SKKN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong giảng dạy Toán ở trường THCS

Nội dung text: SKKN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong giảng dạy Toán ở trường THCS

1. Chuyên đề : tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình đại số ở trường THCS A. đặt vấn đề I/Cơ sở lý luận: Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có một vị trí xứng đáng trong chương trình học và dạy toán ở trường THCS Các bài toán này rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo, vì vậy các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất gọi chung là “toán cự trị” thường xuyên xuất hiện trong SGK, sách nâng cao toán của các khối lớp. II/Cơ sở thực tiễn: Làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? giải quyết được vấn đề này không phải dễ dàng khi trong phân phối chương trình của môn toán THCS không có một tiết nào dành cho GV dạy một cách hệ thống cho HS những bài toán dạng này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ. III/Phạm vi đề tài: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong giảng dạy toán ở trường trung học cơ sở B.Giải quyết vấn đề I/Những việc đã làm: 1)Những phát hiện “ Những bài toán về cực trị” theo tôi là một dạng toán rất hay, giúp HS phát triển trí thông minh sáng tạo, khả năng tư duy toán học cao trong suốt quá trình giảng dạy của mình, đúc rút kinh nghiệm, học hỏi anh chị em đồng nghiệp dạy toán và trực tiếp bồi dưỡng toán cho HS giỏi. Tôi mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của tôi khi dạy cho HS phương pháp giải toán cực trị trong đaị số ở trường THCS. 2) Hệ thống các biện pháp thực hiện: a)Yêu cầu giáo viên và học sinh: * Với GV: -Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị -Phân loại được các dạng bài tập cơ bản và nêu phương pháp giải từng dạng hệ thống từ bài dễ đến bài khó -Rèn luyện, nâng cao tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi, chọn lọc. Tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu -Trong suốt quá trình Giảng dạy phải chú ý tìm ra những vướng mắc, sai sót của HS trong khi giải bài tập * Với HS: 1
2. -Hiểu được bản chất loại toán -Nhận dạng được từng loại bài tập, vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán -Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải ngắn gọn nhất b.Nội dung cơ bản: * Khái niệm về loại toán cực trị: trong thực tế có rất nhiều bài toán yêu cầu ta đi tìm cái “Nhất” trong những mối quan hệ cho biết. Đó là việc tìm giá trị lớn nhất “Max” hay GTNN “Min” của 1 đại lượng và được gọi chung là toán cực trị mà ta đang tìm hiểu * Các bài toán thường gặp trong đại số: GTLN-GTNN của biểu thức đại số Lý thuyết chung: * Nếu với mọi giá trị của biến thuộc miền xác định nào đó mà giá tị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng( nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k được gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên. + Như vậy để tìm GTNN của một biểu thức A ta cần: - Chứng minh rằng: A k với k là hằng số - Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra + Để tìm GTLN của một biểu thức A ta cần: - Chứng minh rằng A k với k là hằng số - Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra *Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc G TNN của biểu thức .Ta ký hiệu MinA là GTNN của A .Ta ký hiệu MaxA là GTLN của A .Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có 1 trong 2 giá trị trên (Ví dụ xét biểu thức x2 ta thấy x2 0; x2 = 0 (x=0) vậy biểu thức x2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0 biểu thức này không có giá trị lớn nhất) .Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức là vấn đề không đơn giản. ở đây tôi xin đề cập tới một số dạng phổ biến trong chương trình toán THCS Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ 2.1) Cực trị của hàm đa thức 1 biến Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = 2(x+3)2 - 3 Giải Ta thấy (x+3)2 0 với x R 2(x 3)2 0 2(x 3)2 3 3 min A 3 x 3 0 hay x=-3 Vậy MinA = -3 x=-3 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: B = (x-1)2 + (x-5)2 2
3. Giải Ta có: B = (x-1)2 + (x-5)2= x2-2x +1 + x2 - 10x +25 = 2x2 -12x + 26 = 2(x2 - 6x +9) + 8 = 2(x-3)2 + 8 = 2(x-3)2 + 8 8 MinB = 8 x 3 0 x 3 Vậy MinB = 8 x 3 Chú ý: ở bài này HS có thể mắc sai lầm khi làm bài như sau: Thấy: (x-1)2 0 (1) (x 5)2 0 (2) MinB 0 ở đây kết luận MinB = 0 là sai vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2) Ví dụ 3: Tìm GTLN của: C = -x2 + 6x - 15 Giải C = -x2 + 6x -15 = - (x2 -6x +15) = - (x2 - 6x +9 +6) = - (x 3)2 6 vì (x -3)2 0 x (x 3)2 6 6 (x 3)2 6 6 maxC 6 khi x -3 =0 hay x = 3 Vậy maxC = -6 khi x=3 Ví dụ 4: Tìm GTNN của D=(x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) Giải Cách 1: D = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = (x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 4 + 2) = (x2 - 5x + 4)2 + 2(x2 - 5x + 4) + 1 -1 = ((x2 - 5x + 4) + 1)2 - 1 1 Dấu “=” xảy ra (x2 5x 4) 1 0 x2 5x 4 0 5 5 x 2 5 5 Vậy minD = -1 x 2 Cách 2: Đổi biến x2 - 5x + 4 = t để giải Ví dụ 5: Tìm GTNN của M = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9 Giải M = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9 = (x4 - 6x3 +9x2) + (x2- 6x +9) = (x2 -3x)2 + (x -3)2 0 3
4. x 0 x(x 3) 0 Dấu “=” xảy ra x 3 0 x 3 x 3 0 x 3 0 Vậy Min M = 0 hay x = 3 Ví dụ 6: Tìm GTNN của N = x4 - 2x3 +3x2 - 2x +1 Giải Ta có N = x4 - 2x3 +3x2 - 2x +1 = (x2 - x +1)2 2 2 1 3 3 3 9 1 có x2 - x +1 = x nên N đạt GTNN là: x 2 4 4 4 16 2 9 1 vậy: MinN = x 16 2 Qua các ví dụ trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức bậc 2 P = ax2 + bx + c hoặc có thể đưa về tam thức bậc 2 đều có thể sử dụng hằng bất đẳng thức A2 0 hoặc - A2 0 - Tìm GTNN của P nếu a > 0 - Tìm GTLN của P nếu a < 0 + Các dạng bài tập tương tự a. Tìm GTNN của biểu thức A = 2x2 + 3x + 1 B = x(x+1)(x+2)(x+3) C = x4 + 2x3 + 3x2 +2x +1 b. Tìm GTLN của biểu thức D = -5x2 - 4x +1 E = -x4 - 4x2 - 8 2.2)Tìm cực trị của hàm đa thức nhiều biến: Ví dụ 1: Tìm GTNN: A = 2x2 + y2 - 2xy - 2x +3 A = x2 - 2xy + y2 + x2 - 2x +1 +2 = (x -y)2 + (x-1)2 + 2 2 x y 0 Dấu “=” xảy ra x y 1 x 1 0 Vậy min A = 2 x y 1 Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = x2 + xy +y2 - 3x -3y Giải: B = x2 + xy +y2 - 3x -3y = x2 - 2x +1 +y2 -2y +1 -x -y +xy - 2 B 3 (x 1)2 (y 1)2 (x 1)(y 1) Đặt x-1 = a; y-1 = b B 3 a2 b2 ab 0 B 3 Dấu “=” xẩy ra a b 0 x y 1 Vậy Min B =-3 x y 1 Ví dụ 3: Tìm GTLN của D = -x2 -y2 + xy + 2x +2y 4
5. Giải: D = -x2 -y2 + xy + 2x +2y 2D 2x2 2y2 2xy 4x 4y = (-x2 + 2xy - y2) - (x2 - 4x + 4) - (y2 - 4y + 4) + 8 = 8 - ( x-y)2 - (x-2)2 - (y-2)2 8 D 4 Dấu “=” xảy ra x y 2 Vậy MaxD = 4 x y 2 Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức M = xy(x-2)(y+6) +12x2-24x+3y2+18y+36 Giải: M =x(x-2)y(y+6)+12(x2-2x)+3(y2+6y+12) = (x2-2x +3) (y2 +6y+12) Ta thấy: x2 -2x+3 = (x2-2x+1) + 2 = (x-1)2+2 2 y2 +6y+12 = (y2 +6y+9)+3=(y+3)2+3 3 M 6 Dấu “=”xảy ra x 1; y 3 Vậy min M = 6 x 1; y 3 Vậy với hàm đa thức nhiều biến ta có thể giải quyết như với hàm đa thức 1 biến về phương pháp. 2.3) Cực trị của hàm đa thức có dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x 1 x 3 Giải Cách 1: Trong khoảng x -2 4-2x>2 Trong khoảng x>3 A=x-1+x-3=2x-4 Do x>3 2x>6 2x-4>2 Vậy : 1 x 3 A=x-1+x+3=2 So sánh các giá trị của A trong 3 khoảng trên ta thấy: Min A = 2 1 x 3 Cách 2: Ta có A = x 1 x 3 x 1 3 x x 1 3 x 2 Vậy Min A= 2 (x-1)(3-x) 0 1 x 3 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = (x-3)2 + y 2 1 Giải Ta thấy (x-3)2 0 và y 2 0 (x 3)2 y 2 0 Dấu “=” xảy ra x=3; y=2 Vậy min(x 3)2 y 2  0 x 3; y 2 min B 1 x 3; y 2 5
6. *Vậy với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối điển hình là hai ví dụ nêu trên ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất bằng cách: + Xét khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối, sau đó so sánh giá trị tuyệt đối của hàm đạt được trong các khoảng để chọn lựa giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) +Dùng tính chất: a b a b cách này nhanh hơn + Đưa về dạng thông thường, dựa vào tính chất x2 0 x 0 để lý luận các bài tập tương tự tìm GTNN của biểu thức: P = x + 8 x Q = x 1996 x 1997 3 I = x x2 2 4 N = (3x-1)2 - 4 3x 1 5 nên đặt 3x 1 t đưa về tam thức bậc hai 2.4) Cực trị của hàm căn thức: Ví dụ 1: Tìm GTNN của hàm. y = x3 2(1 x3 1 x3 2(1 x3 1 miền xác định x 1 Giải y = (x3 1) 2 x3 1 1 (x3 1) 2 x3 1 1 y = ( x3 1 1)2 ( x3 1 1)2 x3 1 1 x3 1 1 y x3 1 1 1 x3 1 2 Vậy Min y = 2 1 x3 1 0 tức 1 x 0 Ví dụ 2: Tìm GTNN của: y = x - x 1991 miền xác định x 1991 Giải 1 1 1 Ta có y = x - x 1991 x 1991 2 x 1991. 1991 2 4 4 1 3 3 y = ( x 1991 )2 1990. 1990. 2 4 4 1 Dấu “=” xảy ra x 1991. 4 3 Vậy Min y = 1990. 4 Bài tập tương tự Tìm GTNN của các biểu thức: G = x 2(1 x 1) x 2(1 x 1) 6
7. 1 H = x2 4x 4 x2 x 4 2.5) Cực trị của hàm phân thức a.Phân thức có mẫu là tam thức bậc hai: 3 Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 4x x2 8 Giải 3 3 3 3 Ta có: A = = 4x x2 8 x2 4x 8 (x2 4x 4) 4 (x 2)2 4 Ta thấy (x -2)2 0x 1 1 (x -2)2 + 4 4 (x 1)2 4 4 3 3 3 A (x 2)2 4 4 4 3 Vậy Min A = x 2 0 x 2 4 Ví dụ 2: 3x2 6x 10 Tìm GTLN của B = x2 2x 3 Giải 3(x2 2x 3) 1 1 1 Ta có 3 3 x2 2x 3 x2 2x 3 (x 1)2 2 1 1 1 Thấy B 3 3,5 (x 1)2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra x 1 Vậy max B = 3,5 x 1 b. Phân thức có mẫu dạng bình phương nhị thức 4x2 6x 3 Ví dụ 3: Tìm GTNN của C= (2x 1)2 Giải 4x2 6x 3 (4x2 4x 1) (2x 1) 1 Ta có: C = = (2x 1)2 (2x 1)2 1 1 =1- 2x 1 (2x 1)2 1 1 3 3 Đặt t = thì C trở thành C = 1 t t 2 (t ) 2 2x 1 2 4 4 1 1 1 3 Dấu “=” xảy ra t x 2 2x 1 2 2 3 3 Vậy min C = x 4 2 Qua các ví dụ trên cho thấy phương pháp chủ yếu ở đây là viết những phân thức đầu bài dưới dạng tổng của các biểu thức mà mỗi biểu thức trong đó đều có 7