SKKN Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình

Nội dung text: SKKN Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình

1. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" Së gi¸o dôc&®µo t¹o thanh ho¸ Tr­êng thpt tÜnh gia IV thanh ho¸ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §Ò tµi "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" Gi¸o viªn: MAI TIẾN LINH Tæ : TOÁN §¬n vÞ : Tr­êng THPT TÜnh gia IV TÜnh gia - tháng 5 năm 2010 - 1 -
2. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" A. Đặt vấn đề 1.Lý do chọn đề tài - Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán.Đối với những bài toán mà đã biết trước được phương pháp giải thì bài toán đó chưa thực sự thu hút được tâm trí và quyết tâm giải đến cùng. - Rèn luyện giải toán cho học sinh nó bao gồm cả hai nội dung chính sau.Một là rèn luyện khả năng tìm lời giải.Hai là rèn luyện kỹ năng giải bài toán ,trong quá trình rèn luyện, hai nội dung trên có thể tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tách thành 2 quá trình riêng biệt.Người giải toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đó. - Với bài toán giải phương trình mỗi dạng toán thì có một phương pháp giải khác nhau.Việc giải phương trình đặc biệt là phương trình chứa căn thường gây ra nhiều khó khăn phức tạp đối với học sinh nhất là học sinh yếu, kém bởi lẽ nếu giải bài toán bằng phương pháp nâng lên lũy thừa để làm mất dấu căn thì dẫn đến phương trình bậc cao và không biết cách giải.Tuy nhiên nếu biết cách đặt ẩn phụ một cách thích hợp thì có thể chuyển phương trình chứa dấu căn về hệ phương trình hai ẩn nên sử dụng được cách giải quen thuộc.Thông qua bài toán này có thể rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải phương trình và giải hệ phương trình 2. Thực trạng của vấn đề - §èi víi ch­¬ng tr×nh to¸n THPT phÇn gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû lµ mét phÇn to¸n khã ®ßi hái häc sinh ph¶i t­ duy nh¹y bÐn vµ cã kü n¨ng gi¶i bµi tËp linh ho¹t. Mµ ë ®©y phÇn lín c¸c em th­êng rÊt ng¹i lµm nh÷ng bµi tËp d¹ng nµy lý do lµ biÕn ®æi nã phøc t¹p vµ viÖc t×m ra ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i tæng qu¸t lµ kh«ng cã, tïy vµo d¹ng to¸n mµ cã c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i kh¸c nhau.Cho nªn khi ®­a ra c¸c bµi tËp liªn quan ®Õn ph­¬ng tr×nh d¹ng nµy phÇn lín c¸c em kh«ng lµm ®­îc hoÆc cã lµm ®­îc nh­ng ®¸p sè l¹i sai.Do vËy ®Ó gióp c¸c em gi¶i quyÕt tèt phÇn bµi tËp nµy t«i nghÜ cÇn ph¶i ®­a ra mét hÖ thèng bµi tËp vµ c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n trong ph¹m vi kiÕn thøc to¸n c¸c em ®· ®­îc häc. Do vậy tôi làm ®Ò tµi : '' Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình '' dµnh cho häc sinh cuèi cÊp chuÈn bÞ cho thi tèt nghiÖp, ®¹i häc, cao ®¼ng. - 2 -
3. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" Víi s¸ng kiÕn nµy t«i hy väng gãp phÇn nhá bÐ vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp to¸n , gióp c¸c em cã ®­îc mét sè kü n¨ng, kü x¶o khi lµm bµi tËp. 3. Giải pháp - Ý tưởng của phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế là sử dụng các phép biến đổi tương đương hay phép biến đổi hệ quả để đưa đến một phương trình chỉ còn một ẩn số .Tuy nhiên trong đề tài này tôi xin đưa ra quy trình ngược lại tức là các phương trình đã cho tuy có 1 ẩn, nhưng tính chất phức tạp của chúng. Để bài toán có thể dễ giải hơn, ta chỉ còn cách phát hiện ra ẩn phụ để chuyển việc giải bài toán một phương trình một ẩn phụ khó giải thành hệ phương trình nhiều ẩn nhưng dễ giải hơn Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán mà việc giải phương trình dẫn đến giải hệ phương trình. B.Giải quyết vấn đề : 1. Cơ sở lý luận của phương pháp • Kiến thức cơ bản mà khi học phần này cần nắm được - Phương pháp giải phương trình bậc 2, bậc 3( Trong trường hợp tìm được một nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỷ), phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình logarit,bất phương trình bậc nhất, bậc 2 và tập xác định của hàm số ( chứa căn chẵn) - Sử dụng thành thạo các phép biến đổi cơ bản • f (x) g(x) f (x) g(x) 0 f (x) g 2 (x) • f (x) g(x) f (x) 0 f (x) 0 • f (x) g(x) h(x) g(x) 0 f (x) g(x) 2 f (x)g(x) h(x) - Nắm vững được 2 phương pháp giải hệ đối xứng loại I và loại II.phương pháp giải loại I và II như sau • Phương pháp giải hệ đối xứng loại I x y s Bước 1 : Sử dụng ẩn phụ , điều kiện s2- 4p 0 x.y p - 3 -
4. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" Bước 2 : Tìm S , p. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : t2 - st + p = 0 • Phương pháp giải hệ đối xứng loại II Bước 1 : Trừ 2 vế của 2 phương trình trong hệ bao giờ cũng thu được phương x y trình tích : (x - y)(f(x, y)) = 0 f (x, y) 0 Bước 2 : Giải hệ cho từng trường hợp 2. Nội dung chính của đề tài • Các dạng toán Dạng 1 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình với 2 ẩn phụ.Tùy theo đặc tính của bài toán đã cho, ta thu được các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng, ta có phương trình dạng cơ bản sau • n a f (x) n b f (x) c . khi đó ta có thể đặt n u a f (x) n n u v a b .Từ đó dẫn tới hệ phương trình sau : v n b f (x) un vn a b u,v Nghiệm của phương trình u v c • Các bài toán Bài 1: Giải phương trình sau : 3 x 6 x (3 x)(6 x) 3 (1) Giải: 3 x 0 Điều kiện : 3 x 6 (2) 6 x 0 u 3 x 2 2 Đặt u,v 0 u v 9 v 6 x Khi đó phương trình đã cho được chuyển thành hệ phương trình 2 2 2 u v 9 (u v) 2uv 9 2 uv 0 (3 uv) 2uv 9 uv 0 u v uv 3 u v 3 uv uv 4 (vì u,v 0 ) - 4 -
5. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" u 0 3 x 0 x 3 • Khi v 0 6 x 0 x 6 • Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -3, x = 6 Bài 2: Giải phương trình sau : 3 x 1 3 x 3 3 2 Giải : Đặt u 3 x 1 , v 3 3 x u3 v3 (x 1) (3 x) .Khi đó ta có hệ phương u 3 2 u v 3 2 u v 3 2 u v 3 2 v 0 trình sau 3 3 3 u v 2 (u v) 3uv(u v) 2 uv 0 u 0 3 v 2 u 3 2 • Với x 3 v 0 u 0 • Với x 1 3 v 2 • Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 3, x = 1 Bài 3 : Giải phương trình sau 3 x 1 3 x 3 3 2 Giải : Đặt u 3 x 1, v 3 x 3 . Khi đó ta có hệ phương trình u v 3 2 v 3 2 u (2) . Thay (2) vào (3) ta có 3 3 3 3 u v 2 v u 2 (3) ( 3 2 u)3 u3 2 ( 3 2 u)3 ( 3 2 u)(u2 3 2u 3 4) ( 3 2 u)(2u2 3 2u 2 3 4) 0 3 2 u 0 u 3 2 (4) 2 3 3 2 3 3 2u 2u 2 4 0 2u 2u 2 4 0 (5) • Với u = 3 2 v 0 , phương trình có nghiệm : x = 3 • phương trình (5) có 3 4 16 3 4 15 3 4 0 nên phương trình (5) vô nghiệm - 5 -
6. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" • Vậy phương trình có 1 nghiệm : x = 3 Dạng 2 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình thông thường là hệ đối xứng.Để giải các bài toán loại này ta tiến hành các bước sau • Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình Bước 2 : Biến dổi phương trình về dạng : f[x, (x)] = 0 Bước 3 : Đặt t = (x) ta biến đổi phương trình thành hệ phương trình t (x) f (x,t) 0 • Các bài toán 1 1 Bài 4 : Giải phương trình sau : 3 x x 1(1) 2 2 Giải : 1 1 Điều kiện x 0 x (*) 2 2 1 1 Đặt u 3 x, v x , v 0 u3 v2 1.Vậy ta được hệ phương trình 2 2 sau u v 1 u 1 v (2) .Thay (2) Vào (3) ta được phương trình sau 3 2 3 2 u v 1,v 0 u 1 v (3) (1 -v )3 = 1 - v2 v 0 u 1 (1 v) (1 v)2 (1 v) 0 v(v 1)(v 3) 0 v 1 u 0 v 3 u 2 1 • Với u = 1, v = 0 ta được nghiệm : x = ( Thỏa mãn (*)) 2 1 • Với u = 0, v = 1 ta được nghiệm : x = ( Thỏa mãn (*)) 2 17 • Với u = - 2, v = 3 ta được nghiệm : x = ( Thỏa mãn (*)) 2 - 6 -
7. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" 1 1 17 • Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = , x = , x = 2 2 2 Bài 5 : Giải phương trình sau 2 x 2 x2 (1) Giải : Điều kiện : 2 x 0 x 2 Đặt t = 2 x (t 0) x 2 t 2 .(*) Khi đó ta có hệ phương trình sau x 2 t 2 (2) .Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) Ta có 2 t 2 x (3) t x 2 2 t - x = t - x t - x = (t -x)(t + x) (t - x)( t + x - 1) = 0 t 1 x • Với t = x từ phương trình (*) ta có x = 2 - x2 x2 + x - 2 = 0 x 1 x 1( Vì x 0 ) x 2 1 5 x 2 1 5 • t = 1 - x khi đó (*) trở thành x2 - x - 1 = 0 x ( vì 1 5 2 x 2 2 - x2 < 0) 1 5 • Kết luận phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 1 , x 2 Bài 6 : Giải phương trình sau : 2 3 3x 2 3 6 5x 8 0 x R (Đề thi đại học và cao đẳng khối A năm 2009) Giải : 6 Điều kiện : x (*) 5 Đặt u 3 3x 2 , v 6 5x ,v 0(1).Khi đó ta có hệ phương trình sau - 7 -
8. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình" 2u 3v 8 (2) 3 2 5u 3v 8 (3) 8 2u 8 2u v v u 2 3 3 Thay 3 2 2 v 4 15u 4u 32u 40 0 (u 2)(15u 26u 20) 0 vào (1) ta được nghiệm : x = -2 (Thỏa mãn (*) Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -2 Bài 7 : Giải phương trình sau: 4 5x 71 4 5x 6 1 Giải: 17 x 5x 17 0 5 6 Tập xác định : x (*) 5x 6 0 6 5 x 5 Đặt u 4 5x 71 , v 4 5x 6 khi đó ta có hệ phương trình sau u4 v4 65 (u v)(u v)(u2 v2 ) 65 (u v)(u2 v2 ) 65 (1) u v 1 u v 1 u v 1 (2) Thay u 0,v 0 u 0,v 0 u 0,v 0 phương trinh (2) vào phương trình (1) ta có phương trình sau : 2v3 + 3v2 +2v -32 = 0 v 2 .Vậy với v = 2 ta có v 4 5x 6 4 5x 6 2 5x 6 16 5x 10 x 2(thỏa mãn điều kiện (*)) Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = 2 Bài 8 : Giải phương trình sau : 4 x 4 97 x 5 (1) Giải : Tập xác định : 0 x 97 (*) Đặt u 4 x , v 4 97 x .Khi đó phương trình (1) đưa về hệ phương trình sau u4 v4 97 (1) (1) u v 5 (2) u 0,v 0 - 8 -