SKKN Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – Quy về bậc 2 có tham số

Nội dung text: SKKN Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – Quy về bậc 2 có tham số

1. Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
2. Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2. MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài: Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay có rất nhiều bài toán có tham số liên quan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đó xuất hiện nhiều và đa dạng các bài toán “Tìm điều kiện để một phương trình có nghiệm, có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, bốn nghiệm ”. Đây thực chất là các bài toán so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực , nếu xem xét các dạng toán này theo quan điểm, chương trình bộ sách giáo khoa cũ thì các em học sinh không khó để có thể giải quyết bởi vì trong chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10, các em được trang bị đầy đủ nội dung các định lý thuận, đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả. Nhưng hiện nay theo bộ sách giáo khoa mới đang phát hành thì phần kiến thức liên quan tới định lý đảo và các hệ quả đã được giảm tải. Đứng trước vấn đề “Không có công cụ đó thì cần tìm hướng nào để bằng kiến thức các em đang được học trong sách giáo khoa các em vẫn có thể giải được các dạng toán đó?”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán, và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số”. hoctoancapba.com 2/Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : I. Phần mở đầu. II. Nội dung đề tài. A. Cơ sở lý thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu. B. Bài tập vận dụng. C. Bài tập thực hành. III. Kết quả và bài học kinh nghiệm.
3. Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. a) Định nghĩa. • Phương trình bậc hai đối với ẩn x R là phương trình có dạng: ax2 bx c 0 1 a 0 b) Cách giải. • Tính b2 4ac  Nếu 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. b  Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x x . 1 2 2a  Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b b x , x 1 2a 2 2a c) Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : ax2 bx c 0 1 a 0 có hai b c nghiệm x , x thì S x x , P x .x . 1 2 1 2 a 1 2 a  Dấu các nghiệm: ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 . 0 ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu . P 0 0 ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương P 0. S 0 0 ➢ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm P 0. S 0 2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực , ta sẽ biến đổi để đưa về so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0. Bài toán 1. Cho phương trình: ax2 bx c 0 1 a 0, x R a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x . b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x . c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 . d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 . e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 x2 .
4. Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2. Giải. • Đặt t x x t , thay vào pt (1) ta được pt: at 2 2a b t a 2 b c 0 2 a) Để phương trình (1) có nghiệm x pt (2) có nghiệm t 0 ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 . 0 ▪TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 b) Phương trình (1) có nghiệm x pt (2) có nghiệm t 0 ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 . 0 ▪ TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 0 P 0 S 0 c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 x2 pt (2) có 2 nghiệm t1 0 t2 P 0 . 0 d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 x2 pt (2) có 2 nghiệm 0 t1 t2 P 0 . S 0 0 e) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 x2 pt (2) có 2 nghiệm t1 t2 0 P 0 . S 0 2 2 2 a b c 2a b (Với 2a b 4a a b c , P t1.t2 , S t1 t2 ) a a Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với số thực , và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo khoa. hoctoancapba.com Bài toán 2. Cho phương trình: x a x b x c x d k 1 với a c b d . a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Giải. 2 2 • Ta biến đổi phương trình (1) x a c x ac x b d x bd k 2 2 2 a c • Đặt t x a c x t 0 , thay vào (2) ta được phương trình: 2 2 2 2 2 a c a c a c t ac bd t ac bd k 0 3 2 2 2 a) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t 0 ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 .
5. Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2. 0 ▪ TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau: ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 . 0 ▪ TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 S 0 c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 0 0 t1 t2 P 0. S 0 d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 0 0 t1 t2 P 0 S 0 (Trong đó là biệt thức của phương trình (2), P t1.t2 , S t1 t2 ) Nhận xét: Trong các tài liệu sách giáo khoa, hoặc sách tham khảo, cách giải đưa ra đối với a c 2 dạng toán này là đặt: t x2 a c x với điều kiện t , khi đó để giải quyết các yêu 4 cầu nêu trên học sinh sẽ lúng túng, đôi khi là không thể giải quyết nhất là đối với các em học sinh lớp 10,vì các em không được trang bị công cụ để so sánh nghiệm một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0. Bài toán 3. Cho phương trình: ax4 bx3 cx2 bx a 0 1 a 0 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương. b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm. c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Giải • Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia cả hai vế phương trình (1) cho x2 0 , ta được: 2 1 1 a x b x c 2a 0 2 x x 1 (Thông thường tới đây học sinh sẽ đặt t x t 2 , khi đó nhận được phương trình x at 2 bt c 2a 0 và việc giải quyết các yêu cầu đặt ra sẽ khó khăn vì học sinh không được trang bị công cụ. Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải quyết như sau). 1 1 a) Vì x 0 , đặt t x 2 t 0 suy ra x t 2 , thay vào phương trình (2) được: x x at 2 4a b t 2a 2b c 0 (3). • Để phương trình (1) có nghiệm x 0 thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , ta xét: ▪ TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 P 0
6. Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2. 0 ▪ TH2: Phương trình (3) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 1 1 b) Vì x 0 , đặt t x 2 t 0 suy ra x t 2 , thay vào phương trình (2) được: x x at 2 b 4a t 2a 2b c 0 (4) • Để phương trình (1) có nghiệm x 0 thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , ta xét: ▪ TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2 P 0 0 ▪ TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 t2 0 P 0 S 0 c) Để phương trình (1) có nghiệm thì hoặc phương trình (3) có nghiệm t 0 , hoặc phương trình (4) có nghiệm t 0 . (Đây chính là kết quả tổng hợp của phần a và b). d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau; 1 0 ▪ TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa: 0 t1 t2 P1 0 S1 0 2 0 ▪ TH2: Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa: t1 t2 0 P2 0 S2 0 P1 0 ▪ TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu P2 0 Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh cũng có thể dễ dàng giải quyết các bài toán như: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm. 2 Bài toán 4. Cho phương trình ax2 bx c  ax2 bx c  0 1 0;a 0 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. hoctoan capba.com b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Giải. • Xét a > 0 (với a < 0, làm tương tự) 2 2 2 2 b b 4ac 2 b 4ac • Ta có ax bx c a x 2 nên đặt t ax bx c khi đó t 0 . 2a 4a 4a • Thay vào phương trình (1) ta được phương trình sau: t k 2  t k  0 (2) với b2 4ac k 4a • Phương trình (2): t 2  2 k t k 2 k  0 (3) a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0 ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 .
7. Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2. 0 ▪ TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 0 b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa 0 t1 t2 P 0 S 0 c) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa t1 0 t2 , hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa 0 t1 t2 . ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 . 0 ▪ TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 S 0 (Trong đó là biệt thức của pt (3), S t1 t2 , P t1.t2 ) Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt t ax2 bx c với điều kiện b2 4ac b2 4ac t nếu a > 0, t nếu a < 0. Phương trình nhận được t 2 t  0 , 4a 4a và để giải quyết các yêu cầu của bài toán học sinh sẽ gặp trở ngại vì cần so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0. Chính vì thế với cách giải đã trình bày ở trên tạo cho các em học sinh rất hứng thú, vì các em có thể sử dụng một công cụ đơn giản, quen thuộc là định lý Viet để giải dạng toán này. Bài toán 5. Cho phương trình ax2 b x2 c 0 1 với 0,a 0 . a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Giải. •ĐK x R . 2 • Đặt t x2 t 0 suy ra x2 t , thay vào pt (1) ta được phương trình: at 2 2a b t b c 0 2 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0 ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 . 0 ▪ TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 P 0 S 0 0 b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm thỏa 0 t1 t2 P 0 S 0 c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau: 0 ▪ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0. S 0 0 ▪ TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 t1 t2 S 0