hàm tìm tọa độ điểm M chia đoạn AB ( đã biết tọa độ A, B) như sau : 5
6. Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cĩ A(2;4), B(1; 3), C(5; 1) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngồi gĩc A của tam giác ABC. Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngồi AE. Phương pháp giải như đã nêu ở phần trên. Bây giờ ta dùng phần mềm Mathcad để giải bài tốn. 6
7. Ta cĩ thể dùng phép tịnh tiến và đối xứng để biến đổi số liệu của bài tốn ban đầu thành bài tốn khác cĩ độ khĩ ngang bằng với bài tốn ban đầu. Cách làm này cho ta tạo ra nhiều bài tập trắc nghiệm với kết quả tương tự giúp giáo viên tạo nhiều đề khác nhau cĩ chất lượng ngang nhau. Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cĩ A(0;5), B(-1; 4), C(3; 2) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngồi gĩc A của tam giác ABC. Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngồi AE. Cĩ thể kiểm tra lại kết quả bằng GeoGebra bằng cách nhập toạ độ A, B, C . Dùng cơng cụ vẽ đường phân giác ta cĩ kết quả như sau : Tương tự ta cĩ các bài tốn sau : 7