SKKN Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác: “Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” trong một số bài tập về Đường tròn, Chương II - Hình học 9

Nội dung text: SKKN Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác: “Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” trong một số bài tập về Đường tròn, Chương II - Hình học 9

1. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 A. Đặt vấn đề Để thực hiện mục tiêu giáo dục hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày càng được nâng cao. Vì vậy nhiệm vụ của thày và trò là phải dạy và học như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất. Cùng với các môn học khác, Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Dạy Toán tức là dạy phương pháp suy luận, học Toán là rèn luyện khả năng tư duy lôgic. Giải toán luôn là một hoạt động bổ ích và hấp dẫn. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy toán học, hình thành và hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, giúp các em có thể học tốt các môn tự nhiên khác cũng như vận dụng hiệu quả kiến thức toán học vào thực tế đời sống. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( người học toán ) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học . Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng hợp lý các phương pháp dạy học, từ đó góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán. Trong chương II: Đường tròn - Hình học 9 THCS có một số bài toán mà muốn giải được nó một cách nhẹ nhàng thì học sinh phải sử dụng được tính chất về góc ngoài của một tam giác. Một số năm dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kì thi học sinh giỏi các cấp và dạy học sinh ôn thi vào trung học phổ thông, cũng như tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi của một số huyện, tỉnh khác tôi nhận thấy: Nhiều bài toán trong đề thi, trong các sách tham khảo có đề cập tới việc sử dụng tính chất về góc ngoài của một tam giác và nếu không sử dụng tính chất này thì nhiều bài toán không giải quyết được, đặc biệt là những bài toán thuộc 4
2. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 chương II: Đường tròn - Hình học 9. Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi viết nên bản kinh nghịêm: Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác: “Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” trong một số bài tập về Đường tròn, chương II - Hình học 9, nhằm góp phần nâng cao khả năng giải quyết các bài toán hình học cho học sinh. 5
3. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 B. Giải quyết vấn đề I. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu vấn đề. Trong những năm học trước, sau khi học sinh được học phần kiến thức về định nghĩa và sự xác định đường tròn, tôi yêu cầu các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi làm bài toán sau:( Cho học sinh làm bài trong 15 phút) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), Bã AC 450 . BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC ( E AC, F AB ). Chứng minh bốn điểm B, E, F, O cùng thuộc một đường tròn. Kết quả: Không có học sinh nào giải được bài toán trên. Vấn đề đặt ra ở đây là phải hướng dẫn cho học sinh biết cách sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác vào giải bài tập dạng này của chương II: Đường tròn II. Các phương pháp nghiên cứu: 1. Đối với giáo viên: + Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các bài tập để minh hoạ cho việc sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác vào bài tập cụ thể. + Tổ chức cho học sinh được học bồi dưỡng để triển khai đề tài. + Sử dụng các phương pháp: . Phương pháp điều tra. . Phương pháp thống kê. . Phương pháp so sánh đối chứng. . Phương pháp phân tích, tổng hợp. 2. Đối với học sinh: + Làm các bài tập giáo viên giao để xem mình vướng mắc ở đâu. + Sau khi được giới thiệu các cách làm thì phải nắm chắc và biết vận dụng vào các bài toán cùng loại. + Nắm chắc các kiến thức cơ bản và các phương pháp chứng minh hình học khác để phụ trợ cho việc chứng minh, tính toán. III. Nội dung của kinh nghiệm 1. Cơ sở lí thuyết: * Học sinh cần nắm chắc các vấn đề sau: + Định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không 6
4. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 kề với nó. + Các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông + Các kiến thức của chương II: Đường tròn 2. Các bài toán minh hoạ: Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), Bã AC 450 . BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC (E AC,F AB ). Chứng minh bốn điểm B, E, F, O cùng thuộc một đường tròn. A * Phân tích: Để chứng minh 4 điểm B, E, F, O thuộc một đường tròn cần chứng minh E được Bã OC 900 , muốn vậy phải O C chứng minh Bã OC 2.Bã AC . F Khi chưa có kiến thức về góc nội tiếp, việc chứng minh Bã OC 2.Bã AC khá khó khăn đối với HS, nhưng nếu biết M B cách sử dụng tính chất góc ngoài của một tam giác thì sẽ chứng minh dễ dàng. Giải: Kẻ đường kính AM của (O) OA = OB OAB cân tại O Oã AB Oã BA (1) Vì Bã OM là góc ngoài của OAB Bã OM Oã AB Oã BA (2) Từ (1) và (2) Bã OM Oã AB Oã AB 2.Oã AB (3) Chứng minh tương tự ta có: Cã OM 2.Oã AC (4) Từ (3) và (4) Bã OM Cã OM 2. Oã AB Oã AC Bã OC 2.Bã AC 2.450 900 7
5. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 BE  AC (Theo GT) Bã EC 900 CF  AB (Theo GT) Bã FC 900 Bã OC Bã EC Bã FC 900 5 điểm O, E, B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC 4 điểm B, E, F, O cùng thuộc một đường tròn. Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Vẽ (O; OK), đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của (O) với đường thẳng AB. Chứng mimh: a) AEF là tam giác cân; b) D, A, O, E cùng thuộc một đường tròn. B * Phân tích: Khi đã chứng minh được AEF vuông cân tại A ở câu a) ta sẽ có Dã FE 450 . D I H Để chứng minh 4 điểm A, O, D, E thuộc K một đường tròn ta phải chứng minh 0 M Dã OE 90 . Thực hiện cách làm tương A C E tự như ở ví dụ 1 ta cũng chứng minh N O được Dã OE 2.Dã FE 2.450 900 F Giải: a) Kẻ OM  AE,ON  AF Oã MA Oã NA 900 Tứ giác AMON có Oã MA Oã NA Mã AN 900 AMON là hình chữ nhật (1) Vì ABC vuông cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác 1 Hã AC Bã AC 450 2 8
6. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 1 Oã AM Hã AO Hã AC 900 450 450 Mã AN 2 AO là tia phân giác của Mã AN (2) AM AN(3) Từ (1) và (2) AMON là hình vuông OM ON(4) OE OF(bán kính của (O)) Xét OME(Mà 900 ) và ONF(Nà 900 ) có: OM ON(Theo (4)) OME ONF ME NF(5) Từ (3) và (5) AM ME AN NF AE AF AEF cân tại A. b) Vì AEF vuông cân tại A (C/minh trên) Dã FE 450 Kẻ đường kính FI của đường tròn (O) OD = OF (bán kính của (O)) ODF cân tại O Oã FD Oã DF Vì Dã OI là góc ngoài của tam giác ODF Dã OI Oã FD Oã DF Dã OI Oã FD Oã FD 2.Oã FD(6) Chứng minh tương tự: Eã OI 2.Oã FE(7) Từ (6) và (7) Dã OI Eã OI 2. Oã FD Oã FE Dã OE 2.Dã FE 2.450 900 Dã OE Dã AE 900 O và A thuộc đường tròn đường kính DE 4 điểm O, A, D, E cùng thuộc một đường tròn. Bài toán 3: Cho (O; R) có hai đường kính AB và EF vuông góc với nhau. D là một điểm thuộc cung AE nhỏ; M là giao điểm của AD và OE; N là giao điểm của OE và DB. Chứng minh rằng: MA.MD = ME.MF = MN.MO. 9
7. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 M * Phân tích: Để chứng minh: MA.MD = ME.MF = MN.MO ta cần MA.MD MN.MO chứng minh: MA.MD ME.MF E D + Việc chứng minh MA.MD = MN.MO không khó khăn. N + Để chứng minh MA.MD = ME.MF cần phải chứng minh được hai tam giác A O B MAF và MED đồng dạng với nhau, muốn vậy phải chứng minh được à FM Eã DM . Nếu đã học chương III: Góc với đường K tròn, thì việc chứng minh hai góc trên F bằng nhau không khó, nhưng ở chương II thì muốn chứng minh hai góc trên bằng nhau phải sử dụng được tính chất về góc ngoài của tam giác. Giải: +) Vì D thuộc đường tròn đường kính AB à DB 900 Mã DN 900 MOA(Oà 900 ) và MDN(Dà 900 ) có à MO là góc chung MOA và MA MO MDN đồng dạng với nhau MA.MD MN.MO(1) MN MD +) Kẻ đường kính DK của (O) OD OF( R) ODF cân tại O Oã FD Oã DF Vì Kã OF là góc ngoài của ODF Kã OF Oã DF Oã FD Kã OF Oã DF Oã DF 2.Oã DF Chứng minh tương tự ta có: Kã OB 2.Oã DB Kã OF Kã OB 2. Oã DF Oã DB 1 1 Bã OF 2.Bã DF Bã DF Bã OF .900 450 2 2 Vì D thuộc đường tròn EF Eã DF 900 Eã DB Eã DF Bã DF 900 450 450 10
8. skkn: sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn – chương ii – hình học 9 Mã DE Mã DN Eã DB 900 450 450 (2) OA OE( R) AOF vuông cân tại O Ã FO 450 (3) ã 0 AOF 90 (Theo GT) Từ (2) và (3) Ã FM Mã DE (4) Xét MAF và MED có: Ã MF : góc chung ã ã AFM MDE(Theo (4)) MA MF MAF đồng dạng với MED MA.MD ME.MF (5) ME MD Từ (1) và (5) MA.MD = ME.MF = MN.MO Bài toán 4: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính lần lượt là R và r. Biết À Cà Bà À . Tính diện tích tam giác ABC theo R và r. A * Phân tích: Để tính được S ABC ta sử dụng công thức: E S p.r (p là nửa chu vi tam giác, r là bán D r I O kính đường tròn nội tiếp tam giác). R Dễ dàng chứng minh được: p BC AD . Để tính được AD và BC ta cần tính được B F H C Bã AC và Bã OC , việc này đơn giản nếu sử M dụng tính chất góc ngoài của một tam giác Giải: +) Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của ( I ) với AB, AC, BC. 1 1 1 1 S S S S AB.r AC.r BC.r r AB AC BC ABC ABI ACI BCI 2 2 2 2 1 = r(AD AE BD BF CE CF) 2 AD = AE, BD = BF, CE =CF (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) 11