SKKN Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp

Nội dung text: SKKN Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp

1. Sáng kiến kinh nghiệm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP  Giáo viên: Nguyễn Văn Thân CHÂU THÀNH, THÁNG 03 NĂM 2010 Trang 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Dựa vào phương pháp toạ độ do chính mình phát minh Descartes đã sáng lập ra môn hình học giải tích .Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học.Việc này giúp ta bỏ đi thói quen tư duy cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng của toán học và nhiều lĩnh vực khác. Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán là việc làm rất cần thiết, chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất. Sau đây tôi xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ và toạ độ” để giải một số bài toán sơ cấp ơ’ phổ thông. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I: LÝ THUYẾT I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG. 1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị e1,e2 .Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. 2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: Cho điểm M trong mp Oxy. Hạ MH vuông góc x’Ox và MK vuông góc y’Oy. Theo qui tắc hình bình hành, ta có: OM OH O K xe1 ye2 Bộ hai (x, y) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x, y).   Cho trên hệ trục. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM . Gọi a  a (x,y) là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai (x,y) gọi là toạ độ của véc tơ trên hệ trục Oxy  a và ký hiệu là a = (x,y). 3. Các phép tính véc tơ :  Cho hai véc tơ a (a1,a2 ) ;b (b1,b2 ) và k là một số thực. Các phép tính véc tơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một véctơ, tích vô hướng hai véc tơ được xác định như sau: Trang 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm  a b (a1 b1,a2 b2 )  a b (a b ,a b )  1 1 2 2 k.a (ka1,ka1)  a.b a1b1 a2b2 4. Các công thức về lượng :  Cho hai véc tơ a (a1;a2 ) ;b (b1;b2 ) và gọi là góc tạo bởi hai véctơ đó   a.b a . b khi và chỉ khi a và b là hai véctơ cùng hướng  a.b a .b a .b cos  1 1 2 2 2 2 2 2 a b a1 a2 . b1 b2 Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = 0 là : Ax By C d(M ,D) o o A2 B2 5. Phương trình của đường thẳng, đường tròn . * Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0, y0) và nhận véctơ n (A, B) làm véc tơ pháp tuyến là: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. 1. Định nghĩa : Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy,  z’Oz vuông góc với nhau đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các véc tơ đơn vị e1,e2 ,e3 . Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. 2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ. Cho điểm M trong kh ông gian Oxyz. Hạ MH vuông góc x’Ox, MK vuông góc y’Oy và ML vuông góc z’Oz. Theo qui tắc hình hộp, ta có :     OM OH OK OL    xe1 ye2 ze3 Bộ ba (x,y,z) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x,y,z). Trang 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm    Cho a . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho  OM a . Gọi (x, y. z) là toạ độ của điểm M. Khi đó bộ ba (x, y, z) gọi là toạ độ của véc tơ a trên hệ trục Oxyz và ký hiệu là a = (x,y,z). 3. Các phép tính véc tơ :  Cho hai véc tơ a (a1,a2 ,a3 ) ;b (b1,b2 ,b3 ) và k là một số thực. Các phép tính vectơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ được xác định như sau:  a b (a1 b2 ,a2 b2 )  a b (a b ,a b )  1 1 2 2 k.a (ka1,ka1)  a.b a1b1 a2b2  a a a a a a 2 3 3 1 1 2 a.b ( , , ) b2 b3 b3 b1 b1 b2 4. Các công thức về lượng :  Cho hai vectơ a (a1,a2,a3) ;b (b1,b2,b3) và gọi là góc tạo bởi hai vectơ đó   a.b a . b khi và ch ỉ khi a và b là hai vectơ cùng hướng  a.b a .b a .b a .b cos  1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 a b a1 a2 a3 . b1 b2 b3 Cho (D) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương a (a a ,a ) và điểm  1, 2 3 M. Giả sử ta tính được AM (b1,b2,b3) Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) được tính là : a a 2 a a 2 a a 2 2 3 3 1 1 2 b b b b b b d(M ,D) 2 3 3 1 1 2 2 2 2 a1 a2 a3 5. Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. a. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x ,y z ) và có cặp vectơ chỉ  0 0, 0 phương a (a1,a2,a3) ;b (b1,b2,b3)là : a2 a3 a3 a1 a1 a2 (x x0 ) (y y0 ) (z z0 ) 0 b2 b3 b3 b1 b1 b2  b. Phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0,y0,z0) v à nhận vectơ a (a1,a2,a3) làm vectơ chỉ phương là: Trang 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm x x0 a1t y y0 a2t (t là tham số) z z0 a3t c. Phương trình mặt cầu t âm I (a, b,c) và có bán kính R là : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2 PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN III. CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG: 1. CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho 4 số thực x1, x2, x3, x4. 2 2 2 2 2 chứng minh rằng (x1 +y1 )(x2 +y2 ) (x1 x2+ y1 y2) Giải:  Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : a (x1, y1);b (x2 , y2 )    2 2  a b a.b a b (a.b)2 Ta có vậy (x 2 +y 2) (x 2 +y 2) (x x + y y )2 1 1  2 2 1 2 1 2 đẳng thức xãy ra a //b x1 y2 x2 y1 Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì x2 xy y2 x2 xz z2 y2 yz z2 Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y 3 z 3 y z 3 3 (x )2 ( y)2 (x )2 ( z)2 ( )2 ( y z)2 (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 y 3 3 3 y z Xét 3 điểm A(x , z) ;B(0, y z) ;C( ,0) 2 2 2 2 2 2 (1) AB + AC > BC Ta có AB AC BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây  y 3 AB ( x , y) 2 2  z 3 AC ( x , z) 2 2 Trang 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xãy ra đẳng thức AB + AC > BC. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 3 Giải bất phương trình: x 1 x 3 2(x 3)2 2x 2(1) Giải Điều kiện x 1 Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: u (x 3, x 1) v (1,1) u (x 3)2 x 1 v 3 u.v x 1 x 3 Suy ra bất phương trình (1) tương đương u.v u . v u  v x 3 x 1 x2 6x 9 x 1 x 3 x2 7x 10 0 x 3 x 5 x 2 x 3 x 5 Vậy x=5 là nghiệm duy nhất. Bài 4 Chứng minh rằng: cos4 x 1 sin4 x 1 cos2x ,x R Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: a (cos2 x,1) a b (cos2x,0) 2 b (sin x,1) Khi đó, từ Trang 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm a b a b cos4 x 1 sin4 x 1 cos2x (dpcm) Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y f (x) cos2 x 2cos x 5 cos2 x 4cos x 8 Giải Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ: a (1 cos x,2) b (2 cos x,2) a (1 cos x)2 22 cos x2 2cos x 5 2 2 2 Khi đó : b (2 cos x) 2 cos x 4cos x 8 a b 32 42 5 từ a b a b y 5 2 Dấu “=” xảy ra (chẳng hạn) tại x 3 Vậy miny=5 Bài 6 : T ìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y x2 2px 2p2 x2 2qx 2q2 ( p q) Gi ải Ta c ó y (x p)2 p2 (x q)2 q2 Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q). Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox sao cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ nhất. Xét hai trường hợp: - Nếu pq 0 thì A, B nằm cùng phía đối với O (đồng thời nằm cùng phía đối với Ox). Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : MA MB MA' MB A' B Đẳng thức xãy ra A’, M, B thẳng hàng Trang 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm   x p k(q p) A'M k A'B p k(q p) y B p k p q A 2pq x p q x y A'B ( p q)2 ( p q)2 min O M 2( p2 q2 ) A đạt được khi x = 2pq/(p+q) ’ Bài 7 Giải phương trình: x2 2x 2 4x2 12x 25 9x2 12x 29 Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: u (x 1,1) u v (3x 2,5) v (2x 3,4) u x2 2x 2 2 v 4x 12x 25 u v 9x2 12x 29 Suy ra phương trình (1) tương đương: u v u v Trang 8
9. Sáng kiến kinh nghiệm u kv(k 0) x 1 k(2x 3) 1 k.4 1 k 4 1 x 1 (2x 3) 4 1 k 4 4x 4 2x 3 1 k 4 7 x 2 7 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 2 Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 x 6 x (3 x)(6 x) m Giải Đặt u 3 x ; v 6 x Phương trình đã cho trở thành u v uv m u v 1 10 2m(1) 2 2 2 2 u v 9 u v 9 (2) u 0,v 0 u 0,v 0 (3) - Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và bán kính = 3 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3). 3 1 10 2m 3 2 Vậy Pt có nghiệm khi 6 2 9 m 3 2 Bài 9: Chứng minh rằng: a2 a 1 a2 a 1 2,a R Trang 9